中日高中數(shù)學(xué)教材概率與統(tǒng)計(jì)的比較研究

覃淋 喻曉婷 張靜

【摘要】以“概率與統(tǒng)計(jì)”作為研究對(duì)象，對(duì)中日兩國(guó)高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較研究.研究發(fā)現(xiàn)：中國(guó)教材知識(shí)點(diǎn)數(shù)量多于日本教材;兩套教材中概率內(nèi)容都多于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容;中國(guó)教材比較注重定義的嚴(yán)格性，日本教材比較注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系;兩套教材都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，注重將計(jì)算機(jī)融入教材.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教材;概率與統(tǒng)計(jì);比較研究;計(jì)算機(jī)

教材為教師的教與學(xué)生的學(xué)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，為學(xué)校的教與學(xué)活動(dòng)提供了基本范例、基本思路和基本方法，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源＼[1＼].考查歷史上重要的數(shù)學(xué)教育改革，我們可以發(fā)現(xiàn)教材改革是數(shù)學(xué)教育改革的中心問(wèn)題之一，如由美國(guó)引領(lǐng)，最后幾乎波及全球的新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)＼[2＼].教材作為教師教、學(xué)生學(xué)的主要依據(jù)，其質(zhì)量會(huì)直接影響教學(xué)效果.對(duì)教材進(jìn)行分析和比較，是為了更好的利用教材，充分發(fā)揮教材在教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的價(jià)值，使教師能創(chuàng)造性的使用教材，更好地為教師的教與學(xué)生的學(xué)服務(wù).

本文之所以選取概率與統(tǒng)計(jì)作為研究對(duì)象，主要基于以下原因：首先，隨著社會(huì)的發(fā)展，概率與統(tǒng)計(jì)在人們的生活中扮演著越來(lái)越重要的角色，概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來(lái)公民的必備常識(shí)，概率與統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).其次，概率與統(tǒng)計(jì)在各國(guó)的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占據(jù)重要地位，是我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革變化較大的內(nèi)容之一，是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中特別加強(qiáng)的內(nèi)容，也是我國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“弱項(xiàng)”，其思維方式和代數(shù)、幾何等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容不同.最后，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識(shí)和理解不是很深刻，我國(guó)高中數(shù)學(xué)教師的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)儲(chǔ)備不足，大部分教師對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的基本概念理解深度不夠＼[3＼].本文研究中日兩國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容設(shè)置以及重要知識(shí)點(diǎn)的處理，希望能為我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材概率與統(tǒng)計(jì)的編寫(xiě)提供一些參考.

1 研究對(duì)象

考慮教材的使用范圍以及教材能否體現(xiàn)所在地區(qū)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，結(jié)合教材的出版時(shí)間，確定了研究對(duì)象＼[48＼].

2研究結(jié)果

2.1知識(shí)點(diǎn)的比較

根據(jù)我們所選擇的教材，統(tǒng)計(jì)了兩套高中數(shù)學(xué)教材中概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)及其數(shù)量，結(jié)果如下（“+”表示有此知識(shí)點(diǎn)，“-”表示無(wú)）

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概率知識(shí)主要有概率、隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、條件概率、全概率公式和一些常見(jiàn)的概率分布.統(tǒng)計(jì)知識(shí)有收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)兩方面，前者是抽樣調(diào)查，包括隨機(jī)抽樣等內(nèi)容;后者是統(tǒng)計(jì)推斷，包括假設(shè)檢驗(yàn)、線性回歸分析等.

由表2，我們總共列出了46個(gè)知識(shí)點(diǎn).在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上，中國(guó)教材多于日本教材，有40個(gè);日本教材有35個(gè).對(duì)兩套教材中概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算各自所占比重.得到如圖1的結(jié)果.

