算術(shù)
——幾何均值不等式的一個(gè)隔離

馮文娟 郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 241000)

1 引言

本文的起源是《數(shù)學(xué)通報(bào)》每期問(wèn)題系列的問(wèn)題2564.

問(wèn)題2564[1]在△ABC中，設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則有

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年第10期刊登了問(wèn)題設(shè)計(jì)者提供的解答.[2]在尋求問(wèn)題的其他證明途徑時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)(1)式成立的條件無(wú)需a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，條件可以放寬為“a,b,c是正實(shí)數(shù)”，即有

定理1設(shè)a,b,c>0，則

(2)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)成立.

從項(xiàng)數(shù)與指數(shù)入手，(2)式可推廣為

定理2設(shè)ai>0(i=1,2,…,n)，則

(3)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.

2 引理與結(jié)論的證明

2.1 一個(gè)引理

為證明主要結(jié)論，先引入一個(gè)引理.

2.2 結(jié)論的證明

(3)式證明由引理知，對(duì)xi>0(i=1,2,…,n-1)，有

(4)

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn-1時(shí)成立.

(均值不等式)

(根據(jù)(4)式)

即

同理可得

……

將上述n個(gè)不等式相加，得

由均值不等式與(4)式等號(hào)成立的條件知，(3)式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.

(3)式得證.

在(3)式中，取n=3即得(2)式，所以(2)式成立.

3 討論

3.1 (1)式與(2)式等價(jià)

3.2 算術(shù)—幾何均值不等式的一個(gè)隔離

由二元均值不等式，有

≥a·bc+b·ca+c·ab=3abc.

于是，我們得到三元算術(shù)—幾何均值不等式的一個(gè)隔離.

定理3設(shè)a,b,c>0，則

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)成立.

同理，可以得到n元算術(shù)—幾何均值不等式的一個(gè)隔離.

定理4設(shè)ai>0(i=1,2,…,n)，則

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.