小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課學(xué)習(xí)材料的研發(fā)與實施

陳紅霞

【摘? ?要】隨著課程改革的深入，近年來小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課學(xué)習(xí)材料的開發(fā)逐漸成為一線教師的關(guān)切點之一。教師在研發(fā)拓展課學(xué)習(xí)材料時需避免目標(biāo)不清、難度太大、負(fù)擔(dān)加重等問題?；凇癐PS+”教材二次開發(fā)理念的拓展學(xué)材研發(fā)方式，可以成為一線教師進行相關(guān)內(nèi)容研發(fā)時可借鑒的一般流程和具體實施路徑。

【關(guān)鍵詞】二次開發(fā);學(xué)習(xí)材料;整合;拓展;結(jié)構(gòu)化

隨著課程改革的深入，基礎(chǔ)課程的校本化實施和拓展開發(fā)已經(jīng)成為當(dāng)前課程建設(shè)的重要內(nèi)容之一，小學(xué)數(shù)學(xué)課程的校本化實施需要教師對數(shù)學(xué)教材進行二次開發(fā)。為此，研究團隊提出了基于“IPS+”理念的數(shù)學(xué)教材二次開發(fā)的基本原則。具體地說，“IPS+”就是從整合（Integrate）、拓展（Prolongate）和結(jié)構(gòu)化（Structured）的視角對教材內(nèi)容進行有益補充、優(yōu)化重組，對知識脈絡(luò)進行有益聯(lián)結(jié)與適度延伸，對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行序列梳理和系統(tǒng)重構(gòu)。

拓展課不是對教材外的學(xué)習(xí)內(nèi)容進行簡單疊加，而是要根據(jù)學(xué)情對基礎(chǔ)課程進行有益的補充。教師在研發(fā)拓展課學(xué)習(xí)材料（以下簡稱“學(xué)材”）時需避免目標(biāo)不清、難度過大、負(fù)擔(dān)加重等問題。應(yīng)基于“IPS+”理念開發(fā)拓展課學(xué)習(xí)材料并實施教學(xué)，找到教材二次開發(fā)的范式，以促進學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、探繹：基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)內(nèi)涵

基于“IPS+”理念對小學(xué)數(shù)學(xué)教材進行拓展開發(fā)時，要重點思考的是拓展目標(biāo)和價值，也就是想清楚“為什么拓”，這是解決“從哪里開始拓”和“怎么拓”的最根本問題?；凇癐PS+”的拓展學(xué)材研發(fā)，堅持以學(xué)情和補充基礎(chǔ)課程為出發(fā)點，以提升學(xué)生素養(yǎng)為旨?xì)w，在小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識中提煉問題，遵循學(xué)生需求梳理學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)。拓展學(xué)材的研發(fā)旨在促進學(xué)生對核心概念的理解和關(guān)鍵能力的發(fā)展。作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程中處于基礎(chǔ)和主干地位的核心知識，涵蓋小學(xué)階段學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)概念、運算規(guī)律、數(shù)量關(guān)系、圖形特征和計算公式及其所蘊含的核心操作技能、數(shù)學(xué)思想方法。

學(xué)材開發(fā)要關(guān)注知識的聯(lián)通，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解逐步走向深入。

（一）從“聯(lián)”到“通”，讓數(shù)學(xué)理解有路徑

按部就班地照搬教材，必然造成學(xué)生知識理解的淺表化、知識結(jié)構(gòu)的零碎化。拓展學(xué)材研發(fā)過程中對核心問題的提煉，可以聯(lián)結(jié)斷點、串起散點、把握要點，跨越教材中由于單元及課時劃分造成的斷層、因分散編排導(dǎo)致的關(guān)聯(lián)弱化或隱藏，實現(xiàn)核心知識的本質(zhì)勾連，幫助學(xué)生沖破割裂理解的藩籬，走向結(jié)構(gòu)化理解。

（二）由“變”趨“深”，讓數(shù)學(xué)理解更深遠(yuǎn)

