逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學(xué)中的應(yīng)用

曹文棟　童莉

[摘? 要] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，“相交線與平行線”作為初中幾何學(xué)習(xí)的起始部分、嚴(yán)格證明的開端，其目標(biāo)在于幫助學(xué)生樹立幾何意識(shí)，養(yǎng)成推理與證明的能力，但教學(xué)中學(xué)生往往在邏輯推理、證明過(guò)程書寫方面存在一定困難. 在初中“相交線與平行線”相關(guān)證明專題教學(xué)過(guò)程中引入“逆向推理”的思維方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，為之后幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 逆向推理;相交線與平行線;核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式[1]，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也將“邏輯推理”作為主要素養(yǎng)之一. “圖形與幾何”內(nèi)容的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的有效方式，其中“相交線與平行線”部分作為初中“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的起始內(nèi)容、嚴(yán)格證明的開端，對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為重要. 傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往直接給出固定的推理組合，讓學(xué)生進(jìn)行記憶訓(xùn)練，形成固定模式，這對(duì)解決基礎(chǔ)的推理題目有效，但對(duì)稍微復(fù)雜的推理問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)找不到思路，特別是對(duì)于涉及作輔助線的推理問(wèn)題，學(xué)生感覺尤其困難.

逆向推理的思維方式就是從問(wèn)題出發(fā)[2]，先思考證明此問(wèn)題需要什么條件，再結(jié)合已知條件及相關(guān)定理，逐步找到所有的條件，形成嚴(yán)密的思維結(jié)構(gòu)，再?gòu)囊阎獥l件到目標(biāo)問(wèn)題，書寫完整求證過(guò)程. 這樣可以有效幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從問(wèn)題出發(fā)，養(yǎng)成逐步化歸的思維方式，突破幾何題目、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維、形成邏輯推理核心素養(yǎng).

初中“相交線與平行線”的內(nèi)容分析

“相交線與平行線”內(nèi)容屬于初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”知識(shí)板塊，該板塊是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，主要是運(yùn)用邏輯推理的方法來(lái)研究平面圖形性質(zhì)的學(xué)科內(nèi)容[3]，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的邏輯思維和推理能力的培養(yǎng). 從初中幾何課程整體來(lái)看，在“相交線與平行線”部分才剛剛引入較為規(guī)范的證明過(guò)程，若掌握好進(jìn)行推理證明的思考步驟及思維方式，則有助于學(xué)生在更深入的圖形證明中進(jìn)行邏輯推理.

在當(dāng)前主流的初中數(shù)學(xué)教材中，“相交線與平行線”在整個(gè)幾何內(nèi)容中的位置有一定的差異. 人教版將“相交線與平行線”一章設(shè)置在七年級(jí)下冊(cè)（第五章），它是繼七年級(jí)上冊(cè)（第四章）“幾何圖形初步”后，對(duì)圖形與幾何的更進(jìn)一步學(xué)習(xí). 北師大版將“相交線與平行線”設(shè)置在七年級(jí)下冊(cè)第二章（第八章），又在八年級(jí)上冊(cè)第七章（第十九章）專門設(shè)置了“平行線的證明”進(jìn)行證明過(guò)程的教學(xué). 華師大版將“相交線與平行線”一章設(shè)置在七年級(jí)上冊(cè)（第五章）. 具體見表1.

各教材“相交線與平行線”章節(jié)具體內(nèi)容也有略有差異. 在人教版教材中，該章不僅包括相交線以及平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，還專門設(shè)置了“命題、定理、證明”專題，引入“真命題”“假命題”以及“證明”的概念，開始進(jìn)行嚴(yán)格的證明教學(xué). 北師大版教材中，該章包括兩條直線的位置關(guān)系、探索直線平行的條件以及平行線的性質(zhì)等內(nèi)容，還設(shè)置了“為什么要證明”專題幫助學(xué)生樹立“要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明”的觀點(diǎn). 在華師大版教材中，該章在小學(xué)通過(guò)觀察體會(huì)相交線與平行線的基本屬性的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)說(shuō)理的方法從公認(rèn)的基本事實(shí)推導(dǎo)出了平行線的判定方法及性質(zhì)，并在“平行線的判定”內(nèi)容后以“讀一讀”的拓展閱讀形式對(duì)“推理”的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了介紹，強(qiáng)調(diào)了“歸納推理”與“演繹推理”的區(qū)別，同時(shí)在章節(jié)“小結(jié)”中說(shuō)明了“演繹推理”在結(jié)論證明中的作用. 具體見表2.

