欲窮千里目　更上一層樓

蔡飛慶

作為高中數(shù)學教師，用高等數(shù)學的思想、觀點和方法來指導中學數(shù)學教學實踐，溝通高等數(shù)學與初等數(shù)學的內在聯(lián)系，指導學生進行研究性學習，培養(yǎng)學生的探究精神與創(chuàng)新能力，將是新形勢下中學數(shù)學教學追求的一個新的目標.本文通過對幾個案例的分析，談談如何用高等數(shù)學指導高中數(shù)學教學的教學實踐.

一、探源追本，拓廣視角

在高等數(shù)學與初等數(shù)學的銜接處，用高等數(shù)學知識背景編寫的一些不脫離中學實際的高考題已屢見不鮮，故應站在高等數(shù)學的高度探析其命題背景和創(chuàng)意，拓廣解題視角.

案例1 (2001年高考全國卷20題)已知i,m,n是正整數(shù)，且1

(1)證明n琲P琲璵

(2)證明(1+m)琻>(1+n)琺.

背景解析：這是一道融排列、組合、二項式定理、不等式知識于一體的絕妙好題，本源是對數(shù)發(fā)明過程中研究數(shù)列{(1+1n)琻}的性質時所產(chǎn)生的問題.高等數(shù)學中有如下結論：數(shù)列{(1+1n)琻}單調遞增，且(1+1n)琻<3(其中n∈N*)；數(shù)列{(1+1n)﹏+1獇單調遞減，且(1+1n)﹏+1>2;

編題思維探析：由{(1+1n)琻}單調遞增可以推得{(1+n)1n}單調遞減，即對正整數(shù)m,n(m(1+n)1n，這就是題1第(2)小題 的背景本質；而(1+1n)琻<3的證明過程中體現(xiàn)的逐項對應比較的方法 則可看成是該高考題第(1)小題的由來.

啟示：高等數(shù)學中有些經(jīng)典問題的處理方法既是數(shù)學的精髓所在，也是學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學潛能的培養(yǎng)關鍵所在.作為一名高中數(shù)學教師必須具備相當?shù)母叩葦?shù)學功底，才能詳解高考試題的來龍去脈，對高考趨勢進行展望；才能站在比較高的位置，對學生進行有的放矢的高效教學.

二、激趣陶情，解疑釋惑

1.許多高等數(shù)學素材往往能引發(fā)學生的認知沖突，具有激起激疑的良好功效.因而以高等數(shù)學素材熏陶學生，必將有利于教材的合理組織和教學的有效開展.

案例2 (蒲豐投針實驗)用尺畫一組相距為1的平行線，一根長為12的針扔到畫了線的平面上，若跟平行線相交，則稱“扔出有利”.這樣扔若干次，你會驚奇的發(fā)現(xiàn)，“扔出有利”的概率為1π，而且扔的總次數(shù)越多，由此得到的π的值越精確.

解析：在概率教學中介紹利用概率知識計算圓周率的方法，既可以使學生經(jīng)歷數(shù)學文化的熏陶，感受古代數(shù)學家的智慧；也會使學生體驗到數(shù)學的神奇，激發(fā)學習興趣.

2.中學數(shù)學中很多問題或錯誤，站在初等數(shù)學的角度上是很難解決或發(fā)現(xiàn)的；倘若能站在高等數(shù)學的角度，溝通初、高聯(lián)系，居高臨下釋疑，將會更有利于學生深刻領悟數(shù)學概念的精髓及其后續(xù)發(fā)展.

案例3 初學函數(shù)時，關于函數(shù)圖像與周期，學生中往往有這樣兩個典型錯誤觀點：

①任何函數(shù)都有圖像；②任何周期函數(shù)必有最小正周期.

這時只需介紹高等數(shù)學中重要函數(shù)——獶irichlet函數(shù)，即可輕松解決學生的疑惑.獶irichlet函數(shù)是如下定義的函數(shù)：

D(x)=1,x為有理數(shù)

0,x為無理數(shù)

由于實數(shù)是稠密的，因此該函數(shù)的圖像實際上是畫不出來的；任意非零有理數(shù)都是該函數(shù)的周期，而不存在最小正有理數(shù)，故獶irichlet函數(shù)也無最小正周期.筆者在實際教學中引入了這個容易讓學生理解接受的獶irichlet函數(shù)，使學生更為深刻的理解到函數(shù)相關概念的內涵，獲得了良好的教學效果.利用高等數(shù)學素材進行難點釋疑，原則是不能脫離中學數(shù)學的課程標準和教材；在重要概念和知識聯(lián)系上做必要的拓寬，是教學中介紹高等數(shù)學知識應把握的“度”的要求.

三、縱橫聯(lián)系，融會貫通

以高等數(shù)學的思想方法來指導初等數(shù)學教學，可以統(tǒng)一中學數(shù)學的松散體系，對中學數(shù)學問題系統(tǒng)地加以思想上的總結和方法論方面的提煉；同時，以高等數(shù)學的思想方法來指導總結，可以幫助學生改變綜合復習中的“題海戰(zhàn)術”，引導學生構建知識網(wǎng)絡，從而將頭腦中分散的知識點連成有機的知識整體.

案例4 不等式證明是高中階段的常見數(shù)學問題，隨著向量、概率等內容進入新教材，利用向量和概率知識證明不等式的相關研究便層出不窮；站在高等數(shù)學的角度上反思這些方法，發(fā)現(xiàn)它們原來具有某種內在統(tǒng)一性.

