巧用一題多解 鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維

馬貴生

摘 要：基于新課改的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。對(duì)此，教師要注重激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，創(chuàng)設(shè)鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的環(huán)境。文章以幾何圖形類問(wèn)題一題多解和字母參數(shù)型題型一題多解的教學(xué)為例，探究巧用一題多解，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的具體策略。在具體教學(xué)中，教師要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，構(gòu)建思考探究情境，實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題質(zhì)量的提升，同時(shí)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，做好引導(dǎo)和組織工作，并以一題多解為基礎(chǔ)，進(jìn)行科學(xué)合理的變式教學(xué)。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué);一題多解;數(shù)學(xué)思維;核心素養(yǎng);情境;思維品質(zhì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2022）05-0117-03

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于新課改的要求，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為教學(xué)總目標(biāo)，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成一定的品質(zhì)、能力和素養(yǎng)。在此過(guò)程中，學(xué)生與周圍環(huán)境進(jìn)行不斷的交流、溝通，學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的視角審視現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，思考現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。而一題多解就是這樣一個(gè)可以從不同角度思考問(wèn)題的教學(xué)情境，對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生可以找到不同的解答方案，而不同解答方案會(huì)涉及更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，這在無(wú)形中拓展了學(xué)生知識(shí)視野。另外，在比較多個(gè)解答方案的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)知、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系的認(rèn)知都會(huì)朝著更加縱深的方向發(fā)展，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到融會(huì)貫通的狀態(tài)。即學(xué)生通過(guò)一題多解，可以深度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，并實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效應(yīng)用。這就需要教師創(chuàng)設(shè)有利于鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的環(huán)境，不斷提高學(xué)生的分析問(wèn)題能力、解決問(wèn)題能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、一題多解在學(xué)生數(shù)學(xué)思維鍛煉中的效能價(jià)值

基于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要積極更新教學(xué)理念，優(yōu)化教學(xué)方法，應(yīng)用一題多解等教學(xué)策略不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。一題多解在學(xué)生數(shù)學(xué)思維鍛煉中的效能如下。（1）一題多解的題設(shè)情境可以進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的前提，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，一題多解題設(shè)的嵌入，可以夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)。（2）在一題多解的題設(shè)格局中，學(xué)生可以更好地理解基本模型，掌握解題方向，甚至可以使用建模思想去解決實(shí)際問(wèn)題，從而不斷提升解題能力。（3）一題多解的題設(shè)會(huì)呈現(xiàn)出多種不同的解法，而了解、比較不同解法的過(guò)程也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過(guò)程。（4）一題多解題設(shè)的巧妙滲透可以讓學(xué)生順利完成初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的過(guò)渡，即構(gòu)建一個(gè)銜接機(jī)制，這不僅鍛煉了學(xué)生的解題能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，還為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

二、巧用一題多解，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的具體應(yīng)用案例

1.關(guān)于幾何圖形類問(wèn)題的一題多解題設(shè)

幾何圖形的一題多解以求解圖形形狀或者位置不確定性的題目為研究對(duì)象，此類題目需要學(xué)生清楚符合條件的圖形有哪些可能性，對(duì)應(yīng)的位置如何，在此基礎(chǔ)上對(duì)圖形不確定的形狀或位置進(jìn)行分類探討。根據(jù)實(shí)際條件的探討可實(shí)現(xiàn)學(xué)生空間想象能力、畫圖能力的鍛煉，并由此進(jìn)入問(wèn)題解答環(huán)節(jié)。

例1：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F將對(duì)角線AC三等分，且AC=12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）。

對(duì)于上述題設(shè)，學(xué)生需要作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接對(duì)應(yīng)線段，此時(shí)就可以得出PE+PF=EF'，依照兩點(diǎn)之間線段最短的定理，可以得出PE+PF的取值處于最小的狀態(tài)。在這樣的情況下連接FF'，與CD相交于點(diǎn)G，在此基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)E做EH垂直于FF'，設(shè)定實(shí)際的垂足為H，此時(shí)就可以知曉：無(wú)論是△EHF，還是△CFG，它們都是等腰直角三角形。在得出這樣的判定結(jié)果之后，就可以得出EH=FH=FG=F'G=2，在基礎(chǔ)上可以對(duì)EF'的取值進(jìn)行界定，EF'===4，很明顯是小于9。

