最值的常見誤區(qū)引發(fā)的包絡線問題

華南師范大學附屬中學(510630)羅碎海

許多名師是在“教學相長”中成長起來的.學生的求知欲刺激著老師的水平提高,同時學生的錯誤也使老師反思教學的問題與方法,并有所發(fā)現(xiàn)突破.

一、一個傳統(tǒng)的錯誤

二、最小(大)值的定義

最小值的定義對定義在D上的函數(shù)y=f(x),若有常數(shù)m,對任意x都有f(x)≥m恒成立,并且存在x0∈D,滿足f(x0)=m,則m為函數(shù)y=f(x)在D上的最小值.

最大值的定義類似.

最小(大)值定義的本質變量恒不小于(或不大于)常量,且等號取到.所以只有在不等式一端為常量的前提下,才可以談最小(大)值.

原題正確的解法因為x ＞0,所以當且僅當即x=1 時取等號,所以函數(shù)的最小值是3.

圖2

三、反思錯誤解法中得出的是什么

圖1

四、代數(shù)形式的演變

圖3

五、包絡線的定義及其求法

六、初等方法求包絡線問題舉例

由以上分析可知求曲線系的包絡線的初等方法就是消去參數(shù),具體消參的方法常用的有:應用判別式;應用均值不等式;應用柯西不等式等.我們只能解決一些較簡單的問題,許多復雜問題需用高等數(shù)學求偏導的方法.

例1求曲線系y-t2=(x-t)2的包絡線.

圖4

圖5

圖6

圖7

七、圓錐曲線的包絡線問題

許多老師在教授橢圓時,用以下問題讓學生動手引入新課:

“一張平整的白紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內一定點A,且OA=a(0＜a ＜R).折疊紙片,使圓周上某一點A′與點A重合.這樣的每一種折法留下一條直線折痕MN.當點A′取遍圓周上的所有點時,求所有折痕直線上的點的集合.”

讀者不妨取一張白紙畫個圓試著折一折,多折幾次,不難發(fā)現(xiàn),所有折痕直線好像圍成一個橢圓,如圖8.下面我們用初等方法證明如下:

性質所有折痕直線圍成的圖形是以O、A為焦點,長軸的長為R的橢圓,并且這個橢圓和所有折痕直線都相切.

證法1如圖8,以O為原點,OA所在的直線為x軸建立直角坐標系,則A(a,0).設折疊時圓O上點A′(x0,y0)與點A重合,則折痕直線MN為線段AA′垂直平分線.

圖8

圖9

如果把上題中的圓換成直線,則有下面的題目.

變式一張紙上畫有直線l和直線外一定有點A,且點A到l的距離為a.折疊紙片,使直線l上某一點A′恰好與點A合.這樣的每一種折法都留下一條折痕直線.當點A′取遍直線l上的所有點時,求所有折痕直線上的點的集合.

可以證明:所有折痕直線上的點都在以點A為焦點,直線l為準線的拋物線外部(含邊界),且這條拋物線與所有折痕直線都相切.請讀者自己證明.

八、高考中的包絡問題

多年來,高考數(shù)學題中也涉及以包絡為背景的問題,當然這些題都可用高中數(shù)學知識解決.但若能看透題目的背景,無疑對問題的理解更深刻.試看以下幾例:

圖10

圖11

圖12

圖13

九、構造新的包絡線

我們從學生的錯誤的方法發(fā)現(xiàn)一類新的數(shù)學問題,并找到解決方法.雖然此法目前不能解決所有問題,而且消參過程需要技巧,許多問題還需繼續(xù)研究,但它使我們對數(shù)學有新的認識與感覺,這正是數(shù)學的魅力,是最好的學習,是思維的提升.