學(xué)科育人視角下的“學(xué)材”如何再建構(gòu)

石慧英

[摘? 要] 黨的十八大報(bào)告首次把“立德樹人”明確為教育的根本任務(wù)，語境宏闊、高屋建瓴.要全面理解“立德樹人”的深刻內(nèi)涵，落實(shí)這一根本任務(wù)，就要不斷叩問教育的本質(zhì)，追問教育的價(jià)值，從“學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科育人”. “自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法的創(chuàng)始人、全國著名特級教師李庾南提出了“三學(xué)”的課堂操作規(guī)則，并將“學(xué)材再建構(gòu)”置于“三學(xué)”之首，為我們初中數(shù)學(xué)學(xué)科育人提供了極好的范式.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)科育人;學(xué)材再建構(gòu);初中數(shù)學(xué);二元一次方程組

作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，其首要特征是什么？李庾南老師認(rèn)為應(yīng)該是“為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)”，認(rèn)為課程、教材、教學(xué)與評價(jià)構(gòu)成了數(shù)學(xué)教育的全過程，而其中教材則是數(shù)學(xué)教育的核心載體. 從某種意義上講，“教什么可能比怎么教更重要”，故而只有先從教學(xué)內(nèi)容的角度進(jìn)行變革，整合具有豐富育人價(jià)值的資源，才可能有后續(xù)的教學(xué)形式（也就是方法與路徑）的變革，才可能讓學(xué)科育人落地、生根、開花并結(jié)果. 不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)科育人于“學(xué)材再建構(gòu)”而言是出發(fā)點(diǎn)，也是落腳點(diǎn)，而“學(xué)材再建構(gòu)”則可以成為學(xué)科育人的關(guān)鍵著力點(diǎn).

下面我們就以李庾南老師執(zhí)教的“二元一次方程組”為例，談?wù)勗趯W(xué)科育人視角下的“學(xué)材”應(yīng)該如何再建構(gòu).

1. 基于學(xué)生熟悉的問題情境再建構(gòu)，喚醒抽象意識(shí)，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程. 此過程應(yīng)以學(xué)生熟悉的典型實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生觀察后抽象與概括，從而發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)屬性，這是一個(gè)將學(xué)生的思維打開的過程.

現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量問題涉及多個(gè)未知數(shù)，其中很多問題中的數(shù)量關(guān)系是一次的，為學(xué)習(xí)二元一次方程組提供了豐富的現(xiàn)實(shí)素材. 選擇怎樣的問題情境作為研究的載體會(huì)更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系并抽象出二元一次方程（組）的模型呢？教材選用了本章的引例——籃球賽中的勝負(fù)場數(shù)問題;而李庾南老師選擇了課堂操作：每個(gè)學(xué)生都用30 cm長的細(xì)繩打結(jié)后繃成一個(gè)長方形（打結(jié)部分長度不計(jì)），再相互比較所形成的長方形的形狀和大小. 發(fā)現(xiàn)繃成的長方形的周長雖然相同，但各個(gè)長方形的長和寬不全相同;還發(fā)現(xiàn)如果長方形的長變大，寬就變小了，但是長與寬的和總是15 cm. 這樣的親自操作與零距離觀察比課本中的問題情境可能更容易激發(fā)學(xué)生的探究欲望，也更利于學(xué)生將數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)從現(xiàn)實(shí)情境中剝離出來，抽象出二元一次方程的模型. 同時(shí)，還讓學(xué)生在現(xiàn)場“看”到了二元一次方程的解的“不定性”與“相關(guān)性”. 后續(xù)，又通過增加條件“若要使繃成的長方形的長比寬多3 cm”提出問題：“此時(shí)長和寬必須同時(shí)滿足什么條件？”使得學(xué)生在更新的問題情境中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)不同的相等關(guān)系，進(jìn)而建立二元一次方程組的模型，并充分認(rèn)識(shí)到這里的兩個(gè)未知數(shù)雖然出現(xiàn)在兩個(gè)不同的方程中，但它們表示的是同一個(gè)數(shù)量，這種“不變元”的思想也正是接下來研究“消元”的前提.