統(tǒng)編教材的普適性無法滿足各地差異化的學(xué)情，均勻用力的課時分布容易造成學(xué)生學(xué)得不深、學(xué)得不夠。拓展學(xué)材研發(fā)中根據(jù)學(xué)生實際將學(xué)習(xí)材料結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，可以讓學(xué)生更好地聚焦核心問題展開探究學(xué)習(xí)。教師通過設(shè)計層層推進的挑戰(zhàn)性任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生將疑點、難點在不斷變式中逐一化解，讓研究能力強的學(xué)生有遷移運用知識的空間，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解走向深遠(yuǎn)。

二、尋繹：基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)路徑

基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)，通過三個階段進行。

目標(biāo)整合階段（I階段），教師既要對學(xué)生進行是否需要拓展和能拓到什么程度的評估，也要對教材進行核心知識的梳理和關(guān)鍵能力的對接，從而探明拓展起點，預(yù)設(shè)拓展終點，準(zhǔn)確定位拓展目標(biāo)。

學(xué)程拓展階段（P階段），教師既要根據(jù)價值評估確定核心問題，又要根據(jù)需求評估設(shè)定學(xué)習(xí)路徑。研發(fā)準(zhǔn)備階段是研發(fā)過程的依據(jù)，研發(fā)評估又為研發(fā)過程提供改進依據(jù)。

結(jié)構(gòu)施教階段（S階段），教師既要根據(jù)學(xué)習(xí)路徑為學(xué)生設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，又要預(yù)設(shè)在教學(xué)實施過程中應(yīng)如何進行合適學(xué)法的選擇。

（一）拓展目標(biāo)的確定：以生為本，以素養(yǎng)為基

基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)，以學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)為拓展目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)為“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”，其中“數(shù)學(xué)的眼光”側(cè)重于數(shù)學(xué)抽象，指向?qū)W生需掌握數(shù)學(xué)的一般性特征;“數(shù)學(xué)的思維”側(cè)重于邏輯推理，指向?qū)W生需掌握數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性特征;“數(shù)學(xué)的語言”側(cè)重于數(shù)學(xué)模型，指向?qū)W生需掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性特征。以這三個維度為導(dǎo)向，建構(gòu)基于“IPS+”的小學(xué)數(shù)學(xué)拓展學(xué)材研發(fā)目標(biāo)框架，將拓展目標(biāo)與關(guān)鍵能力的培養(yǎng)目標(biāo)一以貫之，使拓展學(xué)材真正為了學(xué)生，真正促進學(xué)生對基礎(chǔ)課程的理解。

（二）核心問題的提煉：以拓為航，以教材為依

核心問題的確定在學(xué)材研發(fā)過程中非常關(guān)鍵，核心問題對學(xué)生知識的深度理解、能力的進階發(fā)展有重要的促進作用。提煉核心問題可從以下三條路徑入手。

1.立足疑難處，促進數(shù)學(xué)理解

可以立足于學(xué)生知識理解的疑難點提煉核心問題，以促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。如，在教學(xué)“軸對稱圖形”時，可抓住“平行四邊形是不是軸對稱圖形”（注：這里的平行四邊形不包括長方形，下同）的疑難點，提煉出“能否改變平行四邊形一個頂點的位置，把它變成軸對稱圖形”這一核心問題。

教師提問：平行四邊形真的是軸對稱圖形嗎？如果是，請找出這個平行四邊形的對稱軸，并進行對折驗證。

（教師出示平行四邊形。一生上去折，不能完全重合）

教師接著出示任務(wù)：你能改變平行四邊形的其中一個點，讓它變成軸對稱圖形嗎？

平行四邊形是不是軸對稱圖形，是學(xué)生學(xué)習(xí)“平行四邊形圖形特征”時典型的疑難點，把它作為拓展素材，讓學(xué)生在“能否把平行四邊形變成軸對稱圖形”這一核心問題中，主動嘗試和辨析，并整理歸納出分別移動每個點的方法，促使學(xué)生修正原有經(jīng)驗，改變原有的錯誤認(rèn)知，從任務(wù)的結(jié)果梳理和方法歸納中獲得對圖形特征的本質(zhì)理解，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)理解的深度拓展。

