巧用對稱解決立體幾何最值問題

蘇寧

摘 要：最值作為高中教學(xué)的一個重要內(nèi)容，在考查時常與其他知識點(diǎn)結(jié)合，解題策略多樣，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺最值問題比較復(fù)雜.本文針對立體幾何部分內(nèi)容，考慮到空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，所以選擇了對稱性來研究，希望借此提升學(xué)生最值學(xué)習(xí)效果.

關(guān)鍵詞：對稱;立體幾何;最值;應(yīng)用

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0058-03

最值問題是高中教學(xué)的一個重要內(nèi)容，最值一詞意味著需要在可選擇且較復(fù)雜的情況里進(jìn)行分析計(jì)算，從而求得符合題目要求的答案，這是學(xué)生在解決最值問題時倍感困難之所在.結(jié)合最值內(nèi)容考查時的綜合性比較強(qiáng)的特點(diǎn)，最值內(nèi)容的教學(xué)不是在一節(jié)課或者幾節(jié)課中就可以讓學(xué)生完全掌握的，因此，教師應(yīng)貫徹在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中.因高考涵蓋模塊知識較多，本文只選擇立體幾何問題中的最值來研究，而且只針對一類特殊處理方法應(yīng)用下的立體幾何最值求解來研究.

結(jié)合近幾年各省份的高考模擬題真題，可以確定立體幾何中的最值往往涉及長度或距離、周長或面積、體積、角度等方面.依據(jù)2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱中提出在立體幾何點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)中形成對空間形式的觀察、分析、抽象的空間想象能力的要求，立體幾何問題在解決過程中應(yīng)以空間幾何體為對象，充分認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征.如果在立體幾何最值求解問題中，能夠?qū)缀误w的結(jié)構(gòu)特征融入對稱性質(zhì)解決最值問題，不僅能提高解題效率，簡化復(fù)雜的運(yùn)算，還能較好地突破最值這一重難點(diǎn)問題.

1 對稱性的理解

對稱的含義就是和諧、美觀.在現(xiàn)實(shí)世界中，對稱形式各樣，無處不在.段學(xué)復(fù)說“對稱，照字面來講，就是兩個東西相對而又相稱（或者相仿，相等）.因此，把這兩個東西互換一下，好像沒動一樣.”數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)，對稱廣泛存在于代數(shù)與幾何之中.數(shù)學(xué)教學(xué)融入對稱的學(xué)習(xí)，既能揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，又能讓學(xué)生們感受數(shù)學(xué)之美，提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果.特別地，幾何中融入對稱性，尤其是立體幾何，空間幾何體較多具備較好的結(jié)構(gòu)特征，使用對稱性去分析問題、解決問題能更好地建立學(xué)生的“對稱觀”，因此，研究立體幾何中的對稱性解題絕對有必要.

2 對稱性在立體幾何最值中的應(yīng)用

2.1 對稱在立體幾何長度、距離最值問題中的應(yīng)用

例1 O為單位正方體ABCD-A1B1C1D1側(cè)面ADD1A1的中心，在面ABCD上存在一點(diǎn)P，使得OP+PC1最短，求OP+PC1的最小值.

解析 可以借助“對稱性”，化曲為直來解決，具體做法為作點(diǎn)O關(guān)于面ABCD的對稱點(diǎn)O1，由對稱的性質(zhì)得O1P=OP，所求OP+PC1的值被轉(zhuǎn)化為O1P+PC1的值來處理即可，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可知，當(dāng)O1，P，C1三點(diǎn)共線時值最小，最小值為122+12+322=142.圖1

例2 如圖1，在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥面ABCD于O，SO=2，底面邊長為2，點(diǎn)P，Q分別在線段BD，SC上移動，求PQ兩點(diǎn)的最短距離.

解析 題目中P，Q兩點(diǎn)均是動點(diǎn)，作為空間兩條異面直線上的動點(diǎn)，研究它們的距離的最小值必然是BD，SC兩條異面直線的公垂線段，所以這個問題的關(guān)鍵是尋找公垂線段.

借助對稱性可知，線段BD被包含SC的面OSC垂直平分，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)O時，過點(diǎn)O向SC引垂線，垂線段長度即為最小值，最小值為255.

例3 如圖，圓柱形玻璃杯的高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm.

解析 如圖為圓柱的側(cè)面展開圖，若使螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的距離最短，且從外壁進(jìn)入內(nèi)壁，可做A點(diǎn)的對稱點(diǎn)A′，A′B即為所求，最短為（16）2+（14-5+3）2=20.

例4 如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO=OB=1.若BC=2，點(diǎn)E在線段PB上，求CE+OE的最小值.

解析 在本題問題的解決中，實(shí)現(xiàn)線段和最小，需要將問題平面化處理，實(shí)現(xiàn)平面化最值即可解決，具體操作是將側(cè)面PBC繞PB旋轉(zhuǎn)至平面PBC′，使之與平面PBA共面，如圖所示.當(dāng)O，E，C′共線時，CE+OE取得最小值.而這種旋轉(zhuǎn)可以看作旋轉(zhuǎn)一定角度后對稱尋找出的面PBC′，仍然是熟悉的平面問題中線段和最小問題解決的常用方法.

此時所求CE+OE的最小值為2+62.

例3 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若AP1∥面AEF，求線段AP1長度的取值范圍.

解析 本題可以首先根據(jù)面面平行獲取點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡在棱BB1，B1C1中點(diǎn)連接的線段上運(yùn)動，如圖2所示.

