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    數(shù)學(xué)問題解答

    2021-12-23 09:45:50
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年10期
    關(guān)鍵詞:外心準(zhǔn)線外接圓

    2021年9月號(hào)問題解答

    (解答由問題提供人給出)

    (山西省臨縣一中 李有貴 033200)

    2622如圖,四邊形ABOC中,AB=AC,OB=BC=CO,∠A=80°,點(diǎn)M在BC上,滿足∠CAM=20°.以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓交AM于Q,求證∠QBC=10°.

    (湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

    證明顯然⊙O與線段AM的交點(diǎn)Q唯一存在,且∠BQC=150°.

    下面用同一法證明結(jié)論.

    在線段AM上取點(diǎn)Q1,Q2,使

    ∠BCQ1=20°,∠CBQ2=10°,

    由已知可得∠ABC=∠ACB=50°.

    設(shè)△ABC的外接圓直徑為1,

    由正弦定理

    BC=sin80°,AB=AC=sin50°.

    而BC=BM+MC=sin80°,

    在△AMC和△ABM中,由面積關(guān)系可得

    ?sin30°sin60°sin10°=sin220°sin40°

    再由Q的唯一性即得Q′與Q重合,

    所以∠QBC=10°.

    2623設(shè)a≥b≥c≥0,a+b+c=3,求證:

    (陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

    證明因?yàn)閍≥b≥c≥0,

    所以(a-b)(b-c)(a-c)≥0,

    即a2b+b2c+c2a≥ab2+bc2+ca2.

    于是,結(jié)合舒爾不等式

    a3+b3+c3+3abc

    ≥a2b+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2,

    得a3+b3+c3+3abc≥2(ab2+bc2+ca2).

    從而27=(a+b+c)3

    =a3+b3+c3+6abc+3(a2b+b2c+c2a)+

    3(ab2+bc2+ca2)

    ≥a3+b3+c3+6abc+6(ab2+bc2+ca2)

    ≥3abc+8(ab2+bc2+ca2),

    2624在Rt△ABC中,點(diǎn)D為直角邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在斜邊AB上且滿足AE=CD,點(diǎn)F為線段ED的中點(diǎn),證明:∠CAF= ∠DEB.

    (河南輝縣一中 賀基軍 453600)

    證明如圖,延長(zhǎng)AF到點(diǎn)H,且使FH=AF,在線段EB上截取EG=AE,連接HB,HC,HD,HE,HG和AD.由AF=FH,EF=FD知四邊形ADHE為平行四邊形,由EG=AE=DH知四邊形EDHG為平行四邊形,由DH=AE=CD=DB知△BCH為直角三角形.設(shè)∠BCH=θ.

    由AB∥DH得∠ABD=∠BDH= 2θ,

    由∠BHC= 90° 得∠CBH= 90° -θ,

    因此 ∠ABH= 2θ+ (90° -θ)

    =90° +θ= ∠ACH.

    設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,HB=m,HC=n.在△ACH中,

    AH2=AC2+CH2-2AC·CH·cos∠ACH

    另一方面,在△ABH中,

    b2=c2-a2,n2=a2-m2代入上式得

    因c-a=AB-CB=AB-AG=GB,

    從而可知 △ACH∽△GBH,

    于是 ∠CAF=∠BGH=∠DEB.

    (安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)

    解易知

    且 sinA+sinB+sinC

    2021年10月號(hào)問題

    (來稿請(qǐng)注明出處——編者)

    2626如圖,D、E、F分別是三角形ABC三邊(或延長(zhǎng)線)上的點(diǎn),滿足∠ADC=∠BEA=∠CFB,直線AD、BE、CF兩兩交于點(diǎn)L、M、K,點(diǎn)H是△ABC的垂心. 求證:點(diǎn)H是△LMK的外心.

    (浙江省慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華漫天 315300)

    2627在△ABC中,已知外心為O,內(nèi)心為I,旁心分別為Ia,Ib,Ic,R為外接圓半徑,求證:

    (1)

    (河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

    2628已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足

    (浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué)張艷宗 314300;北京航空航天大學(xué)圖書館 宋慶 100191)

    2629設(shè)雙曲線C的兩焦點(diǎn)為F1、F2,兩準(zhǔn)線為l1、l2,過雙曲線上一點(diǎn)P,作平行于F1F2的直線,分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2,直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q,則:P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

    (江西省都昌縣第一中學(xué) 劉南山 332600)

    2630在ABCD中,M為對(duì)角線AC的中點(diǎn),E、F分別在邊AB、BC上,滿足∠EMA=∠FMC=∠ADC,O1、O2、O3、O4分別為△EMA、△EBF、△FMC、△ADC的外心.

    求證:四邊形O1O2O3O4是平行四邊形.

    (陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)

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