由圖1知，中國(guó)教材中概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量分別為25、15，所占比例分別為62.5%、37.5%;日本教材中概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)數(shù)量分別為20、15，所占比例分別為57.14%、42.86%.具體知識(shí)點(diǎn)的差異見(jiàn)表3.由表3知，在概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)的選擇上，日本教材中有些內(nèi)容，如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)處理、大數(shù)定律、隨機(jī)變量的和與積等是中國(guó)教材沒(méi)有的.具體來(lái)看，首先是概率部分，和日本教材相比，中國(guó)教材介紹的內(nèi)容較多，如全概率公式和貝葉斯公式、兩點(diǎn)分布以及超幾何分布等內(nèi)容，日本教材均未涉及.其次，在統(tǒng)計(jì)部分，描述性統(tǒng)計(jì)方面，兩套教材的知識(shí)點(diǎn)僅有細(xì)微差別;在推斷性統(tǒng)計(jì)內(nèi)容方面，中國(guó)教材就涉及較少，與日本教材差別較大.

2.2知識(shí)點(diǎn)處理的比較

首先，從內(nèi)容模塊的編排順序看，兩套教材的順序都是“統(tǒng)計(jì)—概率—概率—統(tǒng)計(jì)”，和03版實(shí)驗(yàn)教材的順序一樣.與03版實(shí)驗(yàn)教材相比，中國(guó)教材增加了較多的內(nèi)容（刪除了系統(tǒng)抽樣和幾何概型），不管是知識(shí)廣度上，還是內(nèi)容深度上，都大大增加了.其次，從教材對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)的處理看，中國(guó)教材對(duì)有些知識(shí)僅簡(jiǎn)單加以介紹.比如正態(tài)分布，中國(guó)教材以問(wèn)題引入的形式介紹了正態(tài)分布，討論了正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)以及均值、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)正態(tài)分布的影響.還以文本框旁白的形式簡(jiǎn)單介紹了正態(tài)分布的歷史，利用Excel中的NORM DIST函數(shù)來(lái)計(jì)算P（X≤x）.日本教材除上述內(nèi)容外，還介紹了連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)、正態(tài)分布的應(yīng)用，二項(xiàng)分布當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，趨近于正態(tài)分布.從內(nèi)容表述上看，兩套教材都比較注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的整體性.

下面以概率的定義、數(shù)據(jù)分析兩個(gè)核心主題為例來(lái)討論.

2.2.1概率的定義

高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)于概率這個(gè)概念的討論，一般會(huì)介紹概率的“統(tǒng)計(jì)定義”和“古典定義”，但不同教材在處理方式上有所不同.“古典定義”是在等可能性的基礎(chǔ)上給出的.假設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有N個(gè)等可能出現(xiàn)的結(jié)果，對(duì)于事件A來(lái)說(shuō)，它恰好包含了這個(gè)試驗(yàn)中的M個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率記為P（A）=MN＼[9＼].比如擲硬幣，在硬幣質(zhì)地絕對(duì)均勻的情況下，正反面出現(xiàn)的概率一樣的，都是12;如果我們把擲一次硬幣出現(xiàn)正面記為事件A，那么事件A發(fā)生的概率就是P（A）=12.概率的“統(tǒng)計(jì)定義”是一種通過(guò)試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件概率的方法.直觀來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的大小，可以通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的頻繁程度去刻畫(huà)＼[9＼].歷史上有許多這樣的試驗(yàn)，如03版實(shí)驗(yàn)教材中介紹的擲硬幣試驗(yàn).

中國(guó)教材先是介紹了隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)、樣本空間等概念，再用樣本空間和集合定義了隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件等內(nèi)容.之后給出了概率的定義＼[4＼]：“對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率.”然后給出了古典概型的定義，接著討論古典概型中隨機(jī)事件發(fā)生概率的計(jì)算.在給出計(jì)算公式后，以文本框旁白的形式簡(jiǎn)要介紹了古典概型的歷史.隨后，中國(guó)教材又以一節(jié)的內(nèi)容討論了頻率與概率，首先給出了學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的必要性：“現(xiàn)實(shí)世界中，很多試驗(yàn)的樣本點(diǎn)往往不是等可能的.”接著，以“探究”活動(dòng)的形式來(lái)討論頻率與概率的關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)分組拋硬幣來(lái)得到結(jié)論：“一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn（A）會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率就是P（A）.”在這段文字的右邊，以圖文旁白的形式介紹了雅克布·伯努利.

