一類組合恒等式問題的一般化與特殊化

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006);廣州大學(xué)計算科技研究院(510006);廣州市第二中學(xué)(510530)程漢波

1 問題提出

2 一般化

3 特殊化

特殊化通常是指一般化命題的特殊例子.波利亞也在《怎樣解題》中闡述道:特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小的子集,或僅僅一個對象.特殊化可以通過具體的數(shù)字去進行代入,也可以指就“極端”的情況進行考慮,還包括作出具體的圖形等.

應(yīng)用以上一般化的命題1,利用特殊化的策略,可得如下幾道文[3](以下例1、例2、例3)和文[4](以下例4、例5)中頗有難度的習(xí)(例)題.

以命題1 為背景的組合恒等式問題屢見不鮮.讀者還可嘗試尋找或命制出更多與此背景相關(guān)的組合恒等式,以感悟一般化的結(jié)論利用特殊化的策略在命題中的廣泛使用.

4 再證一元次多項式的一個特性

盡管特殊化與一般化是在兩個方向上進行的,但是,這兩者在實際數(shù)學(xué)研究中又是密切相關(guān)的、相互依賴的.特殊化只有上升到一般的高度,我們可能更為深刻地認識和理解各個特殊的例子,才能更好地解決問題.

文[5]給出了一元n次多項式的如下一個特性,并利用高階差分相關(guān)的知識進行了繁雜的證明,若利用命題1,該優(yōu)美特性的簡潔證明便是水到渠成.

5 小結(jié)與反思

本文首先將特殊的兩道中科大新生入學(xué)考試題和一道清華大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科能力測試題(TACA)進行一般化,得到更加普遍和深刻的命題1,然后由一般化的命題1 又輕松地解決了文[3-4]中的五道習(xí)(例)題,即是將一般化的結(jié)果特殊化的體現(xiàn).而且,在一般化與特殊化的“再創(chuàng)造”與“數(shù)學(xué)化”的過程中,簡潔有力改良了文獻[5]中有關(guān)一元n次多項式一條特性的證明過程.

由此可見,一般化、特殊化滲透于解題的全過程,協(xié)同解決數(shù)學(xué)問題.一般化與特殊化的螺旋過程中,能除去那些不必要的步驟,弄清問題的關(guān)鍵所在,使思路明晰起來,抓住問題的本質(zhì),給出一些簡單、漂亮的解法和變式訓(xùn)練.這樣,我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時收獲了學(xué)習(xí)知識的方法、也收獲了愉悅充實的心情.

正如波利亞把一般化、特殊化和類比并列地稱為“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”.英國著名數(shù)學(xué)家梅森集中研究了數(shù)學(xué)中的特殊化和一般化方法及其在解題中的作用后認為:特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心,同時也是怎樣解題的關(guān)鍵.