一元三次方程的巧解模型構(gòu)造及其應(yīng)用

姚張松 程黎明

摘 要：2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等，針對(duì)當(dāng)前提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的迫切需求，思考中學(xué)生如何根據(jù)已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的過(guò)程是必要的.本文在中學(xué)生已經(jīng)具備求解一元二次方程，以及高中拓展的行列式知識(shí)的基礎(chǔ)上，利用換元的技巧，把特殊的一元三次方程轉(zhuǎn)換成一元二次方程，得出了一元三次方程的解法.通過(guò)詳細(xì)展示解決問(wèn)題中的思維過(guò)程，來(lái)體現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，從而更好地達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)教育目標(biāo).同時(shí)，推廣研究結(jié)果，得出很多新的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育;一元三次方程;行列式

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0054-04

華為總裁提到，是數(shù)學(xué)幫助華為獲得了制定5G標(biāo)準(zhǔn)的先機(jī).要注重?cái)?shù)學(xué)方法的突起.5G時(shí)代同時(shí)給數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求，呼喚著數(shù)學(xué)教育應(yīng)該上一個(gè)更高的臺(tái)階.

其實(shí)，著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞提出：“現(xiàn)代探索法力求了解探索過(guò)程，特別是解題過(guò)程中典型有用的智力活動(dòng)”.數(shù)學(xué)教師如果能在教學(xué)中踐行這種智力活動(dòng)的過(guò)程，毫無(wú)疑問(wèn)，這為學(xué)生將來(lái)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是高質(zhì)量的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué).

下面，我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)展示問(wèn)題解決的智力活動(dòng)過(guò)程.中學(xué)生都會(huì)解一元二次方程，教師能不能幫助學(xué)生進(jìn)一步提高認(rèn)知？解一個(gè)一元三次方程.

1 通過(guò)類(lèi)比得出解決問(wèn)題的思路“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”這是中學(xué)生的回答和做法.然而，我們現(xiàn)在可沒(méi)有現(xiàn)成的求一元三次方程的求根公式.讓我們回到求解一元二次方程的過(guò)程，或許能給我們帶來(lái)啟迪和靈感.

一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0，當(dāng)a≠0時(shí)，古人曾用過(guò)作變量代換：

令x=y-a2，

方程變?yōu)閥2=a2-4b4.

即y=±a2-4b2.

從而x=-a±a2-4b2.

問(wèn)題獲得解決.

這種解法揭示了一種思維過(guò)程，其模式如下：

簡(jiǎn)化方程（變量代換）開(kāi)平方運(yùn)算（數(shù)學(xué)模型）問(wèn)題解決

一元三次方程的一般形式是

x3+ax2+bx+c=0.

借用古人的做法，作變量代換：

令x=y-a3，方程變?yōu)椋?/p>

y3+（b-a23）y+c+227a3-13ab=0.

由于a，b，c都是已知數(shù)，所以我們可以把上述方程簡(jiǎn)化為：

y3+py+q=0.（其中p，q為已知數(shù)）①

當(dāng)p=0或q=0時(shí)，方程①很容易通過(guò)開(kāi)方運(yùn)算求解.以下討論均在p≠0且q≠0情形中進(jìn)行.

現(xiàn)在的問(wèn)題是：在解一元二次方程的思維鏈的中間那一環(huán)斷裂，機(jī)械的照搬無(wú)濟(jì)于事，顯然，我們要尋求引進(jìn)或建立一種適用的數(shù)學(xué)模型.

2 尋找熟悉的且類(lèi)似的模型

“看看未知數(shù)！試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題來(lái)”.

解方程①等價(jià)于我們尋找y3+py+q因式分解式.它至少有一個(gè)一次因式y(tǒng)+α，于是y=-α是①的一個(gè)根，求出①的一個(gè)根后，剩余兩個(gè)根也就好求了，這提示我們所尋求的數(shù)學(xué)模型因具有兩種不同的計(jì)算方法，一種算出①式的左邊，一種算出

①的因式分解式，我們自然想到行列式的算法，它既有對(duì)角線算法，又有行列式性質(zhì)算法，且兩種算法等價(jià).

①是一個(gè)一元三次方程，我們自然選擇三階行列式，三階行列式用對(duì)角線法計(jì)算，有六項(xiàng)，三正項(xiàng)，三負(fù)項(xiàng).每項(xiàng)由不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘得到.先看主對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)，因?yàn)棰俚淖筮吶雾?xiàng)前面的系數(shù)是1，所以主對(duì)角線上三個(gè)元素取y可以滿足上述條件，當(dāng)然，三項(xiàng)乘積為y3有各種取法，例如：1，y，y2;1，1，y3等，但為了各行各列之和有公因式可以提取，我們只能選擇y，y，y這種，其余六個(gè)數(shù)我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定.

設(shè)D（y）=ya1a2a3ya4a5a6y，則

D（y）=y3-（a2a5+a1a3+a4a6）y+a1a4a5+a2a3a6.

D（y）與方程①的左邊已經(jīng)非常接近了.要使

D（y）有公因式可以提取，要么各行元素之和

相等，要么各列元素之和相等，為此，六個(gè)常數(shù)元素中任取三個(gè)或三個(gè)以上的元素都將破壞這個(gè)條件.六個(gè)元素的配置只能是兩種可能，第一種：

D（y）=ya1a1a1ya1a1a1y=y3-3a21y+2a31，

D（y）=（y+2a1）（y-a1）2，

三根為：y1=-2a1，y2=y3=a1.

