圓錐曲線問題　平面幾何處理

熊星飛

圓錐曲線綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，向來作為壓軸題出現(xiàn)，成為考生能否取得高分的關(guān)鍵.這類題目大都以直線、圓或圓錐曲線知識(shí)作為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，重在考查思維能力和計(jì)算能力，要求考生能夠結(jié)合已經(jīng)掌握的有關(guān)直線、圓、圓錐曲線的知識(shí)與方法，對(duì)面臨的問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；會(huì)用類比、歸納和演繹進(jìn)行推理；能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地進(jìn)行表述.調(diào)查表明，很多考生對(duì)解析幾何綜合題有一種畏懼感，在探索思路、分析求解過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“絞盡腦汁而無從下手，運(yùn)算繁雜而中途作廢”等思維受阻現(xiàn)象.

在解題中若能緊扣圓錐曲線的定義，并結(jié)合平面幾何的方法來探究思路，常能使問題得到簡(jiǎn)潔的解決，大大地減少運(yùn)算量，提高解題效率.

例1 過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦點(diǎn)F的弦AB，對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P.求證：∠APF=∠BPF.

分析：按通常的解析幾何方法證明，須將直線方程(另外設(shè)定)和橢圓方程聯(lián)立，通過韋達(dá)定理表達(dá)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)關(guān)系，再利用夾角公式或者直線AP與BP的斜率關(guān)系來證明，運(yùn)算復(fù)雜.若用平幾知識(shí)考慮，只要證PF是△APB的角平分線，于是聯(lián)想到三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理，馬上可證得.

證明：過A點(diǎn)作AM⊥l，過點(diǎn)B作BN⊥l，垂足分別為M、N.由AM∥FP∥BN，得MPNP=AFBF=AMBN,又∠AMP=∠BNP=90°蕁鰽MP∽△BNP蕁螦PM=∠BPN,

∴∠APF=∠BPF.

評(píng)注：在證題中緊扣圓錐曲線的定義，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得出結(jié)論；此命題同樣適用于雙曲線與拋物線.

例2 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e，過焦點(diǎn)F的弦AB(點(diǎn)A在x軸下方)滿足〢F=λ〧B擼若弦AB的傾斜角為θ，則有e玞osθ=λ-1λ+1.

分析：通過對(duì)橢圓焦點(diǎn)弦的運(yùn)動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)，弦的傾斜角決定著λ的值，即：θ與λ存在著某種函數(shù)關(guān)系，而此題探求的正是這種關(guān)系.

問題涉及到離心率、弦的傾斜角以及焦半徑比例，故可由橢圓的第二定義，結(jié)合平面幾何的知識(shí)和三角知識(shí)構(gòu)造直角三角形，直接建立θ、λ和離心率e三者間的關(guān)系.

證明：(玦)當(dāng)λ>1時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線l與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AM⊥l，過點(diǎn)B作BN⊥l，垂足分別為M、N，過點(diǎn)B作BC⊥AM，垂足為C.設(shè)|BF|=x,則|AF|=λx，由橢圓的定義可知|AM|=λxe,|BN|=xe,易知四邊形MNBC是矩形，|AC|=λxe-xe，在Rt△ABC中，∠CAB=∠AFO=θ，=∴玞osθ=|AC||AB|=λxe-xe,λx+x=λ-1e(λ+1)，即=e玞osθ=λ-1λ+1.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>