研究高考試題的幾點方法

劉成龍　余小芬

高考是我國現(xiàn)行的一種最為重要的選拔性考試，其重要性是不言而喻的.高考試題設(shè)計新穎，構(gòu)思巧妙，集中體現(xiàn)了命題專家的智慧，是我們學(xué)習(xí)的典范.研究高考，研究高考試題，探求命題者的思維過程，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，更是復(fù)習(xí)備考中有的放矢的最佳途徑.縱觀歷年高考試題，不乏有一批體現(xiàn)新課程理念的背景公平、情景新穎、富含思想方法的優(yōu)秀試題.筆者認(rèn)為這些好題不僅是當(dāng)年高考中的一道亮麗的風(fēng)景，而且在未來幾年乃至十幾年也具有重要的教學(xué)和研究價值，同時這些試題的轉(zhuǎn)化、延伸和推廣往往是再次命制高考試題的重要取材.高中一線的數(shù)學(xué)教師們將這些試題作為高考復(fù)習(xí)的例題或研究性學(xué)習(xí)的材料，既能避免題海戰(zhàn)術(shù)，又能取得預(yù)期甚至超預(yù)期的效果!因此，數(shù)學(xué)教師們在學(xué)習(xí)“考試大綱”和“考試大綱的說明”的同時，需要深入研究高考試題，認(rèn)真把握高考動態(tài)，領(lǐng)會命題改革的精神.如何有效地進行高考試題的研究是擺在教師們面前的一大問題.筆者結(jié)合教學(xué)實踐，就新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下對如何研究高考試題作了一番探索，提出了研究高考試題的幾點方法：研究試題的立意、試題的解法、試題的背景和試題的拓展，以饗讀者!

1 研究試題的立意

試題是知識和能力的載體，它體現(xiàn)著考試的目的和內(nèi)容.試題的立意是指命題者在命題時考查學(xué)生所站的角度，它是命題者命題思維過程的開端，是整個思維過程中最為關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié)，不僅決定考查內(nèi)容的方向、難度以及呈現(xiàn)方式，而且引領(lǐng)著命題思維的后續(xù)發(fā)展，起到了舵手的作用.試題立意的角度很多，比如考查數(shù)學(xué)思想方法(如函數(shù)與方程的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想)；考查數(shù)學(xué)能力(如運算能力，探究和猜想的能力，空間想象的能力)；考查新課程理念(如數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，數(shù)學(xué)的人文價值和數(shù)學(xué)思維能力)；優(yōu)化設(shè)問，凸顯區(qū)分度等等.近年來，數(shù)學(xué)學(xué)科命題把“以能力立意為指導(dǎo)，以考查能力和素質(zhì)為導(dǎo)向”作為命題的一條基本原則，高考數(shù)學(xué)試題逐漸形成了以“立意鮮明，背景新穎、設(shè)問靈活，層次清晰”的新特色，這不僅體現(xiàn)了試題立意的新穎性，公平性，而且有效地考查了學(xué)生現(xiàn)階段能力，同時又甄別了學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，這有利于中學(xué)素質(zhì)教育的實施和為大學(xué)創(chuàng)新人才的選拔.因此，把握試題的立意不僅是透過題目表層意義把握試題本質(zhì)的過程，更是再現(xiàn)命題者思維智慧的過程.

例1(2005年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ(理)第22題) (Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=x玪og2x+(1-x)?┆玪og2(1-x)(0

(Ⅱ)設(shè)正數(shù)p1,p2,…,p2琻滿足p1+p2+p3+…+p2琻=1，證明：p1玪og2p1+p2玪og2p2+p3玪og2p3+…+p2琻玪og2p2琻≥-n.

該題目是2005年全國卷Ⅰ(理)解答題中的壓軸題.以下從四個方面分析命題者的立意.

立意1：突出主干知識的考查.在遵循符合教學(xué)大綱和命題原則的前提下，命題者設(shè)置了以函數(shù)為載體考查導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等高中基本知識和高考主干知識.

立意2：重視考查數(shù)學(xué)思想方法.在編制試題時命題者很注重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的掌握，如第(Ⅱ)小題在運用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵步驟是把2﹌+1項向2琸項的轉(zhuǎn)換，這考查了分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想等.所涉及的方法都是通性通法，且不偏不繁，又如第(Ⅰ)小題考查了導(dǎo)數(shù)法，第(Ⅱ)小題常規(guī)解法是數(shù)學(xué)歸納法，這也體現(xiàn)了“加強基礎(chǔ)”的教學(xué)指導(dǎo)思想.