D（y），a1應(yīng)是可求的已知，否則構(gòu)造不出模型，而后一個(gè)等式又表明a1是三次方程的根，它又是不可求的未知，a1的雙重身份明顯違背了同一律，說(shuō)明這樣的模型是不存在的.所以六個(gè)數(shù)相等雖然簡(jiǎn)單但不能這樣取.

第二種，假設(shè)六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)任取，例如a1，a2任取，a3，a4，a5，a6等于a1或a2，在保證有公因式可提的條件下，D（y）有下列兩種形式：

當(dāng)各列元素之和相等時(shí)，

D1（y）=ya1a2a1ya1a2a2y

或D2（y）=ya1a2a2ya1a1a2y，

當(dāng)各行元素之和相等時(shí)

D3（y）=ya1a2a1ya2a2a1y

或D4（y）=ya1a2a2ya1a1a2y.

這四種情形的行列式有兩種結(jié)果，第一、三情形的行列式為：

D（y）=y3-（a21+a22+a1a2）y+a21a2+a1a22

=（y+a1+a2）（y-a1）（y-a2），

第二、四情形的行列式為：

D（y）=y3-3a1a2y+a31+a32=（y+a1+a2）[y2-（a1+a2）y

+a21-a1a2+a22]，

D1（y）=D3（y），按性質(zhì)計(jì)算得到的因式分解式表明，a1，a2，-a1-a2是方程①的三個(gè)根，而與前面情形一樣，a1，a2違背了同一律，說(shuō)明這樣的數(shù)學(xué)模型是不存在的.

3 調(diào)整模型，解決問(wèn)題

由于D2（y）=D4（y），我們只需討論D2（y）.

D2（y）按兩種計(jì)算方法相等，即有：

y3-3a1a2y+a31+a32

=（y+a1+a2）[y2-（a1+a2）y

+a21-a1a2+a22].

為了求出a1，a2，比較①的左邊與y3-3a1a2y+a31+a32，可得

-3a1a2=p，a31+a32=q.

進(jìn)而可得a31a32=-p327，a31+a32=q.

我們發(fā)現(xiàn)a31，a32是一元二次方程z2-qz-p327=0的兩個(gè)根，然后在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)a31，a32開(kāi)立方根，可分別得到三個(gè)a（i）1，a（i）2（i=1，2，3），再根據(jù)a1a2=-p3適當(dāng)配對(duì)，得到①的根-a1-a2.至此，我們解決了任何一個(gè)一元三次方程的求根問(wèn)題，其思維模式如下：

簡(jiǎn)化方程（變量代換）

引進(jìn)三階行列式作數(shù)學(xué)模型問(wèn)題解決

下面根據(jù)我們思維的過(guò)程與結(jié)果求解一個(gè)一元三次方程：例1 解方程y3-3y+1=0.

解析 這里p=-3，q=1，于是a1a2=1，a31+a32=1.

即有a31a32=1，a31+a32=1.

解一元二次方程z2-z+1=0，得

a31=12+32i=cosπ3+isinπ3，

a32=12-32i=cos5π3+isin5π3.

對(duì)a31，a32開(kāi)立方，各得到三個(gè)值，為了方便起見(jiàn)，分別記為a（i）1，a（i）2.即：

a（1）1=cosπ9+isinπ9，a（2）1=cos7π9+isin7π9，a（3）1=cos13π9+isin13π9，

a（1）2=cos5π9+isin5π9，a（2）2=cos11π9+isin11π9，a（3）2=cos17π9+isin17π9.

因?yàn)閍1a2=1，

而a（1）1a（3）2=a（2）1a（2）2=a（3）1a（1）2=1，

所以-（a（1）1+a（3）2）=2cos8π9，

-（a（2）1+a（2）2）=2cos2π9，

-（a（3）1+a（1）2）=2cos4π9.

所以方程的三個(gè)根為：

2cos2sπ9（s=1，2，3）.

4 回顧解決過(guò)程，整理解題思路

檢查問(wèn)題解決的每一步是否對(duì)是回顧不可缺少的步驟，另外，通過(guò)驗(yàn)根可以更有力地說(shuō)明你的思維方向、過(guò)程、結(jié)果的正確：

y3-3y+1

=8（cos2sπ9）3-6cos2sπ9+1

=2[4（cos2sπ9）3-3cos2sπ9]+1=2cos2sπ3+1

=2×（-12）+1

=0.

在解①的過(guò)程中，我們完全可以導(dǎo)出①的求根公式，讓學(xué)生記住公式就行了，然而，我們沒(méi)有這么做，因?yàn)椤皟H僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭”，我們希望學(xué)生理解、掌握、運(yùn)用解決問(wèn)題的方法和策略，并能在今后遇到新的問(wèn)題時(shí)利用它們披荊斬棘，所向披靡.

對(duì)于例題，利用韋達(dá)定理可知：

cos2π9+cos4π9+cos8π9=0，

cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9

=-34，

cos2π9cos4π9cos8π9

=-18.

由y3-3y+1=Π3s=1（y-2cos2sπ9）， 令y取不同的數(shù)，可以得到更多的三角恒等式.

在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過(guò)程，這將會(huì)極大激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，掌握科學(xué)的探索方法會(huì)讓他們受益終身.當(dāng)然，教師要具備引導(dǎo)的能力，對(duì)教師本身也提出了更高的要求，“尋找一個(gè)好問(wèn)題，最好是從前未見(jiàn)過(guò)的”，在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，啟發(fā)、幫助學(xué)生“跳一跳把桃子摘下來(lái)”，這才是高水平、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓我們一起來(lái)努力實(shí)踐之.

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[責(zé)任編輯：李 璟]