根據(jù)正方形對(duì)稱性的性質(zhì)，可以得知正方形ABCD的每條邊上都有一個(gè)點(diǎn)P，這個(gè)點(diǎn)P可以使PE+PF處于最小的狀態(tài)。在此情況下，實(shí)現(xiàn)DE的連接，就可以計(jì)算出DE+DF=4，很明顯大于9，也就是說(shuō)CE+CF=12，大于9，即點(diǎn)P位于B、D的時(shí)候，是大于9的狀態(tài)，如果點(diǎn)P位于A、C的狀態(tài)，PE+PF也大于9。由此可以推斷出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)是8，因此，正確的答案就是8。

例2：如圖2，在直線AP上方有一個(gè)正方形ABCD，∠PAD=30°，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧，與直線AP交于點(diǎn)A、M，分別以點(diǎn)A、M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接ED，則∠ADE的度數(shù)為 。

通過(guò)對(duì)上述題目的分析得出：因?yàn)椤螾AD=30°，以點(diǎn)B為圓心、AB為半徑作弧，與直線AP交于點(diǎn)A、M，所以∠BAM=60°，△BAM是等邊三角形;又分別以點(diǎn)A、M為圓心，以AM為半徑作弧，交點(diǎn)有兩種情況：①交點(diǎn)E在直線AP下方，由題意，△AME是等邊三角形，所以∠EAM=60°，∠DAE=30°+120°= 150°，又AD=AM=AE，所以∠ADE=∠AED=（180°- 150°）=15°;②交點(diǎn)E在直線AP上方時(shí)，點(diǎn)E與B重合，所以∠ADE=∠ADB=45°

2.關(guān)于字母參數(shù)型題型的一題多解題設(shè)

初中代數(shù)方程、函數(shù)的一些練習(xí)題目涉及字母參數(shù)問(wèn)題，在遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生要考慮全面，才能不斷提升學(xué)習(xí)實(shí)效。

例3：已知y=ax2+bx+c（a≠0），二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是（2，-1），且與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 。

在這道題中，基于二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是（2，-1），不妨設(shè)這道題的二次函數(shù)解析式為y=a（x-2）2-1（a≠0）。考慮到該二次函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是3，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3），把（0，3）代入y=a（x-2）2-1（a≠0），解得a=1，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）2-1，把（0，-3）代入y=a（x-2）2-1（a≠0），解得a=-，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-（x-2）2-1。

例4：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則一次函數(shù)的解析式為 。

基于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像過(guò)點(diǎn)（2，0），則2k+b=0，b=-2k，那么一次函數(shù)為y=kx-2k。令x=0，則y=-2k。由條件得函數(shù)圖像與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則×2 -2k =1，即 -2k =1，解得：k=±，那么一次函數(shù)的解析式為y=x-1或y=-x+1。

三、基于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的一題多解教學(xué)原則

從上述四個(gè)題設(shè)案例可見(jiàn)，在實(shí)際的一題多解題設(shè)情境中，學(xué)生需要?jiǎng)佑枚喾矫娴臄?shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，并且懂得合理融入分類探討思想，這樣才能進(jìn)入縝密的數(shù)學(xué)思維狀態(tài)中。為此，教師需要注意以下教學(xué)原則。

1.重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要將鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為重要的教學(xué)目標(biāo)之一，而這不是一蹴而就的，需要長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)教育教學(xué)滲透，并堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則，才能漸入佳境。一題多解的題設(shè)考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，因此可以作為日常鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要載體。數(shù)學(xué)教師在運(yùn)用一題多解題設(shè)的時(shí)候，要充分調(diào)研學(xué)情，確保各個(gè)層次的學(xué)生都能參與針對(duì)性的思維訓(xùn)練，從而讓一題多解與數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展實(shí)現(xiàn)積極融合。

2.實(shí)現(xiàn)解題質(zhì)量的提升，構(gòu)建思考探究情境

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，有的教師習(xí)慣性地采取題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在刷題的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)概念，鍛煉數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在此過(guò)程中，學(xué)生對(duì)題目越來(lái)越熟悉，看似解題能力在提升，實(shí)際上是在浪費(fèi)時(shí)間，這種教學(xué)方法不利于發(fā)展學(xué)生的整體數(shù)學(xué)思維能力。對(duì)此，教師可以一題多解為提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和自主思考能力的切入點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)具體的解題過(guò)程鍛煉數(shù)學(xué)思維，并進(jìn)入深度解題狀態(tài)中。另外，教師要引導(dǎo)學(xué)生在一題多解的過(guò)程中積極拓展解題思路，進(jìn)行靈活思考，從而形成個(gè)性化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，生成不同的答案，并在一種解題方法的基礎(chǔ)上尋找更多的解題方案，這樣可以不斷提高學(xué)生對(duì)相應(yīng)題設(shè)的解決能力，提升對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的交互思考能力。從這個(gè)角度分析，一題多解題設(shè)不僅可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，還可發(fā)揮學(xué)生的自主性，讓學(xué)生在高質(zhì)量的解題過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就感，繼而以更大的熱情進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