立意3：突出考查能力.該題考查了學(xué)生的運算能力、邏輯推理能力和自主探索能力.這體現(xiàn)了“培養(yǎng)能力，發(fā)展智力”的教學(xué)指導(dǎo)思想，如第(Ⅱ)小題運用數(shù)學(xué)歸納法求解時需要學(xué)生有較好的運算能力；由歸納假設(shè)中的n=k到n=k+1時需要學(xué)生認(rèn)識項數(shù)由2琸到2﹌+1項的變化，同時將2﹌+1項化成2﹌項也是一個難點，這考查了學(xué)生的邏輯推理能力；由2﹌+1項化成2琸項需要充分利用第(Ⅰ)小題的結(jié)論，涉及一個探索的過程，充分考查了學(xué)生的自主探索能力和應(yīng)用意識.

立意4：優(yōu)化設(shè)問，凸顯區(qū)分度.通過對試題的分析，我們可以體會到命題者在命制第(Ⅰ)問時有意降低了試題的難度，試想如果把第(Ⅰ)問改為：“已知x,y>0且x+y=1求x玪og2x+y玪og2y的最小值.”我們相信該題的得分率會有所降低，盡管改編后的問題與原問題考查的內(nèi)容在本質(zhì)上是一致的，但由于形式的改變?yōu)閷W(xué)生設(shè)置了一定的思維障礙.因此，命題者以“設(shè)函數(shù)f(x)=x玪og2x+(1-x)玪og2(1-x)(0

不難看出，把握試題的立意對深入理解試題的本質(zhì)是非常重要的.殷此，教師在教學(xué)和研究中要深刻把握一些高考試題的立意，進而體驗命題者思維智慧的過程，特別是高三復(fù)習(xí)階段，這樣能使復(fù)習(xí)工作更具有針對性、高效性，收到事半功倍的效果.

2 研究試題解法

數(shù)學(xué)家曾說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.美國數(shù)學(xué)家 玃.R.Halmos 也曾認(rèn)為“數(shù)學(xué)家存在的主要理由是解問題，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”.可見數(shù)學(xué)問題和問題的解決在數(shù) 學(xué)活動中非常重要.在數(shù)學(xué)活動中數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)研究的對象，而解決問題不僅是數(shù)學(xué)研究 的目標(biāo)，同時也是數(shù)學(xué)活動的最基本形式和主要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)活動中起著不可替代的作用：它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會數(shù)學(xué)地思維的基本途徑，是評價學(xué)習(xí)的重要方式.正如 獹.Polya 在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說“中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練”，同時 獹.Polya 還曾說過“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解一些要求獨立思考，思路合理，見解獨到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.”由此可見，解題研究在數(shù)學(xué)活動中占有十分重要地位.對高考試題的解法研究一般可以從一題多解，多題一解入手.一題多解指的是對一道試題所涉及內(nèi)容從橫向和縱向進行把握，立足于不同的角度，運用不同的方法進行探討，進而獲得多種解法.多題一解是指將形式不同，但將考查問題的本質(zhì)或求解思路類似的問題歸于一類解決方式，通過聯(lián)想、類比、歸納、概括，從本質(zhì)上去認(rèn)識問題，找出這類問題的共性和解答規(guī)律.從某種角度講，多題一解和一題多解實質(zhì)上是從經(jīng)緯兩個不同的方面溝通各部分知識內(nèi)在聯(lián)系.在近年高考試題中有許多經(jīng)典題目都是一題多解和多題一解的好素材，請看下面幾例：

2.1 一題多解

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=(1+1n)瑇(n∈N,且n>1,x∈R)，(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；(Ⅲ)是否存在a∈N，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n恒成立?若存在，試證明你的結(jié)論并求出a的值；若不存在，請說明理由.

上題是2007年全國高考數(shù)學(xué)四川卷(理)第22題，該題屬于四川卷中的壓軸題.筆者將從不同的角度探討該題的解法.