日本教材也介紹了概率的兩種定義，但在處理方式上有很大不同.首先介紹了隨機(jī)事件的概念，接著介紹拋硬幣的試驗(yàn)，給出了概率的“統(tǒng)計(jì)定義”：“一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率mn總是接近于某個(gè)常數(shù)，在這個(gè)常數(shù)附近波動(dòng)，我們把這個(gè)常數(shù)稱為事件A發(fā)生的概率，記作P（A）.”在給出了概率的“統(tǒng)計(jì)定義”后，引入了具有等可能性的事件，在此基礎(chǔ)上把概率的“古典定義”作為計(jì)算隨機(jī)事件概率的方法給出.這種處理方式和我國(guó)《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）》下的教材是一樣的.

兩套教材在本內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)的編排和處理上有共性也有差異.首先，知識(shí)點(diǎn)的選取上，中國(guó)和日本教材都介紹了概率的兩種定義.其次，從知識(shí)點(diǎn)編排順序看，中國(guó)教材是先介紹古典定義，后統(tǒng)計(jì)定義;日本教材是先統(tǒng)計(jì)定義，再古典定義.最后，在知識(shí)點(diǎn)的處理上，中國(guó)教材和日本教材在概率的“古典定義”的處理上是相似的，但在概率的“統(tǒng)計(jì)定義”的處理上不一樣.

2.2.2數(shù)據(jù)分析

高中學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容主要包括收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)兩部分.在通過(guò)隨機(jī)抽樣得到數(shù)據(jù)后，就需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.得到的樣本數(shù)據(jù)可進(jìn)行單變量分析（描述性統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算以及統(tǒng)計(jì)圖表繪制）與多變量分析（相關(guān)性分析、線性回歸分析）.

首先，從兩套教材涉及的內(nèi)容看，中國(guó)教材主要有：總體、樣本、頻率分布直方圖、百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化;散點(diǎn)圖、線性相關(guān)、最小二乘法、回歸直線、獨(dú)立性檢驗(yàn).日本教材主要有：總體、樣本、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)處理;散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、中心極限定理等.可以看出，在描述性統(tǒng)計(jì)量的討論上，兩套教材的內(nèi)容差不多，不同的是日本教材專門(mén)用了一節(jié)內(nèi)容來(lái)討論利用Excel來(lái)計(jì)算描述性統(tǒng)計(jì)量.

其次，從兩套教材對(duì)內(nèi)容的處理來(lái)看，兩套教材的大體框架也不一樣，就描述性統(tǒng)計(jì)量的討論而言，中國(guó)教材和日本教材是放在必修內(nèi)容中，對(duì)多變量分析這一內(nèi)容，中國(guó)教材是屬于選擇性必修的，日本教材是放在選修部分.中國(guó)教材一共用了5節(jié)來(lái)分別介紹這兩部分內(nèi)容.先是介紹了利用頻率分布表和頻率分布直方圖對(duì)隨機(jī)抽樣得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述和表示，得到總體的取值規(guī)律.接著討論了總體百分位數(shù)的估計(jì)和用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的集中趨勢(shì)和離散程度.正文之后，在“閱讀與思考”中以案例的形式介紹了統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用.但沒(méi)有引入中心極限定理、置信區(qū)間等內(nèi)容來(lái)說(shuō)明怎樣對(duì)“樣本估計(jì)總體”的可接受性做出判斷.在選擇性必修部分，以一章的內(nèi)容討論了“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析”，先介紹兩個(gè)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，接著介紹了一元線性回歸模型及其應(yīng)用，以及兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).對(duì)于描述性統(tǒng)計(jì)量的討論，日本教材專門(mén)用了一章來(lái)討論.先是介紹了一些描述性統(tǒng)計(jì)量，如平均值、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差等，然后討論了兩變量之間的相關(guān)關(guān)系，最后介紹了用Excel來(lái)計(jì)算這些描述性統(tǒng)計(jì)量以及相關(guān)系數(shù).