3.關(guān)注數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，做好引導(dǎo)和組織工作

在一題多解題設(shè)情境中，教師要積極發(fā)揮引導(dǎo)者和組織者的作用，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)發(fā)展。第一，在教育教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，使其清楚題設(shè)條件，找到其中隱含的條件，實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)能力的提升，而不是習(xí)慣性地以一種思路解決問(wèn)題。嘗試運(yùn)用不同的方法解決問(wèn)題才能夠有效鍛煉數(shù)學(xué)思維。第二，在激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，并將已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)合理融入進(jìn)去，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的有效銜接。第三，在一題多解的教育教學(xué)中，教師要注重發(fā)展學(xué)生的批判精神和能力。在設(shè)定一些專題的時(shí)候，可將錯(cuò)誤的解題思維融入進(jìn)去，引導(dǎo)學(xué)生反思為什么會(huì)出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的解題思路，讓學(xué)生更好地審視自己的數(shù)學(xué)解題思維，進(jìn)一步夯實(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，進(jìn)入理想的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)。

4.以一題多解為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理的科學(xué)變式

基于最近發(fā)展區(qū)的理論，教師要將學(xué)生已掌握的知識(shí)與新的變量融合起來(lái)，讓其進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，因此可將一題多解題設(shè)作為變式教學(xué)的重要路徑之一，尊重學(xué)生的發(fā)展規(guī)律，在學(xué)生現(xiàn)有水平和潛在發(fā)展水平之間做好平衡。需要注意的是，在變式教學(xué)過(guò)程中，教師不要設(shè)計(jì)太難的問(wèn)題，只有架構(gòu)合理的跳板，才能使學(xué)生更好地鍛煉自己的思維。教師要正確認(rèn)識(shí)一題多解變式教學(xué)在提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量中的效能，改變題海戰(zhàn)術(shù)的教學(xué)模式，注重激發(fā)學(xué)生的思維潛能，確保知識(shí)點(diǎn)的有效銜接，從而讓學(xué)生建立系統(tǒng)的知識(shí)框架。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過(guò)程中，教師也可以設(shè)定一些基礎(chǔ)性的題設(shè)，對(duì)學(xué)生曾解答的題目進(jìn)行合理變式，改變對(duì)應(yīng)的題設(shè)條件或者結(jié)論，讓學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，由此發(fā)揮一題多解的題設(shè)在思維鍛煉中的效能。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，基于新課改的要求，教師要將教育教學(xué)的焦點(diǎn)放在激發(fā)學(xué)生的自主性、發(fā)展學(xué)生的思維能力上，切實(shí)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育與數(shù)學(xué)教育教學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可將一題多解的題設(shè)情境作為培養(yǎng)學(xué)生思維能力、提升學(xué)生思維品質(zhì)的重要方式，對(duì)此，要樹立精細(xì)化的解題過(guò)程管理意識(shí)，充分發(fā)揮引導(dǎo)效能和組織效能。這就要求教師不斷反思一題多解的題設(shè)密碼，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以此構(gòu)建理想的數(shù)學(xué)教學(xué)格局和環(huán)境，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

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Skillfully Using Multiple Solutions to One Problem and Exercise Students' Mathematical Thinking

Ma Guisheng

（Jiaoyang Middle School， Shanghang County， Fujian Province， Shanghang 364204， China）

Abstract： Based on the requirements of the new curriculum reform， the focus of mathematics teaching is to improve students' core competence. In this regard， teachers should pay attention to stimulate students' subjective initiative and create an environment to exercise students' mathematical thinking ability. Taking the teaching of multiple solutions to one problem of geometry problems and one problem of letter parameter problems type as examples， this paper explores the specific strategies of skillfully using multiple solutions to one problem and training students' mathematical thinking. In specific teaching， teachers should pay attention to the development of students' mathematical thinking ability， build thinking and exploration situations， improve students' problem-solving quality， pay attention to the development of students' mathematical thinking quality， do a good job in guidance and organization， and carry out and scientific reasonable variant teaching based on multiple solutions to one problem.

Key words： junior middle school mathematics; multiple solutions to one problem; mathematical thinking; core competence; situation; thinking quality