解法1：利用二項式定理和組合數(shù)計算公式證明

對m∈N，且m>1,有(1+1m)琺=C0璵+C1璵(1m)+C2璵(1m)2+…+C琺璵(1m)琺=2+12!(1-1m)+…+1k!(1-1m)(1-2m)…(1-k-1m)+…+1m!(1-1m)(1-2m)…(1-m-1m)<2+12!+13!+…+1k!+…1m!<2+11×2+12×3+…+1k×(k+1)+…+1(m-1)m=2+(1-12)+(12-13)+…+(1m-1-1m)=3-1m<3，又因為C琸璵(1m)琸>0(k=2,3,…,m)，故2<(1+1m)琺<3，又因為k=1時，2≤(1+11)1<3,所以2n<∑nk=1(1+1k)琸<3n，即存在a=2，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n.

解法2：利用均值不等式證明

因為n13=n613?613…613?1…1(n-6)個1≤n-6+6613n(n≥6)，又有6613<5，于是n13≤n-6+6613n2，所以2<(1+1n)琻<3(n=2,3,…)恒成立，2n<∑nk=1(1+1k)琸<3n，即存在a=2，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n.

解法3：利用貝努利不等式證明

貝努利不等式是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》選修課程系列4不等式選講的內(nèi)容，利用貝努利不等式求解很方便.

由貝努利不等式得(1+1n)琻>1+n?1n=2.下證(1+1n)琻<3.在(1+x)琻>1+nx中，令x=-16n+1，得(1-16n+1)琻>1-n6n+1>1-n6n=56,得(6n+16n)琻<65，即(1+16n)琻<65.又由解法2可以知道{(1+1n)琻}是單調(diào)遞增的，于是(1+1n)琻<(1+16n)6n=(1+16n)琻6<(65)6<3，即(1+1n)琻<3，綜合可得2<(1+1n)琻<3，于是存在a=2，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n.

解法4：巧用不等式的放縮證明

由(1+16n)琻=(6n+16n)琻<5n+15n?5n+25n+1…6n-16n-2?6n6n-1=65,即(1+16n)琻<65，其余步驟同解法3.

評注：解法1運用了二項式定理和組合數(shù)計算公式，在證明過程中放縮了3次，要求學(xué)生具備靈活放縮不等式的技能，計算量較大，但卻是一種最常規(guī)的方法；解法2利用高中生熟悉的均值不等式求解，解題的關(guān)鍵是把13改寫成6個613的乘積以及在證明不等式(1+1n)琻<(1+1n+1)﹏+1時所進行的巧妙放縮；解法3求解過程簡潔，證明過程充分顯示了貝努利不等式的威力；解法4證明過程中涉及了不等式的基本放縮，證明過程簡捷.從上述四種方法的探討，不難看出，通過一題多解的訓(xùn)練，不僅能加強各知識間的聯(lián)系，起到“薄書變厚”的效果，而且能有效的培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.同時對教師加深內(nèi)功，提高解題能力也是非常有用的.

2.2 多題一解

例3 (2006年全國卷Ⅰ(理)第21題)已知函數(shù)f(x)=1+x1-xe-ax，(Ⅰ)略；(Ⅱ)若對任意x∈(0，1)恒有f(x)>1，求a的取值范圍.

例4 (2006年全國卷Ⅱ(理)第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)玪n(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.

例5 (2007年全國卷Ⅰ(理)第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=e瑇-e-x，(Ⅰ)略；(Ⅱ)若對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.

上述題目是近年高考中的一些不等式恒成立問題(限于篇幅，這里僅列舉三題).不等式恒成立問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是近年高考中的一類熱點問題.此類問題知識覆蓋面廣，綜合性強，對學(xué)生的思維能力要求較高.縱觀歷年試題不難發(fā)現(xiàn)，不等式恒成立問題往往是函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容交匯處的一個較為活躍的考點.仔細(xì)研究上述題目，可以發(fā)現(xiàn)這些題目在形式上，都有這樣的結(jié)構(gòu)：“f(x)≥g(x)