總的來(lái)說(shuō)，在本內(nèi)容中，中國(guó)教材在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上比較多，但在內(nèi)容深度上不夠深入.日本教材知識(shí)點(diǎn)數(shù)量較少，在內(nèi)容深度上也低于中國(guó)教材.雖然《標(biāo)準(zhǔn)》中大力強(qiáng)調(diào)要“發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”，但從教材內(nèi)容的編排來(lái)看，力度還不夠.相比而言，中國(guó)教材還是更強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，概率與統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)中應(yīng)用性很強(qiáng)的分支，尤其是統(tǒng)計(jì).隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)與社會(huì)的發(fā)展對(duì)統(tǒng)計(jì)的需求，統(tǒng)計(jì)學(xué)在2010年已經(jīng)上升為與數(shù)學(xué)并列的一級(jí)學(xué)科，其應(yīng)用范圍已經(jīng)涉及到現(xiàn)代社會(huì)以及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面.美國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家C.R.勞認(rèn)為，“在終極的分析中，一切認(rèn)識(shí)都是歷史;在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué);在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué).”＼[10＼]統(tǒng)計(jì)的重要性由此可見(jiàn)一斑.教師在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對(duì)統(tǒng)計(jì)思維體會(huì)的同時(shí)，也應(yīng)該重視運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法結(jié)合統(tǒng)計(jì)軟件來(lái)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”.

2.3對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的比較

2.3.1計(jì)算能力

我們認(rèn)為計(jì)算能力至少應(yīng)該包括以下三個(gè)方面：一是筆算能力，二是計(jì)算工具的使用，三是編程要求（在概率與統(tǒng)計(jì)中，表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)軟件的使用：計(jì)算機(jī)模擬和數(shù)據(jù)分析）.對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)也應(yīng)考慮這幾個(gè)方面.

中國(guó)教材中，幾乎沒(méi)有涉及編程.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣部分介紹隨機(jī)數(shù)法時(shí)，介紹了用Excel和R軟件來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).在“隨機(jī)抽樣”一節(jié)中，以“信息技術(shù)應(yīng)用”的形式介紹了Excel和R軟件的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)功能：產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)、隨機(jī)抽樣和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算.在選擇性必修3中，以“信息技術(shù)應(yīng)用”的形式介紹了用GeoGebra畫(huà)二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布的概率分布圖.

統(tǒng)計(jì)是關(guān)于數(shù)據(jù)收集和分析的科學(xué)，一般包括收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)兩部分.兩套教材都涉及了這兩方面的內(nèi)容.通過(guò)隨機(jī)抽樣或?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)得到數(shù)據(jù)后，需要對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，以此來(lái)推斷總體的情況，這是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的主要目的，也是高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教學(xué)的主要目的之一.學(xué)會(huì)利用計(jì)算機(jī)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力培養(yǎng)的重要組成部分.《標(biāo)準(zhǔn)》中也要求“運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬活動(dòng)，處理數(shù)據(jù)”.

國(guó)際上有專門(mén)為中小學(xué)統(tǒng)計(jì)教學(xué)而開(kāi)發(fā)的統(tǒng)計(jì)教學(xué)軟件——Fathom動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)軟件、TinkerPlots動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)軟件等.這樣的統(tǒng)計(jì)教學(xué)軟件是可以也能夠引入到中小學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的.這對(duì)改善統(tǒng)計(jì)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)大有裨益.美國(guó)《統(tǒng)計(jì)教育評(píng)價(jià)和教學(xué)指導(dǎo)綱要》（Guidelines for Assessment and Instruction in statistics Education）指出：信息技術(shù)改變了統(tǒng)計(jì)學(xué)家的工作方式，也應(yīng)該改變他們的教學(xué)方式.……信息技術(shù)應(yīng)該被用于分析數(shù)據(jù)，讓學(xué)生聚焦于對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)果的解釋和條件的檢驗(yàn)，而不是單純的計(jì)算.……信息技術(shù)也可以用于幫助學(xué)生將概念可視化，通過(guò)模擬發(fā)展對(duì)抽象概念的理解＼[11＼].

