一道概率問(wèn)題的多層次探究①

朱勝?gòu)?qiáng)

(南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 210008)

1 問(wèn)題的生成

概率教學(xué)時(shí)曾遇如下問(wèn)題:

題1汽車站每天均有三輛開往N市分為上、中、下等級(jí)的客車.某人在車站準(zhǔn)備乘車前往N市，但不知道客車的具體情況，也不知道發(fā)車順序.為了盡可能乘到上等車，他采取如下策略:先放過(guò)第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛.那么他乘到上等車的概率是多少?

表1

題2n個(gè)互不相等的數(shù)隨機(jī)排成一列，某人事先不知各數(shù)大小，順次逐個(gè)觀察，并從中選取一個(gè)數(shù)，不得回頭選取.為使取得的數(shù)最大，他采用如下策略：

先觀察前k個(gè)數(shù)，確定它們的最大值，再觀察其余的n-k個(gè)數(shù).一旦發(fā)現(xiàn)比前k個(gè)數(shù)中最大值大的數(shù)，即選取該數(shù)，否則選取最后一個(gè)數(shù).

問(wèn)：k取多少時(shí)取得最大數(shù)的概率最大？最大概率是多少？

2 多層次的探究

2.1 設(shè)計(jì)隨機(jī)試驗(yàn) 探求基本結(jié)論

學(xué)生容易想到的方法是從概率的定義入手.教材對(duì)于隨機(jī)事件的概率有如下定義：

一般地，對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來(lái)刻畫事件A發(fā)生的可能性大小，并把這個(gè)常數(shù)稱為事件A的概率.

不妨將問(wèn)題2中所說(shuō)的“取得最大數(shù)”記為事件A，當(dāng)k確定后，隨機(jī)事件A便是給定的.下面用GeoGebra模擬隨機(jī)試驗(yàn)，并對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析以探尋事件A發(fā)生的概率與k之間的聯(lián)系.為研究方便，取n=100，并將100個(gè)數(shù)記為1，2，3，…，100，它們的一個(gè)隨機(jī)排列用數(shù)列a1，a2，a3，…，a100表示.

取定正整數(shù)k(1≤k≤99)，可得兩個(gè)序列l(wèi)1:a1，a2，…，ak與l2:ak+1，ak+2，…，a100.

求出序列l(wèi)1中元素的最大值，記為M.

將序列l(wèi)2中的元素依次與M比較大小，并將ak+1，ak+2，…，a99中第一個(gè)大于M的元素記為a，若不存在這樣的a，則將a100記為a.若a=100，則事件A發(fā)生.

對(duì)于給定的k值，數(shù)1，2，3，…，100的任一隨機(jī)排列都對(duì)應(yīng)著一次隨機(jī)試驗(yàn)，一定量的隨機(jī)試驗(yàn)可確定事件A發(fā)生的頻率.改變k的取值，相應(yīng)的頻率便會(huì)發(fā)生變化，據(jù)此可估計(jì)出k取何值時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大.

上述隨機(jī)試驗(yàn)中的許多環(huán)節(jié)都可借助GeoGebra的固有操作功能來(lái)完成.如:

隨機(jī)排列(<列表>)，可以給出<列表>中所有元素的一個(gè)隨機(jī)排列.

提取(<列表>，<起始位置>，<終止位置>)，可以生成數(shù)列中任意兩項(xiàng)間所有項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù)列.

最大值(<數(shù)字列表>)，可以求出一個(gè)數(shù)列中的最大項(xiàng).

條件子列(<條件>，<變量>，<列表>)可以找出數(shù)列中滿足一定條件的所有項(xiàng).

如果(<條件>，<結(jié)果>，<否則>)可以根據(jù)給定條件，生成相應(yīng)的結(jié)果.

在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，為節(jié)省時(shí)間，還可采用批量實(shí)驗(yàn)操作.對(duì)確定的k值，一次性給出100個(gè)甚至更多的隨機(jī)排列的數(shù)列.

表2是針對(duì)每個(gè)k值分別進(jìn)行了200次隨機(jī)試驗(yàn)獲得的頻率值.可以看出，當(dāng)k很小或很大時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率值都比較小.當(dāng)k的值在20～60間時(shí)，頻率值相對(duì)較大.k與頻率之間的關(guān)系是否可以用數(shù)學(xué)模型作更精細(xì)的描述呢？

依據(jù)表2，以k為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的頻率為縱坐標(biāo)畫出散點(diǎn)圖(如圖1).這些點(diǎn)似乎在一條曲線附近擺動(dòng)，不妨選用多項(xiàng)式來(lái)擬合.

表2

圖1

分別用2次，3次，4次，5次，6次多項(xiàng)式擬合.并計(jì)算相應(yīng)的誤差平方和(如表3).

表3

可以看出，次數(shù)為2時(shí)的誤差平方和明顯較大.注意到不同次數(shù)曲線在自然平滑方面的差異，可選擇4次多項(xiàng)式作為擬合函數(shù).此時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)為:

f(x)=10-10(158x4+44876x3-5299992x2+236862449x+291392669).

由f(x)可求得其圖象上縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)為(36.1，0.378).這說(shuō)明，當(dāng)k=36時(shí)，頻率有最大值0.378.

上述各項(xiàng)操作也都可在GeoGebra中直接完成.如:

多項(xiàng)式擬合(<點(diǎn)列>，<多項(xiàng)式次數(shù)>)可以生成指定次數(shù)的多項(xiàng)式，并顯示出多項(xiàng)式函數(shù)的圖象.