(g(x)=c(c為常數(shù))是特殊的一類)”，又因為f(x)≥g(x)恒成立等價于f(x)-g(x)≥0恒成 立，而f(x)-g(x)≥0恒成立等價于［f(x)-g(x)］┆玬in≥0.抓住該類問題的本 質(zhì)，于是上述問題都可化成［f(x)-g(x)］┆玬in≥0這樣的形式解決，從而可以 進行多題一解.可以看出，只要學(xué)生找出上面幾例的共同之處和解答規(guī)律，抓住此類問題的本質(zhì)，并掌握了其中一題的解法，其余的題目也就迎刃而解了.通過多題一解，不僅培養(yǎng)了學(xué)生異中求同的抽象概括能力，鞏固了學(xué)生對該類題目考察方法本質(zhì)上的把握，而且也拓寬了學(xué)生的視野，加強了知識間的融會貫通，從而有效地避免了“題海戰(zhàn)術(shù)”，起到了“厚書變薄”的效果.

3 研究試題的背景

命題背景指命題時試題取材的背景.試題取材的背景很多，本文中試題的命題背景主要指的是研究試題是否含有高等數(shù)學(xué)背景.高等數(shù)學(xué)背景指命題者命制試題時立足并取材于大學(xué)數(shù)學(xué)知識，使得試題隱含或直接含有高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識.高考考查學(xué)生對中學(xué)階段所涉及知識點的理解和把握，因此命題范圍是中學(xué)教學(xué)大綱和考試大綱中的內(nèi)容.然而近年來隨著自主命題的省份越來越多，參加命題的大學(xué)教授和數(shù)學(xué)專家成為了命題的核心力量，他們非常重視高中知識與后續(xù)課程的銜接，因此在符合教學(xué)大綱和考試大綱的要求下，往往每年都會有一部分含有高等數(shù)學(xué)背景的高考試題，比如2007年高考僅四川卷中：理科11題有高師院?！冻醯葞缀窝芯俊分杏眯D(zhuǎn)變換法作圖的背景；12題有近世代數(shù)中列表運算的背景；理科21題具有計算數(shù)學(xué)中用牛頓迭代法求方程近似實根的背景等等.盡管學(xué)生對一些試題的背景不了解，但仍可運用中學(xué)知識得以求解，比如：2007年四川卷(理)22題含有重要極限的背景，而學(xué)生可以運用二項式展開式求解；2006年四川卷(理)22題含有凸函數(shù)的背景，而學(xué)生可以運用基本不等式放縮求解；2006年四川卷(理)第16題含有抽象代數(shù)中群的背景，而學(xué)生只需理解“融洽集”的含義即可得出正確答案等等.因此，學(xué)生只要把握題目考查內(nèi)容的本質(zhì)，學(xué)會靈活運用相關(guān)知識，解決這類問題也并非難事，但作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有較為扎實的高等數(shù)學(xué)功底，應(yīng)該具有居高臨下的意識.最近，張奠宙先生也指出：“在日常的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點、方法去解釋和理解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的例子很多.重要的是，作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有這樣的思維和意識.”事實上，也只有這樣才能深刻理解一些數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，才能搞好中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究工作.

例6 (2006年四川卷(理)第22題) 設(shè)f(x)=x2+2x+a玪n玿(x>0),x1,x2∈R+,x1≠x2,求證：(1)當(dāng)a≤0時，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).

經(jīng)過分析不難發(fā)現(xiàn)該試題含有凸函數(shù)的高等數(shù)學(xué)背景.凸函數(shù)是這樣定義的：設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上任意兩點x1,x2和任意實數(shù)λ∈(0，1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為I上的凸函數(shù).在近幾年高考中以凸函數(shù)為背景的試題是比較多的，比如2005年全國卷Ⅰ(理)22題、2005年湖北卷(理)第6題等等.

例7 (2006年全國卷(理)第21題)(見例3).

該題目第(2)問含有拉格朗日中值定理的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理是這樣定義的：若函數(shù)f滿足如下條件：f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存 在一點ξ，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).

例8 (2006年福建卷(文)第21題)設(shè)ゝ(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在區(qū)間［-1，4］上的最大值是12.(1)略；(2)是否存在實數(shù)m，使得f(x)+37x=0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個不等實數(shù)根?若存在，求出所有m的值；若不存在，說明理由.

經(jīng)過仔細(xì)研究不難發(fā)現(xiàn)該題目具有根的存在性定理的高等數(shù)學(xué)背景.