2.3.2發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力

《標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，要提高學(xué)生“從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”，但從教材概率與統(tǒng)計(jì)部分的內(nèi)容看，由于知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性不好，使學(xué)生無(wú)法對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行質(zhì)疑，從而影響對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題能力的培養(yǎng).因?yàn)椤皩?duì)于任何一門(mén)科學(xué)的正確概念，都不能從有關(guān)這門(mén)科學(xué)的片斷知識(shí)中形成，盡管這些片斷知識(shí)足夠廣泛.還需要對(duì)這門(mén)科學(xué)的整體有正確的觀點(diǎn)，需要了解這門(mén)科學(xué)的本質(zhì)”＼[12＼].

“用樣本估計(jì)總體”屬于統(tǒng)計(jì)推斷的內(nèi)容，中國(guó)教材和日本教材的處理方式明顯不同.中國(guó)教材在介紹用樣本頻率分布估計(jì)總體分布、總體百分位數(shù)的估計(jì)、總體集中趨勢(shì)的估計(jì)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和總體離散程度的估計(jì)（方差、標(biāo)準(zhǔn)差）后，并沒(méi)有引入置信區(qū)間、置信系數(shù)等內(nèi)容來(lái)說(shuō)明怎樣對(duì)“樣本估計(jì)總體”的可接受性做出判斷.只是指出：由于樣本選取具有隨機(jī)性，用樣本的頻率分布、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的分布、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，可能會(huì)存在一定誤差，但這一誤差一般不會(huì)影響對(duì)總體分布情況的大致了解.盡管教材也指出了當(dāng)樣本代表性不好時(shí)，很可能對(duì)總體做出錯(cuò)誤的估計(jì)，但是這個(gè)“可能性”是多少，怎樣刻畫(huà)，并未深入討論.到這一步時(shí)，可以很自然的引入正態(tài)分布、極限定理（大數(shù)定律、中心極限定理）等內(nèi)容.中國(guó)教材的這種編排破壞了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性.中國(guó)教材在必修第二冊(cè)中先介紹了抽樣方法，然后介紹用樣本估計(jì)總體，在這里可以深入介紹一些統(tǒng)計(jì)推斷的內(nèi)容，卻沒(méi)有深入介紹，打亂了數(shù)學(xué)的邏輯順序.

3結(jié)論與啟示

3.1結(jié)論

通過(guò)對(duì)兩套高中數(shù)學(xué)教材“概率與統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容的比較研究，我們得出以下結(jié)論：

（1）在知識(shí)點(diǎn)數(shù)量上，中國(guó)教材多于日本教材.在知識(shí)廣度上，中國(guó)教材高于日本教材.

（2）兩套教材都是概率內(nèi)容多于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，中國(guó)教材概率知識(shí)點(diǎn)數(shù)量遠(yuǎn)多于統(tǒng)計(jì).其中，概率部分，兩套教材的內(nèi)容基本一致;兩套教材關(guān)于描述性統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)是一樣的，在統(tǒng)計(jì)部分，兩套教材差別較大，不過(guò)日本教材中沒(méi)有安排一元線性回歸的內(nèi)容.

（3）從兩套教材對(duì)知識(shí)點(diǎn)的處理看，中國(guó)教材比較注重定義的嚴(yán)格性，注意結(jié)合具體案例引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過(guò)程.日本教材則比較注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是一個(gè)整體.兩套教材都很強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，也比較注重統(tǒng)計(jì)軟件在教學(xué)中的運(yùn)用.

