正多面體一個定值問題的初等證明

甘肅省靜寧縣第一中學(xué)(743400)劉俊娥

文[1]中,筆者論證了關(guān)于正多面體的幾個定值問題,在此基礎(chǔ)上,文[2]中又論證了正多面體的同心球(球心在正多面體的中心)球面上任意一點P到正多面體各棱的距離的平方和也為定值的問題.但證明過程用的是高等數(shù)學(xué)的方法.事實上,關(guān)于正多面體有關(guān)問題的學(xué)習(xí),對培養(yǎng)高中生的空間想象能力大有裨益,因此,為了能讓高中生更好地理解此定值,本文利用初等方法給出其證明.

命題設(shè)正多面體A1A2A3···AV-1AV的棱數(shù)為E,棱切球半徑為r棱,同心球(球心在正多面體的中心)的半徑為R,則同心球球面上任意一點P到正四面體各棱的距離的平方和為定值.

證明首先證明正四面體中成立.如圖1所示,正四面體A1A2A3A4的中心為O,棱長為a,點P為正四面體同心球上的任意一點,到各邊的距離分別為hi(i=1,2,3,4,5,6),在ΔA1PA2中,有ah1=PA1·PA2sin ∠A1PA2.

圖1

由于正六面體、正八面體、正十二面體及正二十面體分別關(guān)于其中心對稱,易見,欲證成立,只需證明引理在正六面體中成立即可.

如圖2,設(shè)正方體的棱長為2a,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,-a,a),A3(-a,a,a),A5(a,a,-a),A7(-a,-a,-a),點P為正四面體A1A3A5A7同心球上的任意一點,P(x,y,z),設(shè)同心球半徑為R,若與所成的角分別為θi(i=1,3,5,7),則有,

圖2

故命題在正六面體中成立.

下面證明命題在正八面體中成立.

如圖3,在正八面體中,設(shè)外接球半徑為r外,棱長為a,1,2,3,4,5,6)所成的角分別為θ1,θ2,···,θ6,且滿足cosθi=-cosθ7-i(i=1,2,3).

圖3

設(shè)點P到棱A1Ai+1的距離為hi(i= 1,2,3,4),到棱A6A6-i(i= 1,2,3,4)的距離為hi+7(i= 1,2,3,4),到棱AiAi+1(i= 2,4)的距離分別為hi+8(i= 2,4),到棱AiAi+2(i=2)的距離為hi+8(i=2),到棱AiAi+2(i=3)的距離為hi+9(i=3).則有

根據(jù)正十二面體和正二十面體的對稱特點,總有一對頂點的連線過其中心O,按上述證明亦可以證明命題在正十二面體和正二十面體中成立(本文從略).

圖4

圖5