構(gòu)造正四面體巧解立體幾何問(wèn)題

楊天勇

在許多立體幾何問(wèn)題中，由于圖形的不規(guī)則，因而線面關(guān)系也不是很直觀、明顯.如果我們依題設(shè)條件，構(gòu)造出一個(gè)特殊的幾何體——正四面體，并將問(wèn)題放入其中，充分利用正四面體的點(diǎn)、線、面及角的特殊性，將使得問(wèn)題更清晰，從而較容易的解決這個(gè)問(wèn)題.本文就此舉例說(shuō)明構(gòu)造正四面體在解題中的作用.

一、構(gòu)造正四面體求點(diǎn)與面的距離問(wèn)題

例1 A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，與這四點(diǎn)距離相等的平面?zhèn)€數(shù)最多有個(gè).

解：如圖1，以A、B、C、D為頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)正四面體，在以A為頂點(diǎn)，BCD為底面的正三棱錐中，過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的平面與這四點(diǎn)的距離相等，當(dāng)交換頂點(diǎn)時(shí)，這樣的平面有4個(gè)，又因?yàn)檫^(guò)AB和CD的公垂線的中點(diǎn)且平行于AB和CD的平面到四點(diǎn)的距離也相等，而這樣的異面直線有三對(duì)，所以這樣的平面有3個(gè)，所以一共有7個(gè).

評(píng)注：若僅憑空間想象，易漏解或多解.而把問(wèn)題放到正四面體中分析，較直觀的得出結(jié)論.

例2 三棱錐P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，則點(diǎn)B到面APC的距離是 .

解：如圖2，延長(zhǎng)AP到M，使AM=2a，連結(jié)MB，MC，則三棱錐M-ABC剛好是一個(gè)正四面體，所以點(diǎn)B到面APC的距離就是正四面體M-ABC的高h(yuǎn),h=26a3.

評(píng)注：在原圖中不易直接作出點(diǎn)B到面APC的距離，而延長(zhǎng)AP到M構(gòu)造正四面體M-ABC，易知點(diǎn)B到面APC的距離恰好就是這個(gè)正四面體M-ABC的高，較容易得出了結(jié)論.

例3 如圖3，已知半徑都為r的四個(gè)小球，其中三個(gè)兩兩相切放在桌面上，另一個(gè)小球堆放在這三個(gè)小球的上面，求小球堆放的高度.

解：顯然四個(gè)小球都兩兩相切，連接它們的

球心A、B、C、D后得到一個(gè)邊長(zhǎng)為2r的正四面體D-ABC，如圖4，并且面ABC平行于桌面，且到桌面的距離為r，而正四面體D-ABC的高DO=26r3，所以小球堆放的高度h=DO+PD+OT=26r3+r+r=(6+26)r3.

評(píng)注：構(gòu)造正四面體并利用其性質(zhì)解答本題，思路清晰，較容易得到結(jié)論.

二、構(gòu)造正四面體求空間角問(wèn)題

例4 已知a、b為兩條互相垂直的異面直線，過(guò)空間一點(diǎn)最多可作與a、b都成60°角的直線有 條.

解：∵正四面體的兩條對(duì)棱互相垂直，∴任取兩條對(duì)棱所在直線分別為a,b，如圖5，∵AC，BC，BD，AD與AB，CD都成60°角，故這時(shí)只需過(guò)空間任一點(diǎn)P分別作與BC、AC、BD、AD平行的直線即可，而且只有這四條，故結(jié)果有4條.

評(píng)注：若僅憑空間想象，易漏解或多解.

例5 PA、PB、PC是從點(diǎn)P出點(diǎn)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成的角是 .

解：如圖6，以P、A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)正四面體P-ABC，那么在正四面體C-PAB中，PC和平面PAB所成的角為正四面體的側(cè)棱和底面PAB所成的角，由正四面體性質(zhì)，易求得這個(gè)角為玜rccos33.

評(píng)注：根據(jù)正四面體的性質(zhì)及特征，構(gòu)造正四面體P-ABC，從而快速解答問(wèn)題.

三、構(gòu)造正四面體求體積的問(wèn)題

例6 三棱錐P-ABC中，PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱錐P-ABC的體積.

解：如圖7，延長(zhǎng)AP至M，使AM=2a，連接MB，MC，則三棱錐M-ABC正好是一個(gè)正四面體，∴V㎝-ABC=212(2a)3=223a3,∴V㏄-ABC=12V㎝-ABC=23a3.

評(píng)注：由原圖求三棱錐P-ABC的底面積容易，但點(diǎn)P到平面ABC的距離卻不好求，而據(jù)條件知易構(gòu)造正四面體M-ABC，則所求三棱錐P-ABC的底面積剛好是此正四面體的底面積、高是正四面體高的12，故借助正四面體的體積易求出最后結(jié)果.

四、構(gòu)造正四面體求證線面垂直問(wèn)題

例7 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=2AA1,∠A1AD=∠DAB=∠A1AB=60°，求證A1A⊥截面B1D1C.

證明：如圖8，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，延長(zhǎng)AA1至P使得AP=AB，=連接PB、PD、BD，則符合題意的三棱錐P-ABD正好是一個(gè)正四面體，連接A1B、A1D，由正四面體的性質(zhì)易知AP⊥平面A1BD.又A1D∥B1C，BD∥B1D1，∴平面A1BD∥平面B1D1C，∴AP⊥平面B1D1C，∴AA1⊥截面B1D1C.

評(píng)注：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，直接證明A1A⊥截面B1D1C，需作輔助線，使得AA1與面B1D1C中的兩條相交直線垂直，但不易作出，而根據(jù)題意構(gòu)造正四面體P-ABD，卻較容易證出這個(gè)問(wèn)題.

通過(guò)以上例子可以看出如果我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意充分利用正四面體的點(diǎn)、線、面及角的特殊性，把一些不規(guī)則的圖形構(gòu)造成比較規(guī)則的正四面體，利用正四面體的特殊性靈活解題，將會(huì)收到理想的解題效果.

參考文獻(xiàn)

［1］劉允忠.正四面體的性質(zhì)及應(yīng)用.數(shù)學(xué)通訊.2002年第7期.

［2］沈文選.正四面體的判定與性質(zhì).數(shù)學(xué)教學(xué)研究.1994年第3期.