從表上可以看出，各類教材雖然對(duì)“相交線與平行線”的內(nèi)容設(shè)置方式不一，但都分為了兩個(gè)步驟，一是學(xué)習(xí)相交線以及平行線的判定與性質(zhì)的基本知識(shí);二是依托定理的學(xué)習(xí)進(jìn)行嚴(yán)格證明的教學(xué)，特別是北師大版本將這兩個(gè)步驟做了嚴(yán)格的區(qū)分. 不同教材對(duì)“推理”和“證明”兩個(gè)概念的講解程度不同，但均表達(dá)了“推理和證明是有區(qū)別的”的觀點(diǎn)，推理是證明過(guò)程中的組成部分，在“證明”的教學(xué)過(guò)程中重點(diǎn)是要讓學(xué)生理解證明的必要性和證明的過(guò)程. “相交線與平行線”章節(jié)的設(shè)置，承擔(dān)著進(jìn)行“證明”教學(xué)的功能，因此，在“相交線與平行線”的教學(xué)過(guò)程中，不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)二者概念的認(rèn)識(shí)，還要幫助學(xué)生深入理解“推理”與“證明”，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格證明的能力.

逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

1. 幫助學(xué)生銜接發(fā)展小學(xué)的推理方式

初中幾何教學(xué)主要是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)分析問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)從條件出發(fā)進(jìn)行分析和推導(dǎo)，尋求各種推理所需的證據(jù)，最終解決問(wèn)題[4]. 在“相交線與平行線”教學(xué)階段，學(xué)生剛剛經(jīng)歷完小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，邏輯推理能力較弱，才開始接觸“嚴(yán)格證明”的相關(guān)知識(shí)，在“尋求各種推理所需的證據(jù)”的能力上還有待提高，對(duì)于邏輯推理和規(guī)范證明方面都存在較大問(wèn)題. 特別是小學(xué)階段對(duì)“圖形與幾何”的內(nèi)容更關(guān)注學(xué)生對(duì)內(nèi)容的“認(rèn)識(shí)”階段，更多采用觀察、操作、簡(jiǎn)單推理等方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，缺少了“嚴(yán)格證明”的步驟. 圖爾明關(guān)于推理的定義強(qiáng)調(diào)了要“注重考慮邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性”.[5]學(xué)生進(jìn)入初中階段后思考事物缺乏邏輯性，表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是面對(duì)幾何題目缺乏整體思考，能看出結(jié)果但不會(huì)說(shuō)理由、能判斷求解但不會(huì)寫過(guò)程. 因此，在教學(xué)過(guò)程中采取必要手段引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理能力是非常有必要的.

2. 有助于發(fā)展學(xué)生思考問(wèn)題的主動(dòng)性

“逆向推理”的思維方式更關(guān)注于學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的過(guò)程，幫助學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，尋找可以用于求證結(jié)論或求解問(wèn)題的條件. 尋找條件的過(guò)程就是化歸思想的體現(xiàn)，將已知的問(wèn)題化歸為更容易探究或已經(jīng)解決的問(wèn)題[6]，通過(guò)多次化歸，可以轉(zhuǎn)化至已知的條件.

同時(shí)，新課程改革要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中處于主體地位，教師通過(guò)交流和引導(dǎo)的方式參與到學(xué)習(xí)和探索的過(guò)程中. 此模式下，教師主要以引導(dǎo)式提問(wèn)啟發(fā)學(xué)生思考[7]，這也使此方式成為落實(shí)學(xué)生的課堂主體地位、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的有效途徑.

逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學(xué)中的應(yīng)用案例

逆向推理的思維方式在“相交線與平行線”部分的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1. 引導(dǎo)關(guān)注論證目標(biāo)，積極關(guān)聯(lián)已知條件

剛剛接觸幾何題目的學(xué)生面對(duì)眾多已知條件，常出現(xiàn)不知道該如何使用條件推導(dǎo)的情況. 通過(guò)逆向推理的方式，可以幫助學(xué)生從目標(biāo)出發(fā)，尋找需要使用的條件. 在逆向推理的過(guò)程中，需要不斷引入新條件以轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這樣便可以幫助學(xué)生充分運(yùn)用已知條件.

案例1 如圖2，直線a‖b，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)B，C在直線b上，且BA⊥CA，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，且AC平分∠DAF，試說(shuō)明∠3=∠5.

分析 該題目涉及的知識(shí)點(diǎn)不多、難度不大，主要是利用垂直、平角、角平分線等定義，進(jìn)行平行的判定，在學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)幾何階段，逆向推理的解題思路能有效幫助學(xué)生理解已知條件的轉(zhuǎn)化. 如圖3所示的思維導(dǎo)圖，從結(jié)論出發(fā)，思考時(shí)充分考慮等量代換，將無(wú)法直接求證的角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為另外的角的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為可以解決的問(wèn)題. 經(jīng)此訓(xùn)練，學(xué)生能熟練進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并且知曉無(wú)法求證時(shí)使用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這大大提高了學(xué)生理解題目的效率.