根的存在性定理 若函數(shù)f在閉區(qū)［a,b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)f(b)<0)，則至少存在一點x0∈(a,b)，使得f(x0)=0，即方程ゝ(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一根.特別當(dāng)f(x)在(a,b)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)時，方程ゝ(x)=0在(a,b)內(nèi)有且僅有一根.

縱觀歷年高考試題，可以看出以高等數(shù)學(xué)為背景的題目在高考中是很多的，并且還有進一步升溫的傾向，當(dāng)然這也是高考試題的一大亮點.從而我們可以預(yù)測會有更多的題目含有高等數(shù)學(xué)背景.因此，筆者建議高中教師要熟悉高等數(shù)學(xué)中與初等數(shù)學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，加強對高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)知識交叉點的研究性學(xué)習(xí)，不斷調(diào)整和優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，完善知識體系.同時，希望教師們在閱讀一些高等數(shù)學(xué)書籍時，不要忽略對一些知識來龍去脈的把握，以至于知其然而不知其所以然，從而避免犯一些粗俗的錯誤.

4 研究試題拓展

試題的拓展是指立足于不同的角度對一些試題進行探究，通過對試題轉(zhuǎn)化、延伸和推廣等加 以改編，從而得到新試題.實踐證明改編后的新問題往往是引導(dǎo)學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)的重要材料，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生在探究能力和創(chuàng)新能力上得以發(fā)展，從而調(diào)動學(xué)生自主構(gòu)建學(xué)習(xí)的積極性.同時，高考試題的轉(zhuǎn)化、延伸和推廣往往是再次命制高考試題的重要取材，比如：類比2005年全國卷Ⅱ(理)第21題編制了2007年全國卷Ⅰ(理)第21題，經(jīng)過改編2006全國卷Ⅱ(理)第4題命制了2008年四川卷(文)第4題等等.改編試題的常見方法有：加強或減弱題目的條件，如將題目推廣到更一般的情形；將題目的條件或結(jié)論中的某些數(shù)值用字母代換，增加元的個數(shù)或提升“元”的次數(shù)；去掉試題的結(jié)論，使之成為探索性問題，如對一些證明性試題，去掉證明的結(jié)論，進而變成探究性問題；加強條件中的數(shù)據(jù)設(shè)置；研究試題的逆命題；改變題目的設(shè)問方式；變換試題的背景等等.下面舉幾例談?wù)勗囶}的拓展：

例9 試題見本文例1.

抓住凸函數(shù)的本質(zhì)，對第(Ⅱ)小題可以進行推廣，參見文獻［3］.

例10 (2006年四川卷(理)第22題)設(shè)ゝ(x)=x2+2x+a玪n玿(x>0),x1,x2∈R+.﹛1≠x2,求證：(1)當(dāng)a≤0時，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).(2)當(dāng)a≤4時，﹟f′(x1)-ゝ′(x2)|>|x1-x2|.

經(jīng)過研究，筆者對參數(shù)a的取值范圍進行了加強，參見文獻［4］.

例11 (2005年重慶卷(理)第5題)若x,y是正數(shù)，則(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是().

A.3 B.72 C.4 D.92

該題在形式上是對稱的，對該題目結(jié)構(gòu)稍加改造，可以凸顯更好的區(qū)分度，如下：

改編題1 若x,y是正數(shù)，求(x+1y)2+(y+12x)2的最小值.

改編題2 若x,y是正數(shù)，求(x+1y)2+(y+k2x)2(k>0)的最小值.

改編題3 若x,y是正數(shù)，求(ax+by)2+(cy+dx)2(a,b,c,d>0)的最小值.

從上述幾例可以看出，通過對試題的拓展，對開拓學(xué)生的視野和加強知識間的融會貫通能起到事半功倍的效果.但值得注意的是改編試題不僅僅是要求“形式新”，更重要的是“內(nèi)容新”，因此，在試題的拓展時必須抓住問題的本質(zhì)，進行深加工、細(xì)琢磨，切忌生硬、盲目地對一些試題加以粗糙的改編，否則改編收到的結(jié)果只能是“新瓶裝舊酒”，毫無意義可言.

本文從研究試題的立意、試題的解法、試題

的背景和試題的拓展四個方面提出了研究高考試題的較為系統(tǒng)的方法.希望通過本文的探討對高中數(shù)學(xué)教師們在復(fù)習(xí)備考和研究試題上有所幫助.

參考文獻

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>