面積巧分割，二元一次方程組來幫忙

馬雁

摘 要：主要闡述了“實際問題與二元一次方程組”中的種植計劃問題的探究過程，通過學(xué)生自主探究、合作交流、舉一反三、觸類旁通、自編習(xí)題這幾個環(huán)節(jié)，提升學(xué)生主動探索、獨立思考、自主創(chuàng)新的能力，使他們更深刻地體驗到二元一次方程組在現(xiàn)實生活中的強大作用，凸顯出數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。

關(guān)鍵詞：二元一次方程組；種植計劃問題；面積分割；等量關(guān)系

二元一次方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型，用它解決實際問題的一般方法是根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組，求解并檢驗所得問題的結(jié)果是否符合實際意義。其中，關(guān)鍵是尋找實際問題中的等量關(guān)系。這就對學(xué)生分析問題和解決問題的能力有較高要求。

例題：（種植計劃問題）據(jù)以往的統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1∶2，現(xiàn)要在一塊長200 m，寬100 m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個長方形，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4？

方案一：豎分

方法1：如圖1，甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形AEFD和BCFE.設(shè)AE=xm，BE=ym，根據(jù)總產(chǎn)量比列方程組：

x+y=200100x∶200y=3∶4 解得x=120y=80

答：過長方形土地的長邊上離一端約120m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

方法2：設(shè)甲面積為x m2，乙面積為y m2，列方程組

x+y=20000x∶y=3∶4 解得x=12000y=8000

答：過長方形土地的長邊上離一端約120m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

（2）方案二：橫分

方法1：如圖2，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形ABEF和DCFE.設(shè)AE=xm，DE=ym，根據(jù)總產(chǎn)量比列方程組.

x+y=100200x∶400y=3∶4 解得x=60y=4

答：過長方形土地的短邊上離一端約60 m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

方法2：設(shè)甲面積為x m2，乙面積為y m2，列方程組

x+y=20000x∶2y=3∶4 解得x=12000y=8000。

答：過長方形土地的短邊上離一端約60 m處，把這塊地分為兩個長方形.較大一塊地種甲作物，較小一塊地種乙作物.

實際上，按面積分割長方形的問題可轉(zhuǎn)化為分割邊長的問題，分別分割長和寬，進而找到等量關(guān)系：甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4。列二元一次方程組求解得到結(jié)果。

為了讓學(xué)生對二元一次方程組深度的思考，增加解決實際問題的實踐，發(fā)揮學(xué)生主動性，自主探究的積極性，把實際問題模型化的思想提到了新的高度。下面是學(xué)生自己搜集編制的變式題或類型題。

【變式1】長方形土地，分成一個三角形，一個梯形；

據(jù)以往的統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1∶2，現(xiàn)要在一塊長200 m，寬100 m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩部分，其中一部分為三角形，使甲、乙兩種作物總產(chǎn)量的比是3∶10，請你設(shè)計一種分割方案，并通過計算說明。

【變式2】長方形土地，分成兩個梯形；

有甲、乙兩種作物，它們的單位面積產(chǎn)量的比是1∶2，現(xiàn)有一塊長200m，寬100m的長方形土地，從某邊的中點引一條線段，怎樣把這塊地分為兩個梯形，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4？

【變式3】三角形土地，分成兩個三角形；

一塊三角形土地ABC，底BC長160 m，高AD長50 m，將三角形ABC分成2個小三角形，以A為頂點，已知種兩種花甲、乙，要使甲、乙單位面積費用的比是2∶3，總費用比為2∶5，該如何劃分？

三個變式題由學(xué)生講解解答過程和思考方式。在此基礎(chǔ)上歸納總結(jié)：與例題的相同與不同，解法上的異同。本題注重解法多樣性展示，引導(dǎo)學(xué)生合作討論，并養(yǎng)成多題一解。一題多解的思維習(xí)慣。

通過利用二元一次方程組解決實際問題，使學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體驗到數(shù)學(xué)活動充滿探索與創(chuàng)造。初步接觸并感知一定的數(shù)學(xué)思想，能用數(shù)學(xué)思想來指導(dǎo)，形成良好的數(shù)學(xué)思維策略，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與效率。

參考文獻：

[1]張守麗.二元一次方程組與生活實際問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（七年級學(xué)生適用），2008（3）.

[2]印登清.關(guān)于《實際問題與二元一次方程組》的教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2014（5）.