這樣的“學(xué)材再建構(gòu)”源于實(shí)際，又高于實(shí)際，學(xué)生不僅熟悉，而且與新知的聯(lián)系又很緊密，易于調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，有利于學(xué)生對所要研究的問題本質(zhì)的抽象，從而培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，并且能更快“看得透”.

2. 基于知識(shí)的相互關(guān)聯(lián)再建構(gòu)，展開邏輯推理，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的思維就是推理. 可由于編寫的特殊性，往往教材直接呈現(xiàn)出來的多是學(xué)科知識(shí)，如現(xiàn)成的結(jié)論以及形成結(jié)論的說明，卻省略了其中內(nèi)涵豐富的學(xué)科思維的過程，而學(xué)科知識(shí)本來就是運(yùn)用思維方法合乎邏輯地推導(dǎo)出來的. 如若我們在教學(xué)中再直接地“教教材”，那么勢必造成結(jié)論“明示”，或方法“暗示”，或知識(shí)“散裝”;勢必會(huì)讓學(xué)生誤以為即使不經(jīng)曲折的、反復(fù)的思維，也能徑直獲得知識(shí). 學(xué)生定然難以感受到用學(xué)科思維獲得學(xué)科知識(shí)的邏輯的力量，這種不經(jīng)思維而獲得的知識(shí)很難成為“真知”. 所以李庾南老師提出了“學(xué)材再建構(gòu)”，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的邏輯推理能力在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中得到提升.

李庾南老師認(rèn)為，二元一次方程組的解法的探究過程其實(shí)也是一個(gè)代數(shù)的推理過程，怎樣建構(gòu)“學(xué)材”，才能更好地展開這種推理，讓學(xué)生對最終的“消元”求解不僅能合乎情理地“想得到”，而且能步步有據(jù)地“想得通”呢？她在近年執(zhí)教此課時(shí)進(jìn)行了新的“再建構(gòu)”：選用兩數(shù)和差問題的算術(shù)模型引入課題，建立二元一次方程組后，首先讓學(xué)生通過觀察兩個(gè)方程的公共解獲得方程組的解，此時(shí)學(xué)生已然獲知推理的結(jié)論，剩下要做的便是獲得結(jié)論的過程以及這個(gè)過程的依據(jù)了. 接著李庾南老師追問：“你知道這是哪兩個(gè)數(shù)嗎？可以依據(jù)我們學(xué)過的什么知識(shí)來求得？”引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用舊知，憑借小學(xué)的兩數(shù)和差問題的解決經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的直覺，將遇到的新問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題，從而獲得了“加減消元”的解決思路，而后又通過追問“為什么可以這樣做”，讓學(xué)生明白其依據(jù)是等式的性質(zhì)，從而證明了這樣做的合理性.

在探究二元一次方程的解的過程中，李庾南老師問道：“如何求二元一次方程x+y=8的解？”引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“可用含一個(gè)未知數(shù)的式子來表示另一個(gè)未知數(shù)”，這樣的經(jīng)驗(yàn)又為接下來的“代入消元”提供了思路，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“求解二元一次方程組”歸根結(jié)底是轉(zhuǎn)化成已學(xué)的“求解一元一次方程”，其基本思想就是“消元”. 二元一次方程組如此，類似的，以后遇到三元一次方程組亦是如此……學(xué)生明白了解決問題的目標(biāo)“是什么”，達(dá)到目標(biāo)的路徑需要“怎么做”，更懂得了“為什么可以這么做”. 這樣的代數(shù)推理，看起來雖然沒有用“因?yàn)椤薄八浴钡男问奖硎荆殡S著“多元問題”的解決，學(xué)生收獲的是從學(xué)科知識(shí)到學(xué)科思想方法的“全盤皆活”，收獲的是用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界且“想得通”的能力.

