淺談思維導(dǎo)圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

周祝光，張揚

摘要：完整的高三復(fù)習(xí)共有三輪，其中一輪復(fù)習(xí)耗時最長，也是公認的最為重要的復(fù)習(xí)階段.可以說，一輪復(fù)習(xí)的效果決定了高考的成敗.在信息化、智能化的時代背景下，思維導(dǎo)圖能有效地幫助學(xué)生提高高三復(fù)習(xí)效率.思維導(dǎo)圖在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用具體可分為以相關(guān)知識為線索制作思維導(dǎo)圖和以解題程序為線索制作思維導(dǎo)圖兩類.

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)圖;高三數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）03-0053-03

完整的高三復(fù)習(xí)共有三輪，其中一輪復(fù)習(xí)耗時最長，也是公認的最為重要的復(fù)習(xí)階段.可以說，一輪復(fù)習(xí)的效果決定了高考的成敗.如何更好的進行一輪復(fù)習(xí)是每個數(shù)學(xué)教師首要思考的問題.

思維導(dǎo)圖概念的初次誕生是源于20世紀70年代的一本書籍《啟動大腦》，是作者托尼巴贊首次提出的一種創(chuàng)新學(xué)習(xí)方法.它以符號、圖象、文字、顏色為媒介，以某一個關(guān)鍵詞或者中心內(nèi)容為起點，進行層級化和分支化，從而形成一張清晰的，完整的，具備邏輯結(jié)構(gòu)的知識結(jié)構(gòu)圖.思維導(dǎo)圖在使用的過程中很好的平衡、協(xié)調(diào)了左右腦的使用，并以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為依托，不斷對關(guān)鍵詞或者中心內(nèi)容進行擴散與延展，充分激發(fā)使用者的思維活動，創(chuàng)造的層級關(guān)系有效地將新舊知識整合成一個系統(tǒng)，激發(fā)人們的創(chuàng)新思維.

本文中所提到的思維導(dǎo)圖與上述概念既有重合，但也有一些區(qū)別，主要是指應(yīng)用于高三一輪復(fù)習(xí)的一種思維工具，具體可分為兩種.一種是通過網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)將學(xué)生學(xué)習(xí)過的基礎(chǔ)概念納入學(xué)生原有的知識體系中;另一種是通過樹狀圖的結(jié)構(gòu)對學(xué)生解題能力進行指導(dǎo).簡單來說，就是一方面利用圖象、語言、符號的交織幫助學(xué)生厘清知識間的聯(lián)系，整合成完整知識系統(tǒng)便于記憶;另一方面幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將不可視的解題方法、路徑、數(shù)學(xué)思想通過圖示呈現(xiàn)出來便于理解.本文主要以一節(jié)高三微專題為例，展示思維導(dǎo)圖在高三一輪復(fù)習(xí)當(dāng)中的應(yīng)用.

1 課堂實錄

【教學(xué)環(huán)節(jié)1】

【問題】已知函數(shù)f（x）=exsinx-x，求函數(shù)在區(qū)間〖的最值.

生1：因為無法通過常用結(jié)論判斷函數(shù)f（x）=exsinx-x的單調(diào)性，所以對函數(shù)求導(dǎo).

師：思路正確，但沒有繼續(xù)完成，碰到了什么困難？

生1：是的，求解出導(dǎo)數(shù)f ′（x）=exsinx+cosx-1，但不知道怎么判斷導(dǎo)數(shù)值的正負，所以確定不了原函數(shù)的單調(diào)性和最值.

師：我們學(xué)過可以采用什么辦法來確定它的正負嗎？

生2：可以把f ′（x）=exsinx+cosx-1作為一個新的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求方程2sinx+π4=1ex的根，通過觀察兩函數(shù)圖象交點為0，1，判斷在〖上f ′（x）≥0，所以f（x）在〖上單調(diào)遞增.所以f（x）min=f（0）=0，∴f（x）max=f（π2）=eπ2-π2.

師：非常好，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點問題，靈活的應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

追問：那碰到不能通過圖象直觀判斷的怎么辦？

生3：生2 把f ′（x）看作為一個新的函數(shù)給了我啟發(fā)，如果把它看做是一個新的函數(shù)，那么我們再次對它求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)然后再進行分析.

師：非常好，把你的思路付諸于現(xiàn)實.

生3：f ″（x）=2excosx在〖上恒正，所以f ′（x）在〖上單調(diào)遞增，而f ′（x）min=f ′（0）=0，所以f ′（x）min≥0.f（x）在〖單調(diào)遞增.

變式：求問題中的函數(shù)在〖的最值.

生4：∵f ″（x）=2excosx在〖上非負，∴f ′（x）=exsinx+cosx-1在〖上單調(diào)遞增.而f ′（0）=0，所以在〖上f ′（x）

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0，在〖上f ′（x）≥0，所以原函數(shù)f（x）在〖上單調(diào)遞減，在〖上單調(diào)遞增.所以f（x）min=f（0）=0，f（x）max=max{f（-π2），f（π2）}，又∵f（π2）-f（-π2）=（eπ2-π2）-（-e-π2+π2）=eπ2+e-π2-π>eπ2-π>0，∴f（π2）>f（-π2）.∴f（x）max=f（π2）=eπ2-π2.

