中間約束輸流管道流固耦合振動的數(shù)值模擬

隨歲寒，孟 華，彭丹華，馬光富

中間約束輸流管道流固耦合振動的數(shù)值模擬

隨歲寒1，孟 華1，彭丹華1，馬光富2

(1．商丘工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河南商丘 476000；2．商丘工學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，河南商丘 476000)

基于流體層流假設(shè)，研究細(xì)長輸流圓管在彈簧約束條件下的動力學(xué)特性．根據(jù)虛功原理建立輸流管道系統(tǒng)的控制方程，應(yīng)用有限差分法離散求解域，采用兩端簡支的邊界條件導(dǎo)出了系統(tǒng)廣義復(fù)特征方程，隨后研究了管道固有頻率與流體粘性及彈簧剛度的關(guān)系．?dāng)?shù)值求解了流體臨界速度，分析了彈簧剛度對臨界速度的影響．結(jié)果表明：流體平均速度增大則固有頻率降低；流體平均速度相同的條件下，粘性的存在使得固有頻率降低；彈簧對系統(tǒng)固有頻率和臨界速度的影響與彈簧剛度和彈簧的布置位置相關(guān)．

粘性流體；中間約束；輸流管道；固有頻率

輸流管道系統(tǒng)多應(yīng)用于航空航天和石油化工等領(lǐng)域，目前關(guān)于其振動問題的研究很多．作為動力學(xué)問題的重要方面，輸流管道的自由振動及其穩(wěn)定性備受關(guān)注．例如：Huang等[1]采用Galerkin法研究了輸流管道流固耦合的自由振動特性；Wang等[2]研究了磁場作用下的碳納米輸流管道的自由振動問題；Ni等[3]基于微分變換方法分析了細(xì)長輸流管道在不同邊界條件下的輸送流體管道的振動問題；許鋒等[4]基于Galerkin法研究了分布隨從力作用下的輸流管道的穩(wěn)定性問題；Li等[5]基于動剛度矩陣法研究了輸流管道的自由振動問題；李明等[6]基于微分變換法研究了溫度和磁場共同作用下的輸流管道的振動及穩(wěn)定性問題；Bahaadini等[7]研究了粘彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定性問題；Tang等[8]基于微分求積法研究了功能梯度納米輸流管的自由振動問題；Li等[9]基于Galerkin法和四階龍格庫塔法分析了軸向無約束輸流管道的橫向振動響應(yīng)；周坤等[10]基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對鋁-鋼和鋼-鋁兩種周期性懸臂輸流管道的穩(wěn)定性和非線性動力學(xué)行為進(jìn)行了研究．

同時，也有許多學(xué)者在研究輸流管道的受迫振動問題．例如：Li等[11]基于格林函數(shù)法研究了輸流管道的受迫振動；Sazesh等[12]研究了輸流管道在分布隨機(jī)激勵下的受迫振動；Zhou等[13]研究了基礎(chǔ)激勵下的輸流管道的受迫振動；趙千里等[14]基于格林函數(shù)法研究了端部彈性支承輸流管路的強(qiáng)迫振動．

現(xiàn)有研究均假設(shè)流體在管道中勻速流動，即不考慮流體粘性．實(shí)際上，在考慮流體粘性的情況下，流體在圓管中層流的速度分布是以圓管的軸線為中心線的二次拋物面，因此考慮流體粘性更符合工程實(shí)際情況．此外，在工程應(yīng)用中，管道系統(tǒng)受到彈簧等外部結(jié)構(gòu)的約束往往會提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

本文利用Euler梁模型來模擬細(xì)長管道，通過虛功原理導(dǎo)出中間約束輸流管道系統(tǒng)控制方程，以有限差分法為求解工具，分析了流體平均速度、流體粘性和彈簧剛度對固有頻率的影響，同時分析了彈簧剛度對臨界速度的影響．