3. 基于探究的完整過程再建構(gòu)，感受數(shù)學(xué)建模，培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的語言就是建模. 數(shù)學(xué)建模思想的形成是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑. 以學(xué)習(xí)二元一次方程組為例，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)和提出問題，是其建模的起點(diǎn);用二元一次方程（組）表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，是其建模的重要環(huán)節(jié);求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，是其建模的目的. 教材從籃球聯(lián)賽中的問題入手后，引導(dǎo)學(xué)生直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)表示問題中的兩個(gè)等量關(guān)系，得到了兩個(gè)方程;然后以這兩個(gè)方程為例，讓學(xué)生觀察其特征，歸納出二元一次方程組及其解的概念;最后用兩節(jié)內(nèi)容分別去討論如何“消元”求二元一次方程組的解. 這樣的處理方法對于所研究的模型“二元一次方程組”的求解及其數(shù)學(xué)特性的感知顯然要滯后一些，李庾南老師對這部分的教材內(nèi)容就“建模”進(jìn)行了如下的“再建構(gòu)”：

首先是從現(xiàn)實(shí)問題抽象出“二元一次方程”再到“二元一次方程組”，分別建模.

先由問題“已知兩數(shù)的和等于8，求這兩個(gè)數(shù)”入手，讓學(xué)生用式子表示這兩個(gè)數(shù)的數(shù)量關(guān)系，建立了二元一次方程，并歸納出二元一次方程的求解方法. 具體方法是“把關(guān)于x，y的二元一次方程看作關(guān)于y（或關(guān)于x）的一元一次方程，把x（或y）看作已知數(shù)，給定一個(gè)x（或y）的值，再求相應(yīng)的y（或x）的值，這一對x，y的值就是二元一次方程的一個(gè)解”[1]. 接著在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)二元一次方程的基礎(chǔ)上引入第二個(gè)問題：“已知兩數(shù)的差等于2，求這兩個(gè)數(shù).”學(xué)生可以類比第一個(gè)問題嘗試建模. 最后給出第三個(gè)問題：“已知兩數(shù)的和等于8，差等于2，求這兩個(gè)數(shù).”基于前面的研究，二元一次方程組的模型此時(shí)便呼之欲出了.

其次在建模后，對“二元一次方程組”的求解策略繼續(xù)進(jìn)行自主探究.

學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)組成方程組的兩個(gè)方程的公共解是二元一次方程組的解，但要列舉出每個(gè)方程的解來獲得公共解很麻煩，于是遷移到小學(xué)算術(shù)中“和、差”問題的解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程直接相加（或相減）的消元法，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究其他的消元法. 如此由“一元”向“二元”發(fā)展，建模后又從“二元”向“一元”轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷了建模的完整過程，感知到二元一次方程組模型與其他知識(shí)的聯(lián)系.

二元一次方程組作為方程組知識(shí)中最基本的模型，借助于這樣的“再建構(gòu)”，將模型的產(chǎn)生融合于問題的解決過程中，讓學(xué)生在一節(jié)課中經(jīng)歷了“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展模型”的完整過程，有利于學(xué)生更好地了解一般的一次方程組，提高對“多元問題”的認(rèn)識(shí)，感受模型的價(jià)值與內(nèi)涵，加深對模型的理解;同時(shí)對二元一次方程和二元一次方程組的分開建模又可以讓學(xué)生嘗試自我建模，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，形成“說得出”的能力.

教師是“再建構(gòu)學(xué)材”的主體，但不是唯一的主體，學(xué)生同樣可以通過努力參與“再建構(gòu)”，或者說教師要千方百計(jì)地創(chuàng)造條件，促成學(xué)生也能成為“再建構(gòu)”的主體;“再建構(gòu)學(xué)材”不是我們的目標(biāo)，我們的目標(biāo)是通過“再建構(gòu)的學(xué)材”教“為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)”，通過“再建構(gòu)的學(xué)材”育人，育成具有學(xué)科核心素養(yǎng)的人.

參考文獻(xiàn)：

[1]李庾南. 自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論[M].? 北京：人民教育出版社，2013.