2.借助聯(lián)系點，促發(fā)意義關(guān)聯(lián)

從教材中處于前后發(fā)展聯(lián)結(jié)處的知識點、相同知識體系中具有一致性的知識點或不同知識體系中可關(guān)聯(lián)的知識點中找到可拓展的核心問題。例如集合和三角形分類本屬于不同的知識領(lǐng)域，處在不同的單元內(nèi)容中，但兩者的本質(zhì)是相互關(guān)聯(lián)的。三角形的分類實際上就是根據(jù)邊、角的特征讓三角形形成不同的集合。故此可以通過這一聯(lián)系點，用核心問題“能否把三角形請到集合圈內(nèi)”（如圖1），將兩項內(nèi)容進行整合。學(xué)生會在辨析中厘清三角形邊和角的特征，并感受分類思想，促進意義理解。

3.挖掘拓展點，促進深度探究

挖掘教材中的典型題、提升題、開放題背后的拓展價值，可以將教材習(xí)題變成拓展學(xué)材。如教師以人教版教材二年級上冊“角的初步認(rèn)識”單元練習(xí)八的第7題（如圖2）為基礎(chǔ)，通過限制畫圖工具、改變畫圖條件等方法，圍繞“沒有直尺，你還會畫直角嗎”這一核心問題，設(shè)計了一系列挑戰(zhàn)性任務(wù)，讓學(xué)生主動調(diào)用所學(xué)經(jīng)驗，遷移運用原有知識，創(chuàng)生出利用“方格紙的格線、等比例的長方形對角線”等方法畫直角。讓學(xué)生在完成挑戰(zhàn)性任務(wù)的過程中為后續(xù)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)、比例等內(nèi)容積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，促進學(xué)生對角的本質(zhì)意義的理解，提升學(xué)生的畫角技能。

在方格紙上畫直角（從給出的點畫起）。

（三）學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計：以終為始，以發(fā)展為要

在基于“IPS+”的拓展學(xué)材研發(fā)過程中，具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)計和組織要重視緩解教材知識學(xué)習(xí)有限性和階段性的問題，側(cè)重學(xué)生的能力培養(yǎng)與素養(yǎng)發(fā)展。學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計需注重趣味性和探究性相結(jié)合的特點，常見的形式有游戲闖關(guān)類、生活探究類、數(shù)學(xué)閱讀類、問題解決類等。主要以生活問題、游戲素材、數(shù)學(xué)史料、變式趣題等開放性素材為載體，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識學(xué)以致用。

三、討繹：基于“IPS+”的拓展學(xué)材實施的價值取向

基于“IPS+”理念設(shè)計拓展學(xué)材后，教師在進行教學(xué)時，應(yīng)注意消除“因漸進式線性推進教學(xué)過程而難以讓學(xué)生建立整體知識結(jié)構(gòu)”的弊端，實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

（一）核心問題取向：高效任務(wù)，問題引領(lǐng)

“核心問題”是把學(xué)材轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)的重要支架。借助核心問題設(shè)計，可以把學(xué)習(xí)置于探究情境中，把問題設(shè)定為逐層遞進的相關(guān)任務(wù)，讓學(xué)生既有解決問題的動力，又有向上攀登的支架。

如圍繞“長、正方形面積計算”開發(fā)的拓展課《螞蟻搶地盤》，教師把面積計算的問題設(shè)置為“螞蟻搶地盤”的情境，讓學(xué)生置身于既有趣味性又有探究意義的真實問題中。教師設(shè)計的任務(wù)是：探究在P點的移動過程中S1～S4四部分面積間的關(guān)系（如圖3），并設(shè)計了任務(wù)串：①描述S1和S2的變化;②描述S1+S2的變化;③描述S3和S4的大小關(guān)系以及變化趨勢;④比較S1+S2與S3+S4的大小。這四個由低階到高階的數(shù)學(xué)任務(wù)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供了層層遞進的任務(wù)鏈，將學(xué)生的視角從靜態(tài)引向動態(tài)，讓學(xué)生的空間觀念和數(shù)學(xué)思維也得到發(fā)展。

