對一個向量恒等式的反思

楊貴武

(廣東省深圳市高級中學 518040)

近年來，用向量研究三角形“五心”的文章比較多.而研究勃羅卡點，特別是生成向量恒等式的，卻很少.《數(shù)學通報》刊發(fā)的《一個奇妙的向量恒等式》[1]一文，介紹了下面恒等式，并加以證明，同時給出了該恒等式的若干應用.

圖1

如圖1，已知P是△ABC內(nèi)部一點,且滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，則稱α為勃羅卡角,點P為勃羅卡點，則有

文[1]證明上述恒等式用到兩個不常見的引理.能否不用引理，直接證明上述恒等式？另外，能否基于該恒等式，得到更多的結(jié)論.一直思考卻沒有突破,直到《數(shù)學通報》連載了張景中院士和彭翕成博士關于點幾何的論文[2～4]，讓筆者獲益匪淺，茅塞頓開.

簡單地說，可以將點幾何理解成向量的簡寫版本.

=(A-B)·(A-C).

于是

=(A-B)·(A-P)+(B-C)·(B-P)+(C-A)·(C-P)

=A2+B2+C2-A·B-B·C-C·A.

而

=(A-B)·(A-C)+(B-C)·(B-A)+(C-A)·(C-B)

=A2+B2+C2-A·B-B·C-C·A.

如果不習慣點幾何這種記號，也容易改成向量形式，即

下面給出該恒等式的幾點應用.

應用1如圖1，設點P是勃羅卡點，則cotα=cotA+cotB+cotC.

=2S△ABPcotα+2S△BCPcotα+2S△CAPcotα

=2cotα(S△ABP+S△BCP+S△CAP)

=2S△ABCcotα；

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

=2S△ABC(cotA+cotB+cotC)；

根據(jù)恒等式①可得

2S△ABCcotα=2S△ABC(cotA+cotB+cotC)，即cotα=cotA+cotB+cotC.

應用2如圖2，設點P是內(nèi)心，則

=(a+b+c)(cotA+cotB+cotC).

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得[5]

S△ABP:S△BCP:S△CAP:S△ABC=c:a:b:(a+b+c)，

結(jié)合恒等式①可得

=(a+b+c)(cotA+cotB+cotC).

圖2

圖3

應用3如圖3，設點P是垂心，則

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

=2S△ABPtanB+2S△BCPtanC+2S△CAPtanA；

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

根據(jù)垂心的性質(zhì)可得[5]

S△ABP:S△BCP:S△CAP:S△ABC

=tanC:tanA:tanB:(tanA+tanB+tanC)，

結(jié)合恒等式①可得

tanCtanB+tanAtanC+tanBtanA

=(tanA+tanB+tanC)(cotA+cotB+cotC)，

即 cotA+cotB+cotC

推出經(jīng)典恒等式

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.

圖4

應用4如圖4，設點P是外心，則2(sin2A+sin2B+sin2C)=(sin2A+sin2B+sin2C)(cotA+cotB+cotC).

=2S△ABCcotA+2S△ABCcotB+2S△ABCcotC，

根據(jù)外心的性質(zhì)可得[5]

S△ABP:S△BCP:S△CAP:S△ABC

=sin2C:sin2A:sin2B:(sin2A+sin2B+sin2C)，

結(jié)合恒等式①可得

tanAsin2A+tanBsin2B+tanCsin2C

=2(sin2A+sin2B+sin2C)

=(sin2A+sin2B+sin2C)(cotA+cotB+cotC).

應用2-4所得三角恒等式，雖然是在P取某些特殊位置時得到，但容易驗證，這些結(jié)論的成立與P無關，是恒等式.至此我們就從一個向量恒等式出發(fā)，探索得到了一些新的三角恒等式，完成了一次有意義的探索之旅.