正多邊形同心圓錐曲線的兩個(gè)性質(zhì)

廣東省廣州市花都區(qū)新華培新學(xué)校(510800)洪鵬花

廣東省廣州市花都區(qū)赤坭鎮(zhèn)赤坭圩小學(xué)(510830)李思根

文[1]研究了正多邊形的同心圓(即圓心在正多邊形中心的圓)的兩個(gè)性質(zhì):(1)正多邊形同心圓上的任意一點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離的平方和是定值;(2)正多邊形同心圓上任意一點(diǎn)到各邊距離的平方和是定值.

文[2]推廣了文[1]的結(jié)論,得到了正多邊形的同心橢圓(即橢圓中心在正多邊形中心的橢圓)的兩個(gè)性質(zhì):(1)設(shè)G為正n邊形的中心,則以G為中心的橢圓上任意一點(diǎn)到正n邊形的各頂點(diǎn)的距離的平方和與該點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離的乘積的n倍之和為定值;(2)設(shè)G為正邊形的中心,則以G為中心的橢圓上任意一點(diǎn)到正n邊形的各邊所在直線的距離的平方和與該點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)距離的乘積的倍之和為定值.

圓錐曲線包括:圓、橢圓、雙曲線、拋物線.圓與橢圓具有以上兩個(gè)性質(zhì),本文把以上兩個(gè)性質(zhì)推廣到雙曲線和拋物線.

正多邊形的同心雙曲線,即雙曲線中心在正多邊形中心的雙曲線;正多邊形的同心拋物線,即拋物線頂點(diǎn)在正多邊形中心的拋物線,以上同心圓、同心橢圓、同心雙曲線、同心拋物線統(tǒng)稱為正多邊形同心圓錐曲線.

定理1設(shè)G為正n邊形的中心,則以G為中心的雙曲線上任意一點(diǎn)P到正n邊形的各頂點(diǎn)的距離的平方和與點(diǎn)P到雙曲線兩焦點(diǎn)距離的乘積的n倍之差為定值n(a2-b2+r2),其中a,b分別為雙曲線的實(shí)半軸和虛半軸的長(zhǎng)度,r為正n邊形外接圓的半徑.

證明如圖1所示,點(diǎn)G為正多邊形A1A2···An和雙曲線C:的中心,點(diǎn)P是雙曲線C上的任意一點(diǎn),如圖1 以G為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

圖1

定理2設(shè)G為正n邊形的中心,則以G為中心的拋物線上任意一點(diǎn)到正n邊形的各頂點(diǎn)的距離的平方和與該點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)距離的平方的n倍之差為定值nr2,其中r為正n邊形外接圓的半徑.

證明如圖2所示,點(diǎn)G為正多邊形A1A···An和拋物線C:y2= 2px(p ＞0)的中心,點(diǎn)P是拋物線C上的任意一點(diǎn),如圖2 以G為中心建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正多邊形外接圓半徑為r.

圖2