(一)向量方法

(1)方法依據(jù)：向量內積不等式|a?b遼≤﹟a遼?|b遼及可由此推導的三角不等式|a+b遼≤|a遼+|b遼.

實際形式：若令a=(a1,a2…，a璶),b=(b1,b2…，b璶),即可將內積不等式轉化為代數(shù)形式(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)?(b21+b22+…+b2璶),這也是運用向量證明不等式的主要形式.

(2)理論依據(jù)：上升到高等數(shù)學中內積空間的層面上，|a?b遼≤|a遼?|b遼也可稱為“柯西不等式”，證明方法是構造二次函數(shù)；在高中數(shù)學內容中直接定義了向量內積a?b=|a遼?|b遼?玞osθ，從而利用|玞osθ|≤1立即證得|a?b遼≤﹟a遼?|b遼成立.

(二)概率方法

(1)方法依據(jù)：利用概率知識證明不等式主要依據(jù)以下兩個結論：

①n個數(shù)據(jù)x1,x2,…，x璶的方差S2=1n∑ni=1(x璱-)2=1n∑ni=1x2璱-1n(∑ni=1x璱)2≥0；

②離散型隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=p璳,k=1,2,…，n，則Eξ2≥E2ξ.

(2)實際形式：研究相關文章不難發(fā)現(xiàn)，運用以上兩個結論的實際形式分別為：

③已知x1,x2,…，x璶∈R，則n?(x21+x2瓁+…+x2璶)≥(x1+x2+…+x璶)2；

④已知0

而③④不難由(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)?(b21+b22+…+b2璶)證明，因此可以說是柯西不等式的兩個推論.

(3)理論根源:在概率論中，①②實際上是下面定理的特例；⑤柯西—施瓦茨不等式；對任意隨機變量ξ，η，有|Eξη|2≤Eξ2Eη2，等式成立當且僅當存在常數(shù)t0使P(η=t0ξ)=1.

通過以上總結分析可知，從實際形式、理論根源等方面來說，證明不等式的向量方法和概率方法，與常見的柯西不等式具有內在統(tǒng)一性.在實際教學中，以柯西不等式的反思總結為橋梁，可以溝通新增內容與不等式知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)新、舊知識和思想方法的融合，從而有效促進新增內容的教學和知識網(wǎng)絡的構建.

四、梳理歸類，挖潛添能

分段函數(shù)的構造、遞推關系、極限方法的應用、導數(shù)的應用、不動點問題、折紙術、函數(shù)圖像的凸性的一些特性等具有高等數(shù)學傾向的問題在高中數(shù)學新教材的選修系列中已有所體現(xiàn)，在歷年高考中也屢屢出現(xiàn)，對相關的高考題進行梳理歸類，用以指導高中數(shù)學教學實踐，提升學生的學習潛能，增添其解答創(chuàng)新題的能力和理論素養(yǎng)就顯得非常迫切.

現(xiàn)僅以高等數(shù)學中凸函數(shù)為背景的高考題為例，淺談如何在高中數(shù)學中滲透高數(shù)知識，挖掘學生的學習潛能和提升學生的創(chuàng)新能力.

案例5 題1：(1994年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=玹an玿,x∈(0,π2)，且x1≠x2，證明f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).

題2：(2005年湖北高考題)在y=2瑇,y=玪og2x,y=x2,y=玞os2x這四個函數(shù)中，當0f(x1+x22)恒成立的函數(shù)個數(shù)是().

A.0 B.1 C.2 D.3

追源：高等數(shù)學中凸函數(shù)的概念：設f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點x1,x2和任意實數(shù)λ∈(0,1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凸函數(shù)；反之，若f(λx 1+(1-λ)x2)≥│薴(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f為I上的凹函數(shù).當λ∈(0,1)時，λx1+(1-λ)x2表示的點在x1,x2之間.高中課本中出現(xiàn)的問題只不過是λ=12的情形.

實踐：在函數(shù)的教學中，講到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)時可結合函數(shù)的圖像滲透凹凸函數(shù)的圖像特征，讓學生通過函數(shù)圖像認識接受高等數(shù)學中凸函數(shù)定義的外在表象.

如圖：記A(x1,f(x1)),B(x1+x22,ゝ(x1+x22)),狢(x1+x22,f(x1)+f(x2)2),〥(x2,f(x2)).在圖1中，f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2.教學實踐中，先讓學生理解上

述兩個圖像的意義，再簡單介紹圖像下凹的簡稱為凹函數(shù)，圖像上凸的簡稱為凸函數(shù).讓學生從凹凸函數(shù)的圖像特征著手，深刻記憶凹凸函數(shù)f(x1+x22)鹒(x1)+f(x2)2的外在表象.至于凹凸函數(shù)的具體定義則不需要引入，也沒必要講解.這樣既能滲透高數(shù)知識，提升學生的學習潛能；又能讓學生碰到相似情境的問題時不至于無從下手.

綜上所述，作為高中數(shù)學教師，用高等數(shù)學的思想、觀點和方法來指導中學數(shù)學教學實踐，溝通高等數(shù)學與初等數(shù)學的內在聯(lián)系，指導學生進行研究性學習，培養(yǎng)學生的探究精神與創(chuàng)新能力，應該是新形勢下激活中學數(shù)學教學的一條有效途徑.

參考文獻

［1］董裕華.高等數(shù)學背景下的高考數(shù)學命題探析.中學數(shù)學雜志，2007，(4).

［2］任念兵.高等數(shù)學背景下的高考不等式問題.數(shù)學教學研究，2006，(3).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>