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 輸流管道示意圖

由于輸流管道往往為細(xì)長結(jié)構(gòu)，因此可將其簡化為梁模型．根據(jù)Euler梁理論，管道的應(yīng)變能變分為：

中間約束的勢能變分為：

流體質(zhì)點(diǎn)的橫向加速度可按照加速度合成定理得到：

圖2 圓形管道流體速度分布

管道與流體總的慣性力做功的變分為：

將（1）式、（2）式和（5）式代入虛功原理表達(dá)式

經(jīng)分部積分后得到：

兩端簡支邊界條件可表達(dá)為：

設(shè)（8）式的解為：

各階偏微分表達(dá)成如下形式：

將（13）式、（14）式和（15）式代入（12）式，整理可得：

邊界條件（9）式和（10）式的處理如下：

將（16）式、（17）式和（18）式整理得到系統(tǒng)的廣義復(fù)特征方程：

解之可得輸流管道系統(tǒng)固有頻率．

2 數(shù)值算例

圖6給出了彈簧剛度對前三階固有頻率的影響．彈簧剛度從0增大到9 × 106N / m的過程中，前三階頻率增大比例分別為134.11%、0.18%、2.58%，可見彈簧剛度對第一階頻率影響最大，對第二階固有頻率幾乎沒有影響，對第三階固有頻率影響相對較?。陨弦?guī)律的產(chǎn)生可以從圖5前三階模態(tài)函數(shù)找到原因，即：第一階和第三階模態(tài)的振動始終受彈簧的約束，隨著模態(tài)的升高系統(tǒng)的振動幅值會逐步衰減，因此第三階相對于第一階固有頻率受到彈簧的影響小；第二階模態(tài)在管道中點(diǎn)處的位移始終為零，因此第二階固有頻率不受彈簧剛度影響．可見，管道系統(tǒng)振動受彈簧剛度和布置位置的共同影響．

圖3 前三階固有階頻率（虛部）與流體平均速度的關(guān)系（σ0= 1 MPa, k = 3×106N / m）

圖4 前三階固有階頻率（實(shí)部）與流體平均速度的關(guān)系（σ0= 1 MPa, k = 3×106N / m）率（虛部）與流體平均速度的關(guān)系（σ0 = 1 MPa, k = 3×106 N / m）

圖5 前三階模態(tài)函數(shù)（σ0= 1 MPa,K = 3×106, 11 m / s）

圖6 彈簧剛度對固有頻率的影響（11 m / s, σ0= 1 MPa）

為得到臨界速度，可略去（16）式與頻率相關(guān)的量，得到：

求解（21）式可得臨界速度．圖7給出了臨界速度與彈簧剛度的關(guān)系，彈簧剛度從0增大到9 × 106N / m，第一階臨界速度增大109.75%，第二階臨界速度不受影響，第三階臨界速度增大4.28%．可見，彈簧剛度對臨界速度的影響與對固有頻率的影響規(guī)律相似．

圖7 臨界速度與彈簧剛度的關(guān)系（σ0 = 1 MPa）

3 結(jié) 論

考慮粘性流體在圓管中層流流動，采用Euler梁理論模擬細(xì)長管道，利用虛功原理推導(dǎo)系統(tǒng)控制方程，研究了粘性流體與彈簧約束輸流管道的耦合振動問題，通過有限差分法離散控制方程，求解分析了前三階固有頻率與流體平均速度、粘性和彈簧剛度的關(guān)系，以及彈簧剛度對前三階臨界速度的影響．各參數(shù)對管道系統(tǒng)自由振動的影響總結(jié)如下：流體平均速度增大固有頻率減小；粘性的存在使得固有頻率偏低；彈簧剛度和布置位置共同影響系統(tǒng)固有振動；彈簧剛度和布置位置共同影響臨界速度．

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Numerical Simulation on Fluid-solid Coupling Vibration of Fluid-conveying Pipes with Intermediate Constraint

SUI Suihan1, MENG Hua1, Peng Danhua1, MA Guangfu2

(1. School of Mechanical Engineering, Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu, China 476000;2. School of Information and Electronic Engineering, Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu, China 476000)

Based on the assumption of fluid laminar flow, this paper studies the dynamic characteristics of slender tubes with flow transport under spring constraints. Based on the principle of virtual work, the governing equation of fluid-conveying pipe system is established. The solution domain is discretized by the finite difference method, and the generalized complex characteristic equation of the system is derived by using the simply supported boundary conditions at both ends. Then the relationship between the natural frequencies of the pipe system and the fluid viscosity and the spring stiffness is studied. The critical velocity of fluid is solved numerically and the influence of spring stiffness on the critical velocity is analyzed. The results show that the natural frequency decreases as the average velocity of fluid increases. When the average velocity of fluid is the same, the viscosity reduces the natural frequency. The influence of the spring on the natural frequency and critical velocity of the system is related to the spring stiffness and the spring arrangement position.

Viscous Fluid; Intermediate Constraint; Flow-conveying Pipes; Natural Frequencies

O327

A

1674-3563(2022)01-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2022.01.001

本文的PDF文件可以從www.wzu.edu.cn/wzdxxb.htm獲得

2021-02-28

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項目(21B520016)

隨歲寒(1988― )，男，河南商丘人，助教，碩士，研究方向：計算力學(xué)

(編輯：王一芳)

(英文審校：黃璐)