本題所求線段AP1長度變化是關(guān)于點(diǎn)A1與M，N中點(diǎn)所在直線成對稱變化，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可以求得線段AP1的最大值和最小值，即AP1長度的取值范圍為324，52.

2.2 對稱在立體幾何周長、面積最值問題中的應(yīng)用

例4 二面角α-l-β的大小為60°，點(diǎn)P到面α的距離為2，到面β的距離為3，A∈α，B∈β，求△ABP的周長的最小值.

解析 本題采用對稱處理較簡單.作點(diǎn)P關(guān)于面α，β的對稱點(diǎn)P1，P2，如圖3所示.由對稱的性質(zhì)可知△ABP的周長=AB+AP+BP=AB+AP1+BP2，當(dāng)A，B，P1，P2四點(diǎn)共線時，周長最小，最小值為219.

例5 已知球O表面上的四點(diǎn)A，B，C，P滿足AC=BC=2，AB=2.若四面體PABC體積的最大值為23，求球O的表面積.

解析 根據(jù)球的對稱性確定四面體PABC體積取得最大值時點(diǎn)P的位置.當(dāng)點(diǎn)P所在面與面ABC垂直時可根據(jù)體積的大小求出球的半徑，繼而求出球的表面積.設(shè)點(diǎn)

P到平面ABC的距離為h，則13×12×2×2×h=23，解得h=2.

設(shè)四面體ABCP外接球的半徑為R，則R2=（2-R）2+12，解得R=54.

所以球O的表面積為4π×（54）2=254π.

例6 在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P，使得AP+D1P最短，求其最小值.

解析 此題需要將面AA1B旋轉(zhuǎn)至與面D1A1B共面，將不共面的兩條線段和的最小問題通過旋轉(zhuǎn)后找到A的對稱點(diǎn)A′，轉(zhuǎn)化為A′P+D1P的最小值，解得最小值為2+2.

2.3 對稱在立體幾何體積最值

問題中的應(yīng)用

例11 設(shè)A、B、C、D是同一個半徑為4的球面上的四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為93，求三棱錐D-ABC體積的最大值.

解析 由△ABC面積為93，設(shè)其邊長為x，則34x2=93，得x=6.由正弦定理得外接圓半徑為2r=6sin60°r=23.結(jié)合球的對稱性可知，若求三棱錐D-ABC體積的最大值，則點(diǎn)D與△ABC外心，球心共線（如圖所示），所以點(diǎn)D到面ABC的最大距離為4+42-232=6.

所以，三棱錐D-ABC體積的最大值13×93×6=183.

例12 已知AD與BC是三棱錐A-BCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且∠ABD=∠ACD=60°，求三棱錐A-BCD體積的最大值.

解析 如圖，作CF⊥AD，垂足為F，連接BF.

∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF=C，BC，CF面BCF.∴AD⊥面BCF

∴V三棱錐A-BCD=V三棱錐A-BCF+V三棱錐D-BCF=13S△BCF·AF+13S△BCF·DF=13S△BCF·AD

∵AD=BC=6，∴V三棱錐A-BCD=2S△BCF

若三棱錐A-BCD體積的最大，即△BCF面積最大.

根據(jù)對稱性易知，當(dāng)△BCF為等腰三角形時，△BCF面積最大，三棱錐A-BCD體積的最大.

作BC中點(diǎn)E，連接EF，易知EF⊥BC，

∴S△BCF=2×12×BC×EF=6EF

又∵EF=CF2-CE2=CF2-9∴CF最長時，三棱錐A-BCD體積的最大.再次由對稱性得到，當(dāng)△ACD為等邊三角形時，CF最長，CF=33，三棱錐A-BCD體積的最大為182.本題兩次使用到對稱性來分析何時取得最值，而在取得最值后所對應(yīng)的空間幾何體也結(jié)構(gòu)上滿足很好的對稱性，體現(xiàn)了對稱美.

例7 如圖4，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c為常數(shù)，求四面體ABCD體積的最大值.

解析 因?yàn)锳B+BD=AC+CD=2a，所以AB=BD=AC=CD=a時，四面體ABCD關(guān)于AD以及BC的中點(diǎn)E確定的平面是對稱的，此時體積最大，如圖5.

所以S△ADE=12×AD×EF

=12×2c×a2-1-c2，

VABCD=23c·a2-1-c2.

2.4 對稱在立體幾何其他最值問題中的應(yīng)用

例14 已知底面邊長為42，側(cè)棱長為25的正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于球.若球O2在球O1內(nèi)且與平面ABCD相切，則球O2的直徑的最大值.圖1

解析 根據(jù)對稱性可知，如圖所示能得到球的直徑最大.設(shè)球O1的半徑為R，則（R-2）2+42=R2，解得R=5，所以球O1的直徑為10，當(dāng)求O2與平面ABCD相切且與球O1相切時，球O2的直徑最大為10-2=8.

例8 如圖6，點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動，并保持AP⊥BD1，若正方體邊長為2，則|PB|的取值范圍.

解析 動點(diǎn)運(yùn)動必須確定其運(yùn)動路徑，滿足條件的點(diǎn)P在定直線B1C上運(yùn)動，其運(yùn)動過程中所求線段長度成對稱變化，點(diǎn)P在線段中點(diǎn)時最小，運(yùn)動到端點(diǎn)時最大，所以取值范圍為[2，2].

根據(jù)以上內(nèi)容的陳述可知，解決立體幾何最值問題時，教師可以融入對稱思想，不斷在教學(xué)中滲透，能夠較快解決一些問題，使問題處理起來簡潔、清晰，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高學(xué)生的審美能力.

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