誤差平方和(<點(diǎn)列>，<函數(shù)>)可以得到回歸模型的誤差平方和數(shù)值.

最大值(<函數(shù)>，，)可求得函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最大值.

試驗(yàn)結(jié)論表明，當(dāng)k取36時(shí)，事件A發(fā)生的概率最大，最大值為0.378.

當(dāng)然，這只是進(jìn)行200次隨機(jī)試驗(yàn)獲得的結(jié)論.如果將試驗(yàn)的次數(shù)增大，有可能得到更為精確的結(jié)論.

2.2 依據(jù)計(jì)數(shù)原理 探索一般規(guī)律

試驗(yàn)獲得的結(jié)果只是一種近似值.是否能得到k與A的概率間的一般規(guī)律呢？

由于隨機(jī)事件A與n個(gè)數(shù)的隨機(jī)排列相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)排列又是等可能的.因此可以考慮用古典概型來(lái)解釋.

n個(gè)不同的數(shù)排成一排，即為n個(gè)元素的全排列，共有n!個(gè)等可能的基本事件.下面考察事件A包含的基本事件數(shù).

“取得最大數(shù)”可以分為在k+1位，第k+2位，…，第n位取得最大數(shù).

若在第i(k+1≤i≤n)個(gè)位置取得最大數(shù)，則n數(shù)進(jìn)行排列時(shí)需滿足如下條件:

(1)第i個(gè)位置排n個(gè)數(shù)中的最大數(shù)；

(2)前i-1個(gè)位置上的最大數(shù)排在前k位.

滿足上述要求的排列個(gè)數(shù)可按如下方法求得:

第二步，將上一步中選出的i-1個(gè)數(shù)中最大數(shù)排在前k項(xiàng)中的某一項(xiàng)，有k種方法;

第三步，將上一步中剩下的i-2個(gè)數(shù)在前i-1項(xiàng)中余下的i-2個(gè)空位上作全排列，有(i-2)!種方法;

第四步，將剩下的n-i個(gè)數(shù)在第i+1到第n個(gè)位置上作全排列，有(n-i)!種方法.

所以，事件A包含的基本事件數(shù)為

由古典概型概率計(jì)算公式可知

若n=100，k=36，

前面得到的數(shù)據(jù)與此還是比較接近的.

是不是k=36時(shí)對(duì)應(yīng)的P(A)最大呢？

仍回到一般情形.

有f(k)>f(k-1)，此時(shí)數(shù)列{f(k)}單調(diào)遞增;

有f(k)

則g(k)隨著k的增大而減小.

若n≥3，則必有g(shù)(1)>1，g(n-1)<1.

因此，存在最大正整數(shù)k0使g(k0)≥1成立.此時(shí)有

f(1)f(k0+ 1)>…>f(n-1).

所以，f(k0)是f(k)的最大值.

因此，對(duì)于確定的n(n≥3)，滿足條件

的最大k值(記為k0)，可使P(A)取得最大值.

對(duì)于給定的n，借助電腦不難求得這樣的k0及對(duì)應(yīng)的P(A)(如表4).

表4

從表中可以看出，當(dāng)n= 3時(shí)，k0取1，此時(shí)P(A)取值0.5，這與上文計(jì)算結(jié)果吻合.當(dāng)n=100時(shí)，k0取37，這與試驗(yàn)結(jié)果略有偏差.

2.3 運(yùn)用極限思想揭示問(wèn)題本質(zhì)

根據(jù)g(k)的單調(diào)性，要找到使

成立的最大的正整數(shù)k0，

圖2

3 實(shí)踐后的思考

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)探究被賦予了“提升學(xué)生學(xué)科能力和素養(yǎng)”的重要使命.“問(wèn)題”是探究的載體，是活動(dòng)組織與設(shè)計(jì)的核心.本文中的問(wèn)題源于教學(xué)，是學(xué)生感興趣的問(wèn)題，是教學(xué)活動(dòng)中自然生成的問(wèn)題.這樣的問(wèn)題用于探究活動(dòng)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與參與度，提升活動(dòng)效果.因此，教師在教學(xué)中要有問(wèn)題意識(shí)，注意發(fā)掘與積累生成性的問(wèn)題資源.

有許多探究活動(dòng)僅局限于章節(jié)范圍內(nèi)的知識(shí)，一旦獲得結(jié)論，活動(dòng)便告結(jié)束.本文給出的探究問(wèn)題，在對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求上富有層次性，處于不同學(xué)習(xí)階段或不同水平層次上的學(xué)生都可展開相應(yīng)的研究.隨著數(shù)學(xué)能力的不斷提升，持續(xù)探究所獲得的認(rèn)識(shí)也會(huì)不斷深化.在“刷題”盛行，追求“快思”的今天，這樣的探究對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用“數(shù)學(xué)的思維思考世界”顯得尤為可貴.

信息化手段在探究過(guò)程中發(fā)揮了不可或缺的作用.如果沒(méi)有信息技術(shù)的幫助，大量重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)幾乎無(wú)法進(jìn)行，對(duì)收集得到的數(shù)據(jù)的分析也將困難重重，探究中一些猜想的驗(yàn)證也無(wú)法實(shí)施.所以，有效開展探究活動(dòng)，不可忽視信息技術(shù)因素的作用，教師需要不斷了解因信息技術(shù)進(jìn)步而引發(fā)的教學(xué)中的改變.