（二）經(jīng)驗可視取向：經(jīng)歷過程，展開思維

學(xué)習(xí)的過程就是經(jīng)驗再改造的過程，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、類比、分析、歸納等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的同時，需要將學(xué)生的隱性經(jīng)驗可視化，便于學(xué)生反思和總結(jié)，實現(xiàn)知識的應(yīng)用和認(rèn)知的延伸。

如圍繞“三角形的分類”開發(fā)的拓展課《變化無窮的第三個點》，教師設(shè)置的核心問題是：直線上有A、B兩個點，在直線上方取一點C，使ABC圍成直角三角形，點C可能在哪里？然后按照“學(xué)生嘗試—交流想法—分類整理—歸納特征—追問原因—學(xué)法遷移”的路徑進行教學(xué)，并根據(jù)學(xué)生的交流情況，與學(xué)生一起整理了點C在直線AB的上方時“第三個點”可能的位置：當(dāng)點C落在過A、B兩點的直線AB的垂線上時，∠A或∠B是直角，當(dāng)點C落在“半圓”的虛線上時，∠C是直角，這時ABC圍成的三角形是直角三角形。如果點C不在這幾條線上，那么它在不同區(qū)域時可以得到銳角和鈍角三角形的情況如圖4。

并不是經(jīng)歷過學(xué)習(xí)就會形成經(jīng)驗，教師需要引導(dǎo)學(xué)生及時把探究所得進行外顯和梳理，以幫助他們建立更加豐富的經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，讓知識能更好地得到遷移運用。

（三）高階學(xué)習(xí)取向：遷移運用，建立聯(lián)結(jié)

高階學(xué)習(xí)是一個有意識運用知識的過程，包含以下幾個方面的高階策略：問題解決、創(chuàng)見、決策、調(diào)研和系統(tǒng)分析。要判斷學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量，可以看學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中是否運用了這些策略。

如圍繞“軸對稱圖形”設(shè)計的拓展課《趣變軸對稱》，教師設(shè)計的核心問題是：在圖中（見圖5）涂色一個小正方形，讓組成的新圖形是一個軸對稱圖形，可以怎樣涂？如果依舊要保證新圖形是軸對稱圖形，再涂色兩個、三個小正方形，可以怎樣涂？

在核心問題的解決過程中，先讓學(xué)生獨立嘗試，再小組交流匯總方法，使個別學(xué)生的方法變成一組學(xué)生的共用方法，然后進行方法的分類，歸納方法之間的共性，從而獲得問題解決的策略：確定對稱軸位置，再涂色，使圖形保持對稱性。最后通過設(shè)計第二層次的變式問題，讓學(xué)生能及時應(yīng)用在前一個環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)的方法和經(jīng)驗，使方法得到遷移，思維得到提升。在這個過程中，處處可見學(xué)生經(jīng)歷了高階學(xué)習(xí)過程。

在基于學(xué)生立場的“IPS+”學(xué)材開發(fā)過程中，研究團隊利用生活中的普通材料，如黃豆、蘋果、紙張、撲克牌、篩子、吸管等，結(jié)合日常生活中的常見事件，開發(fā)了諸如“可樂的‘甜蜜’真相、消費券中的數(shù)學(xué)問題、地圖中的秘密、可怕的病毒”等拓展教學(xué)內(nèi)容，促進了學(xué)生操作經(jīng)驗和思維經(jīng)驗的積累，讓學(xué)生在關(guān)系探索中學(xué)習(xí)、在邏輯梳理中思考、在主題探究中發(fā)展能力?；凇癐PS+”教材二次開發(fā)理念的拓展學(xué)材研發(fā)方式，可以作為一線教師進行相關(guān)內(nèi)容研發(fā)時可借鑒的一般流程和具體實施路徑。

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（浙江省杭州市拱墅區(qū)教育研究院? ? 310005）