【歸納總結(jié)】

【教學(xué)環(huán)節(jié)2】

【問題】已知函數(shù)f（x）=ex-ax2-2x.當(dāng)a<e2-1時，證明：不等式f（x）>e2-1在（0，+

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）上恒成立.

生5：根據(jù)對剛剛問題的反思，一階導(dǎo)f ′（x）=ex-2ax-2無法直接判斷正負，故求二階導(dǎo)f ″（x）=ex-2a，∵a<e2-1，x∈（0，+

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），f ″（x）>f ″（0）=1-2a>3-e>0.所以f ′（x）在（0，+

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）上單調(diào)遞增.

師：很好，那為什么沒有繼續(xù)下去，這次的困難是什么？

生5：雖然能判斷出一階導(dǎo)單調(diào)遞增，但因為它的最小值小于0，說明一定存在零點，但無法求出一階導(dǎo)的零點，所以不能判斷原函數(shù)的增減性.也試圖畫出函數(shù)圖象，可是也無法找到準確的交點.

師：關(guān)于函數(shù)的零點問題，除了圖像我們還學(xué)過什么方法確定零點區(qū)間呢？

生6：零點存在性定理.∵f ′（0）=-1<0，f ′（1）=e-2a-2>0，所以存在x0∈（0，1）使得f ′（x0）=0.所以在（0，x0）上f ′（x）<0，在（x0，+

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）上f ′（x）>0.

f（x）min=f（x0）=ex0-ax20-2x0.

師：很好，由零點存在性定理得到原函數(shù)的最小值，進而只需說明最小值大于e2-1.我們還可以利用哪些方法來將函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化為我們可以求解的函數(shù)呢？

生6：f ′（x0）=0不僅是結(jié)論，更是條件，即ex0-2ax0-2=0.所以

f（x0）=ex0-ax20-2x0=ex0-x0（ax0+2）=ex0-x0（ex02+1）=ex0（1-x02）-x0>e1（1-12）-1=e2-1

【歸納總結(jié)】

【教學(xué)環(huán)節(jié)3】完善導(dǎo)圖，自擬問題

師：通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能否總結(jié)出求解一階導(dǎo)不可判斷正負的導(dǎo)數(shù)題目的一般策略和操作的具體步驟，請將本節(jié)課內(nèi)容制成完整的思維導(dǎo)圖.

師：請寫出你自己設(shè)計的一個問題，并解決.

2 幾點反思

2.1 以相關(guān)知識為線索制作思維導(dǎo)圖

2.1.1 以基礎(chǔ)概念為線索制作思維導(dǎo)圖

基礎(chǔ)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，將基礎(chǔ)概念網(wǎng)格化，是對基礎(chǔ)概念之間的關(guān)系進行有效的梳理和總結(jié)，既能從宏觀上把握整體知識的內(nèi)涵與本質(zhì)，也能從微觀上對知識細節(jié)處做好強調(diào).制作基礎(chǔ)知識的思維導(dǎo)圖大體可以從兩個角度進行：第一，整理基礎(chǔ)知識的概念、性質(zhì)、定理等;第二，如何與其他知識進行交匯考察，與不同的知識結(jié)合考察的側(cè)重點等.

2.1.2 以數(shù)學(xué)思想方法為線索制作思維導(dǎo)圖

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的“法寶”，是從基礎(chǔ)知識、方法中抽象出對知識本質(zhì)的認識.構(gòu)建恰當(dāng)?shù)乃季S導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生把高中不同教材、章節(jié)中使用的數(shù)學(xué)思想方法的碎片有效的整合起來，幫助學(xué)生擁有數(shù)學(xué)能力，形成數(shù)學(xué)意識，感知數(shù)學(xué)思想方法.比如有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的思維導(dǎo)圖，如圖4.

2.2 以解題程序為線索制作思維導(dǎo)圖

2.2.1 以多題一解為線索制作思維導(dǎo)圖

在面對由主干知識所形成的數(shù)學(xué)問題中，擁有多題一解的意識是至關(guān)重要的.尤其是高三一輪復(fù)習(xí)中，教師會大量的使用“微專題”的形式解決一些“特定”問題，此時學(xué)生可以從使用了哪些數(shù)學(xué)概念，變換是否等價，如何準確尋找破題點，能否總結(jié)出解決此類問題的一般步驟等方面制作思維導(dǎo)圖.

2.2.2 以一題多解為線索制作思維導(dǎo)圖

一題多解中構(gòu)建思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生較快對多種方法有更全面的認識.比如，通過對不同方法的整理歸納， 總結(jié)通性通法、不同方法間的關(guān)聯(lián)性與限制性，進而找到適合自己的方法.

參考文獻：

[1]邵明，楊玉敏.思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的應(yīng)用.鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2020（4）：24-29.

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