2. 探求定理形成原理，加深對(duì)定理的理解

對(duì)于數(shù)學(xué)的命題而言，前提和結(jié)論都是已知的，因此基于數(shù)學(xué)命題驗(yàn)證的數(shù)學(xué)教學(xué)，可以在驗(yàn)證過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于證明的邏輯思維能力[8]. 在教學(xué)過(guò)程中，往往就可以結(jié)合定理等內(nèi)容對(duì)“逆向推理”思維方式進(jìn)行引入，幫助學(xué)生理解定理的內(nèi)在邏輯，加深學(xué)生對(duì)定理的理解.

案例2 定理教學(xué)“對(duì)頂角相等”. （如圖4，已知：直線a，b相交于點(diǎn)O，證明：∠2=∠3. ）

在教學(xué)過(guò)程中，“對(duì)頂角相等”是很直觀的，學(xué)生可以直接感受到，但如何證明，學(xué)生卻難以下手. 通過(guò)“逆向推理”的思維方式，可以有效幫助學(xué)生找到問(wèn)題所在，即要證明一組對(duì)頂角相等. 明確問(wèn)題后，學(xué)生便很容易知道要先找到一組對(duì)頂角，再對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明這組角相等.

3. 激發(fā)思維的靈活性，規(guī)范書寫證明過(guò)程

在圖形與幾何相關(guān)內(nèi)容的問(wèn)題解決中，解題方法往往不是唯一的，當(dāng)教師給出一種思路后，學(xué)生很難再思考其他解題思路. 在逆向推理的過(guò)程中，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的方法也是多樣的，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理時(shí)，可以列舉多條路徑，讓學(xué)生對(duì)同一題目的多種解題思路進(jìn)行探索，同時(shí)學(xué)生可以通過(guò)對(duì)比感受哪一種思路是最簡(jiǎn)便的，從而激發(fā)學(xué)生思維的靈活性.

案例3 如圖6，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，EF⊥BC于點(diǎn)F，∠1=∠2，試說(shuō)明AB∥DG.

分析 該題目是一道簡(jiǎn)單的利用平行線的判定方法進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的試題，在學(xué)生求解過(guò)程中，大多數(shù)都能運(yùn)用較為簡(jiǎn)單的方法，但教師在講解過(guò)程中，引入了一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的方法，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不太接受. 運(yùn)用逆向推理的思維方式，從目標(biāo)出發(fā)能自然而然地想到三種方法，在推理過(guò)程中也能讓學(xué)生明顯感受到不同解題方法的差異.

同時(shí)，學(xué)生在解題過(guò)程中，通過(guò)逆向推理能夠形成詳細(xì)的思維路徑，學(xué)生根據(jù)構(gòu)建的逆向推理思維過(guò)程，從思維導(dǎo)圖底部開始書寫證明過(guò)程，能夠清楚展示證明過(guò)程，使解題步驟條理清晰、具有邏輯性.

通過(guò)對(duì)逆向思維導(dǎo)圖的反向書寫，可以使解答思路清晰、書寫步驟規(guī)范. 在此展示案例3的方法二（通過(guò)證明內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩直線平行的結(jié)論）的證明過(guò)程. 具體如下：

因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC，

所以AD∥EF（同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行），

所以∠1=∠BAD（兩直線平行，同位角相等）.

又因?yàn)椤?=∠2（已知），

所以∠BAD=∠2（等量代換），

所以AB∥DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)教育主要是教給學(xué)生數(shù)學(xué)思維，教師在講授幾何題目引入逆向推理的思維方式時(shí)要堅(jiān)持以學(xué)生為本，更多地關(guān)心學(xué)生的思維過(guò)程[8]，主要以引導(dǎo)式的教學(xué)模式啟發(fā)學(xué)生自行挖掘條件、轉(zhuǎn)移已知內(nèi)容，切忌直接告訴學(xué)生下一步要找什么條件、應(yīng)該怎么做. 當(dāng)學(xué)生能熟練感知逆向推理的思維方式并嘗試獨(dú)立自主克服難題后，學(xué)生就能獨(dú)立自主地快速、規(guī)范、高效解題.

參考文獻(xiàn)：

[1] 王旭，童莉. 比翼齊飛：合情推理與演繹推理[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012（36）：14-15.

[2] 王斌. 數(shù)學(xué)證明中的逆向思維教學(xué)法[J]. 重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（01）：158-160.

[3] 黃燦. 中俄初中數(shù)學(xué)教材幾何內(nèi)容呈現(xiàn)方式對(duì)比研究[D]. 渤海大學(xué)，2017.

[4] 胡家車. 新課程改革下對(duì)初中數(shù)學(xué)教師的要求[J]. 新課程（中），2017（02）：226.

[5] 張僑平，邢佳立，金軒竹. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的理論和實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（05）：1-7.

[6] 黃翔. 數(shù)學(xué)方法論選論[M]. 重慶：重慶大學(xué)出版社，1995.

[7] 竇臘娜. 淺談初中數(shù)學(xué)問(wèn)題式教學(xué)的應(yīng)用策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（02）：92-93.

[8] 史寧中. 試論數(shù)學(xué)推理過(guò)程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（04）：1-16+46.