利用空間余弦定理求解異面直線的夾角

福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000)江智如 吳麗萍 黃麗群

1 問題提出

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,正余弦定理是重要的工具知識(shí)[1],有著廣泛的應(yīng)用,常用于探索三角形邊長與角度關(guān)系,求解相關(guān)實(shí)際問題,能夠培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在空間幾何中,異面直線所成角是基礎(chǔ)知識(shí),在近年高考與各類模擬考中多有出現(xiàn),它能考查考生空間想象能力和運(yùn)算求解能力,考生可以利用坐標(biāo)法與平移法解答相關(guān)問題.筆者在教學(xué)實(shí)踐過程中,發(fā)現(xiàn)把平面余弦定理推廣到空間形式,借助空間四邊形,將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為三棱錐中棱長與角度關(guān)系,可有效解決此類問題.為此,本文以近年高考試題為載體,探究利用空間余弦定理求解異面直線所成角的解題策略.

2 空間余弦定理

引理(空間形式的余弦定理)如圖1,在空間四邊形ABCD中,連接AC,BD,設(shè)異面直線AD與BC的所成角為θ,那么.

圖1

3 方法探究

根據(jù)空間余弦定理的“形”,應(yīng)用公式的關(guān)鍵是構(gòu)造空間四邊形,即把異面直線轉(zhuǎn)化為三棱錐的對(duì)棱,將三棱錐中各棱長代入空間余弦定理公式求得結(jié)果.而三棱錐的各棱長,常借助長方體或三角形,通過勾股定理和平面余弦定理確定.解題步驟歸納為:(I)構(gòu)造三棱錐;(II)求出各棱長;(III)代入公式求出余弦值;即“一錐,二長,三公式”[2].

4 典例應(yīng)用

圖2

評(píng)析本試題以正方體為載體,把直線PB與AD1轉(zhuǎn)化成三棱錐P -ABD1中的對(duì)棱,依托正方體各棱的位置關(guān)系,利用勾股定理求出三棱錐各棱的長度,再根據(jù)空間余弦定理公式得到結(jié)果.考查考生化歸與轉(zhuǎn)化思想,空間想象能力和運(yùn)算求解能力.需要考生理解空間余弦定理中各棱的對(duì)應(yīng)關(guān)系,熟練掌握公式的表達(dá)式,從而能夠快速地求解出結(jié)果.滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).

評(píng)析本試題與題1 類似,依托長方體設(shè)置問題,考生容易求出各棱的長度,然后把異面直線嵌入三棱錐B1- ADD1,直接運(yùn)用空間余弦定理公式得到結(jié)果.要求考生具有較高的空間想象能力、推理論證能力和扎實(shí)的運(yùn)算求解能力[3].

例2(2015年高考浙江卷理科第13 題)如圖3,三棱錐A - BCD中,AB=AC=BD=CD= 3,AD=BC= 2,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所成角的余弦值為____.

圖3

評(píng)析本試題常規(guī)思路是利用中位線的平行關(guān)系,把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線,然后根據(jù)三角形中邊角關(guān)系的余弦定理可以得到結(jié)果.由于題設(shè)中三棱錐A-BCD各棱的長度已知,且圖形對(duì)稱,所以考慮在三棱錐A-MNC中直接利用空間余弦定理公式求解,可以減輕考生的思維難度,提高解答的有效性及準(zhǔn)確性.不僅能夠體現(xiàn)試題的選拔與區(qū)分功能,而且能夠啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展[1],提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例3(2017年高考全國II 卷理科第10 題)已知直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ABC= 120°,AB= 2,BC=CC1= 1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )

解析如圖4,連接AC1,在ΔABC中應(yīng)用余弦定理得到故AC1=在三棱錐A - BB1C1中,2,設(shè)直線AB1與BC1所成的角為θ,則從而)由空間余弦定理得,,因此選C.

圖4

評(píng)析本試題常規(guī)思路可以通過坐標(biāo)法求解,解題的關(guān)鍵是三棱柱各點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)向量夾角公式求解.而空間余弦定理公式法,只需把異面直線AB1與BC1嵌入到三棱錐A-BB1C1中,分別求得各棱的長度,再套用公式求得結(jié)果,提高考生解答的準(zhǔn)確率.符合考生的學(xué)習(xí)實(shí)際,給考生提供多種分析問題和解決問題的思路,引導(dǎo)考生善于抓住異面直線所成角的本質(zhì),在剖析問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上,追求簡潔的解題方式,有利于考查考生的邏輯分析能力、構(gòu)圖想象素養(yǎng)及運(yùn)算求解能力[4].

5 綜合應(yīng)用

例4(2015年高考四川卷理科第14 題)如圖5,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面相互垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC中點(diǎn),設(shè)異面直線EM與AF所成角為θ,則cosθ的最大值為____.

圖5

評(píng)析本試題的難點(diǎn)是三棱錐M -AEF中各邊的長度,考生依據(jù)題設(shè)條件,通過勾股定理分別求得各棱的長度,然后利用空間余弦定理公式求得到關(guān)于t的函數(shù),再由函數(shù)的單調(diào)性求解出最大值.難度適中,解題方法源于教材,又高于教材,體現(xiàn)試題的選拔功能,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及最值等信息,為考生綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造條件,拓展考生解題思路,提高分析問題的水平,提升考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

6 結(jié)語

本文通過探究空間余弦定理的解題策略,旨在借他山之石,為不同思維能力層次的考生提供不同的思路,為考生展示能力、發(fā)揮水平提供廣闊的平臺(tái).在日常教學(xué)過程中,教師可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平,從教材中發(fā)掘相關(guān)背景知識(shí),設(shè)計(jì)典型的“精致練習(xí)”[5],訓(xùn)練學(xué)生熟練掌握空間余弦定理,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,讓學(xué)生在“潤物細(xì)無聲”[6]中學(xué)好數(shù)學(xué),促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.