3.2啟示

（1） 教材的編寫(xiě)應(yīng)注意各數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)的各個(gè)分支是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念間的親緣關(guān)系.概率與統(tǒng)計(jì)也不是孤立存在的，尤其是隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)到，其應(yīng)用范圍也越來(lái)越廣.國(guó)際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H. Freudenthal，1905-1990）曾強(qiáng)調(diào)：“不要教孤立的片斷，要教連貫的材料，因?yàn)橛新?lián)系的事物學(xué)得快，記得牢.”從認(rèn)知心理學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生掌握了一門(mén)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)后，能夠幫助他理解相關(guān)知識(shí)，達(dá)到觸類旁通、融會(huì)貫通的境地.然而我們的教材的編寫(xiě)常常將數(shù)學(xué)按模塊或領(lǐng)域劃分，將概率統(tǒng)計(jì)作為獨(dú)立的內(nèi)容，這樣不利于學(xué)生形成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)觀，導(dǎo)致學(xué)生會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間毫無(wú)聯(lián)系.兼顧歷史（數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程）、邏輯（數(shù)學(xué)科學(xué)的特征）、心理順序（學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)）和學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的教材才是理想的教材.將它們作為一個(gè)整體進(jìn)行講授，可以幫助學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的各個(gè)分支是一個(gè)整體”的觀念，同時(shí)算術(shù)、代數(shù)、幾何等內(nèi)容可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)的理解.比如蒲豐投針試驗(yàn)，這是將概率與幾何聯(lián)系在一起的一個(gè)非常好的實(shí)例.再如著名的蒙特卡洛方法，我們可以通過(guò)這一方法來(lái)計(jì)算幾何中許多不規(guī)則圖形的面積.而將搜集的數(shù)據(jù)，通過(guò)點(diǎn)圖（dot diagram）、莖葉圖（stem and leaf diagram）、箱線圖（box and whisker plot）、直方圖（histogram）等直觀的表示出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過(guò)程.在親自參與的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)結(jié)果解釋實(shí)際問(wèn)題.

現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)不僅僅是各數(shù)學(xué)分支之間的相互交織，還應(yīng)聯(lián)系著物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)和一些人文學(xué)科.這些學(xué)科中許多內(nèi)容都可作為概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的素材，教材中也舉了相關(guān)例子來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)在其它學(xué)科以及生活中的應(yīng)用，但與“標(biāo)準(zhǔn)”的要求還有不小差距.

（2）教材應(yīng)引入統(tǒng)計(jì)軟件來(lái)輔助教學(xué)

有學(xué)者指出，中小學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)該是一種直觀的教學(xué)＼[13＼].《標(biāo)準(zhǔn)》中也建議：“鼓勵(lì)學(xué)生盡可能運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬活動(dòng)，利用計(jì)算機(jī)輔助更好地體會(huì)概率的意義和統(tǒng)計(jì)思想.”＼[1＼]

日本教材中專門(mén)用一節(jié)來(lái)介紹怎樣利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算一些描述性統(tǒng)計(jì)量，如均值、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差標(biāo)準(zhǔn)差以及相關(guān)系數(shù)的計(jì)算.中國(guó)教材在隨機(jī)抽樣部分，簡(jiǎn)單介紹了用Excel和R軟件來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù).而后以“信息技術(shù)應(yīng)用”的形式介紹了Excel和R軟件的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)功能.在選擇性必修3中，以“信息技術(shù)應(yīng)用”的形式介紹了GeoGebra的簡(jiǎn)單應(yīng)用.中日兩國(guó)的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，都明確提出要將現(xiàn)代信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓計(jì)算機(jī)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有力工具.但從教材中概率與統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容來(lái)看，計(jì)算機(jī)的融入做得還不盡如人意.

利用計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力培養(yǎng)的重要組成部分.在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中，計(jì)算機(jī)的使用是很有用處的，是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺(tái)，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源.除了作為計(jì)算工具，更重要的是利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)課程深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.如何在保持傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，將計(jì)算機(jī)融入教學(xué)，在“依賴”與“運(yùn)用”之間達(dá)到平衡，是一個(gè)值得深入研究的課題.

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作者簡(jiǎn)介覃淋（1991—），男，四川南充人，碩士，助教;主要研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育;發(fā)表論文10余篇，其中人大復(fù)印報(bào)刊資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載3篇.

喻曉婷（1993—），女，四川巴中人，助教;主要研究中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué).

張靜（1992—），男，四川廣安人，小教二級(jí)教師;主要研究小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué).