高中基本不等式研究的回顧與展望①
——基于中國知網(wǎng)中文核心期刊②文獻的統(tǒng)計分析

于曉宇 李春蘭

(內蒙古師范大學數(shù)學科學學院 010022)

1 前言

基本不等式聯(lián)系著代數(shù)和幾何中的兩個基本量——算術中項、幾何中項，涉及數(shù)學的基本運算(加法、乘法、除法、開方)，還具有以下特點.首先，基本不等式的證明方法層出不窮.“AG不等式(1)算術-幾何平均值不等式，又名AG不等式.各種不同的證法一直是人們研究的一個熱點……事實上至今已有上百種不同的證明方法.”[3]其次，基本不等式的應用十分廣泛，尤其在求最值的問題中，且在其他很多學科中都有不可或缺的作用.1986年的《全日制中學數(shù)學教學大綱》首次要求學生掌握二元和三元的算術-幾何平均值不等式，《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》(2004年版)必修教科書只要求學生掌握二元形式，即基本不等式，將三元和多元的算術-幾何平均值不等式編排在了選修中.雖然基本不等式出現(xiàn)在教學大綱中的時間偏晚，但其涵義——“和定積最大”，卻早在1952年就已經(jīng)出現(xiàn)在我國的教科書中了.

綜上，基本不等式的重要性可見一斑.因此很有必要對以往高中基本不等式的研究文獻進行系統(tǒng)的統(tǒng)計梳理與研究，總結研究取得的成果，展望可能的研究方向，為高中基本不等式的教學與研究提供借鑒與思考.

2 研究設計

2.1 數(shù)據(jù)采集

要回顧高中基本不等式研究的發(fā)展歷程并展望其發(fā)展，以核心期刊中有關高中基本不等式的研究文獻作為研究對象，應是可靠的數(shù)據(jù)來源.正如葉繼元所言：“核心期刊是本學科中刊載專業(yè)論文量大，引用率高，代表該學科領域發(fā)展水平的少數(shù)期刊.”[4]考慮到核心期刊會不斷更新，為了保證研究的可靠性，主要采取人工篩選的方式進行文獻檢索.

研究過程中使用中國知網(wǎng)進行文獻檢索，在高級檢索條件下，篇名或關鍵詞分別選擇“基本不等式”“均值不等式”“均值定理”“平均值不等式”，期刊范圍選擇“核心期刊”；普通檢索條件下，篇名分別設置為上述4類，將得到的文獻進行人工篩選.截止到2020年12月22日，兩種檢索方式共篩選出115篇發(fā)表在核心期刊上的基本不等式研究文獻.然后泛讀所有搜集到的文獻，剔除高等數(shù)學范圍內，以及非高中階段要求掌握的基本不等式(算術-幾何平均值不等式)的研究文獻，得到61篇高中基本不等式研究論文.

2.2 研究方法

借鑒牛偉強[5](2017)和陸珺[6](2019)等人文獻分析的維度、參考朱立明[7]文獻述評的特點，并結合本研究具體情況，將分析維度劃分為年代分布、期刊分布、作者情況、研究類型和研究內容五個方面.將61篇文獻編碼便于統(tǒng)計和查找，再次泛讀文獻，按照分析維度記錄相關內容.兩輪泛讀之后，有34篇精讀文獻被納入文獻研究范疇.

首先，使用內容分析法對61篇文獻的內容進行客觀、系統(tǒng)和量化的描述，用直觀的圖表展現(xiàn)高中基本不等式研究相關維度的變化歷程.其次，使用文獻研究法，對兩輪泛讀后確定的34篇精讀文獻進行分析和整理，進一步掌握前人已取得的研究成果以及現(xiàn)行的研究狀況等.最后，分析和展望高中基本不等式研究的發(fā)展方向.

3 結果與發(fā)現(xiàn)

3.1 年代分布

分析文獻的年代分布不僅能從宏觀上回顧某一研究的文獻分布情況，還能從圖表中了解其動態(tài)的變化趨勢.對搜集到的61篇文獻進行年份統(tǒng)計(如圖1).

圖1 發(fā)文篇數(shù)年代分布

由圖1發(fā)現(xiàn)高中基本不等式研究文獻發(fā)表的時間范圍為1992—2020年，時間跨度達30年，不少年份發(fā)文數(shù)量為0篇，年均發(fā)文量只有2篇，可見高中基本不等式研究年均發(fā)文量很低.根據(jù)圖1，1992—2020年間發(fā)文量明顯的增長發(fā)力點位于1993年，這應該與1993年的高考數(shù)學試卷中編排了一道利用基本不等式求函數(shù)最值的題目不無關系，在1995年達到峰值，但峰值也只有9篇，之后驟降，只有2000年發(fā)文數(shù)量超過5篇，2010—2014年連續(xù)5年的發(fā)文總量只有2篇，可謂是高中基本不等式研究的冰凍期.

3.2 期刊分布

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)61篇高中基本不等式研究文獻分布在9種核心期刊(見表1)，其中僅2篇來自CSSCI來源期刊(含拓展版)(2)《數(shù)學教育學報》在2014年成為CSSCI擴展版來源.因此2009年發(fā)表在《數(shù)學教育學報》的1篇文章并不是來自CSSCI來源期刊(含拓展版)..發(fā)文量最多的是《數(shù)學通報》，其次是《數(shù)學通訊》和《中學數(shù)學》.表1中前3種期刊共發(fā)文51篇(83.61%)，可見這3種期刊是高中基本不等式研究的主要發(fā)文核心刊物.

表1 高中基本不等式研究期刊分布

3.3 作者情況

作者的學術水平是文獻研究水平的主要決定因素之一.從第一作者的機構、地區(qū)和合作情況三個角度分別對高中基本不等式研究的61篇文獻進行統(tǒng)計.

3.3.1 作者機構分布

按第一作者單位對研究文獻進行統(tǒng)計(見表2). 由表2可知，高中基本不等式研究文獻的主要發(fā)文機構為中學校，發(fā)文量達47篇(77.05%).相比之下，高等院校發(fā)文較為零散，其中只有2所“211”“985”高校，各發(fā)文1篇.可見，中學教師是研究的主要力量，而高校教師卻較少參與到基本不等式的研究中.

表2 高中基本不等式研究機構分布

3.3.2 作者地區(qū)分布

按第一作者所在行政區(qū)對研究文獻進行統(tǒng)計(見表3).共涉及21個省、直轄市，文獻產(chǎn)量從9篇到1篇不等，我國5個少數(shù)民族自治區(qū)中只有廣西壯族自治區(qū)包含1篇文章.將表3的結果按東、中、西部的三大地理區(qū)域進行劃分(見表4)，發(fā)現(xiàn)來自東部發(fā)達地區(qū)的文獻共有37篇(60.66%)，而來自西部經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)的文獻數(shù)量最少，只有8篇(13.11%).可見教育研究人員的科研成果和方向在一定程度上受該地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平影響.

表3 第一作者行政區(qū)分布

表4 第一作者地理區(qū)域分布

3.3.3 作者合作情況

高中基本不等式研究以個人獨立研究為主，合作研究較少(見表5).有49篇文獻為作者獨作(80.33%)，合作的文獻只有12篇(19.67%). 在合作研究的12篇文獻中，從作者身份來看，中學教師合作的有8篇(66.67%)，高校教師合作的有4篇(33.33%)，并未發(fā)現(xiàn)有高校教師與中學教師合作的文獻.從作者工作單位來看，校內合作、跨校合作分別有6篇，在跨校合作中，有3篇是跨省合作，既包括中學教師的跨省合作，也包括高校教師的跨省合作.

表5 高中基本不等式作者合作情況

3.4 研究類型

將61篇文獻中涉及到的研究類型分為思辨研究、實證研究、歷史研究和案例研究，并進行整理和統(tǒng)計(見表6).

由表6可知，高中基本不等式研究文獻的研究類型主要以思辨研究為主，共有51篇文獻(83.61%)，而實證研究、歷史研究和案例研究的占比較小，說明有關高中基本不等式的研究類型較為單一，使用實證研究、歷史研究和案例研究等類型的文獻也很匱乏.

表6 高中基本不等式研究類型

對涉及到的研究類型按年代再進行整理(如圖2)，在2008年以前，有關高中基本不等式研究文獻的類型以思辨研究為主，1992—2008年間發(fā)表在核心期刊上的高中基本不等式研究文獻共48篇，其中2篇分別是歷史研究和案例研究，其余均為思辨研究.2009—2020年間共發(fā)表13篇文獻，其中8篇文獻采用了思辨研究之外的研究類型，并且在這期間還新增了實證研究的類型.從2009年開始，研究類型逐漸多樣化，可見，學者們越發(fā)地關注到了基本不等式的價值所在.

圖2 研究類型年代分布

3.5 研究內容

3.5.1 內容分析結果統(tǒng)計

對搜集到的61篇文獻進行系統(tǒng)的梳理和分析，發(fā)現(xiàn)關于高中基本不等式的研究主要集中在四個方面，按年份將研究內容整理(見表7).基本不等式的應用研究可謂是最“熱”的研究話題，數(shù)量占到總文獻的60.66%；其次是基本不等式的教學(19.67%)、證明(13.12%)及認識角度(6.55%)的研究.

表7 研究內容分布

高中基本不等式的應用又可以細分為5類，其中文獻數(shù)量最多的3類是用基本不等式求最值(19.67%)、解決多種問題(14.75%)和證明不等式(14.75%)，總和已經(jīng)接近文獻總數(shù)的一半.最后按統(tǒng)計結果可以籠統(tǒng)地將9類研究內容分為3個數(shù)量層級.第1層級是10篇及以上，包括用基本不等式求最值和教學研究；第2層級是6-9篇，包含用基本不等式證明不等式、解決多種問題和非歷史角度證明研究；第3層級是1-5篇，包括用基本不等式解決實際問題和錯解研究、基本不等式的認識角度研究和歷史角度證明研究.因此，研究人員更加關注的是利用基本不等式求最值和基本不等式的教學，而根據(jù)研究內容的年代分布圖(如圖3)可以看出，基本不等式的教學研究在最近幾年引發(fā)了一波熱度，從2015年開始，幾乎每年都有學者從教學角度研究基本不等式.而應用研究似乎已經(jīng)達到飽和，從2009年開始便一直處于低潮期.基本不等式的證明方法雖然多種多樣，但是一直并未引起足夠的關注.

圖3 研究內容的年代分布

3.5.2 文獻研究述評

(1)基本不等式的應用研究

基本不等式的應用是學者們偏愛的研究主題，相關研究文獻數(shù)量有37篇(60.66%)，達到文獻總數(shù)的一半以上.一方面，學者們利用基本不等式證明其他不等式，其中包括著名不等式——貝努利不等式(譚登林，1993)和數(shù)學競賽中的不等式證明(劉祖希，2003等)等經(jīng)典題目.

另一方面，基本不等式還是解決最值問題的有力工具.關于求函數(shù)最值，多數(shù)學者都是將所求最值函數(shù)進行一定的變形(畢明黎，1996等)，再巧妙運用基本不等式求得最值.還有學者從基本不等式本身出發(fā)，如巧妙設置帶參數(shù)的基本不等式(鄧光發(fā)，1998)等方法來求得函數(shù)最值.除了求函數(shù)最值，基本不等式也能求圓錐體積的最大值(楊志明，2003)、解決許多實際應用問題(趙存善，2003等).

上述證明和求解等問題都是學者們單獨在某篇文章中進行討論的，也有很多學者在一篇文章中同時討論幾類基本不等式的應用問題(明知白，1995等).這些問題多數(shù)來自教科書中題目改編、高考題、數(shù)學競賽問題和實際問題等，題目類型也十分多樣.除此之外，部分學者(陳東升，2008等)則是討論了基本不等式的錯解，以指出錯因并改正.

從這些文獻中可以發(fā)現(xiàn)，基本不等式的應用的確十分廣泛，并不局限于證明不等式和求最值的問題中，學者們用開闊的思維，為我們展現(xiàn)出了一個華麗的基本不等式應用的舞臺，讓基本不等式自由地徜徉于數(shù)學的海洋中.

(2)基本不等式的證明研究

基本不等式的證明一直是數(shù)學家們感興趣的研究內容之一，幾何證明方法也滲透著數(shù)形結合的思想.整理發(fā)現(xiàn)有關基本不等式證明的文獻有8篇(13.12%).賀賢孝(1995)和沈金興(2016)都站在歷史的角度論述了基本不等式的證明方法，但二者論述角度略有不同.賀賢孝只是總結了數(shù)學家曾證明基本不等式的方法，沈金興卻站在巨人的肩膀上，修改或借鑒前人的證明方法，目的是為了使其更適合課堂教學.不得不說，證明方法“花樣百出”是基本不等式的一大亮點.除了借鑒前人的證明方法，很多學者也通過自己的思考探索出了多種基本不等式的證明方法，例如，劉會豐(2008)以“構造法”為線索，探索出了如構造二次方程、構造函數(shù)、構造圖形等證明基本不等式的方法.

(3)基本不等式的教學研究

有關基本不等式教學研究的文獻有12篇(19.67%)，都是以基本不等式為例來探討教學中的其他問題.這部分文獻的研究類型相比于前兩類研究較為多樣，包含了思辨研究、案例研究和實證研究三種.

采用實證研究類型的文獻有3篇，張偉平(2009)從基本不等式中的“等號”出發(fā)，以大一新生為實證研究對象，調查了學生對等價思想的認識；黃婭(2016)從教師知識掌握的角度出發(fā)，針對“基本不等式”內容，對教師的“面向教學的數(shù)學知識(MKT)”進行了問卷調查和訪談；張令偉(2018)等將高三學生作為被試對象，探討了基本不等式問題特征的不同相似關系對解題遷移的影響.

采用案例研究類型的文獻有4篇，李正池(1997)和蔡欣(2015)記錄了自己講授 “基本不等式”的一節(jié)課.張蜀青(2015)則是記錄了三節(jié)分別由兩名中學教師和一名大學教師講授的基本不等式公開課，通過“同課異構”，分析了中學教師與大學教師不同的講授方法和其中暗含的教育理念.吳佐慧(2020)從HPM的新穎視角出發(fā)，通過數(shù)學史微視頻以及探究活動等對基本不等式的教學進行了一次嘗試.

其余文獻均為思辨研究，以基本不等式教學為例探討了教學中例如怎樣培養(yǎng)靈感(李德欽，2001)、如何在教學中踐行“三個理解”(陳義明，2017)、如何進行變式教學(鐘志華，2019)等問題.其中余小芬(2018)以基本不等式一節(jié)為例，給出了創(chuàng)造性使用教科書的幾種思路，并倡導讀者大膽地對教科書進行二次開發(fā).

從以上文獻可以看出，有關基本不等式的教學研究，不論是從研究內容還是研究類型來看，都展現(xiàn)出了更加千姿百態(tài)的形式.

(4)基本不等式認識角度的研究

基本不等式結合了數(shù)學中的兩個基本量——算術平均值和幾何平均值，雖然看似結構簡單，但卻蘊含著十分豐富的內容.這類文獻共有4篇(6.55%)，學者們雖然并未對基本不等式進行嚴格證明，卻用別具一格的視角，帶領讀者重新認識基本不等式.其中幾何視角占領更廣闊的位置.例如，徐章韜(2004)和汪曉勤(2015)都是從幾何方法入手，而汪曉勤則是從勾股容方圖出發(fā)，得到了探究基本不等式的幾何方法，同時啟示讀者：帶著HPM的眼光去閱讀數(shù)學歷史文獻能夠為教學甚至我們的思想帶來鮮活的養(yǎng)料.方亞斌(2013)從代數(shù)、方程、統(tǒng)計、向量等9個視角來認識基本不等式，視角更加多元和豐富.

4 反思與展望

縱觀1992—2020年高中基本不等式研究，以時間為線索，研究內容和研究類型逐漸多元化.一方面，2008年以前的研究大多集中于基本不等式的應用，研究類型主要以思辨研究為主，從2009年開始，有關基本不等式的教學研究增多，研究類型更加多樣.另一方面，早期的研究作者以中學教師為主，但近年來高校研究者也陸續(xù)參與到基本不等式的研究中.總之，有關高中基本不等式的研究持續(xù)時間久，研究內容、研究類型和合作情況等都表現(xiàn)出向好的態(tài)勢，取得了一定的研究成果，但年均發(fā)文量卻非常低，仍有很多問題值得關注.

4.1 現(xiàn)有研究的不足

首先，高中基本不等式研究論文的數(shù)量有待提升，研究類型有待豐富.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)高中基本不等式的年均發(fā)文量只有2篇，發(fā)表在CSSCI來源(含擴展版)期刊上的文獻更是屈指可數(shù)，可見高中基本不等式還應該受到學者的更多關注.另外，雖然近年來文獻的研究類型趨于多樣化，但現(xiàn)有的文獻類型主要還是以思辨研究為主，占全部文獻的83.61%，因此在研究類型的選擇和應用上還有待豐富和加強.

其次，高中基本不等式研究人員地區(qū)、機構分布不均衡且缺乏合作.研究人員大多來自東部經(jīng)濟發(fā)達地區(qū)，而中西部地區(qū)的研究成果卻嚴重偏低，且中學教師是高中基本不等式研究的主力軍.高等院校研究人員學術水平更高，無論是研究能力還是在研究方法的運用上都要更加專業(yè)，而中學教師又是教學的第一實踐者，針對教學實踐最有發(fā)言權.但目前高校研究人員與中學教師的合作還是個缺口.

最后，高中基本不等式研究內容關注程度不平衡.在搜集到的61篇文獻當中，有37篇關于基本不等式的應用研究，占全部文獻的60.66%，且研究重復率較高，許多研究成果只是“換湯不換藥”.基本不等式的證明方法涉及幾何代數(shù)等多個方面，具有重要的研究價值，但基本不等式的證明、教學等其他研究內容受到的關注度卻偏低.

4.2 未來研究的展望

第一，注重基本不等式教學的實證和案例研究.基本不等式結構簡單，但證明方法多樣，不僅在中學數(shù)學證明不等式和求最值問題上應用廣泛，還在高等數(shù)學的求極限、證明積分不等式方面發(fā)揮著獨特的作用.因此基本不等式具有十分重要的教學價值，那么如何教學才能讓學生在后續(xù)學習中將基本不等式的內容做到融會貫通？甚至為將來選擇理工科、學習高等數(shù)學的學生奠定基礎？這些問題仍值得探討.未來的研究應以此為著眼點，注重基本不等式的實證和案例研究，將基本不等式的教育價值最大程度地發(fā)揮出來.

第二，加強基本不等式的教科書研究.“教材的編寫與研究是教材建設工作相互聯(lián)系的兩個方面，前者為后者提供素材并展現(xiàn)其成果和水平，后者則為前者提供科學基礎昭示其改進方向.”[8]一直以來，國內各版本、國內外不同版本教科書內容的比較研究都十分盛行，但基本不等式相關內容的教科書研究還未全面展開.據(jù)一線教師反饋，雖然基本不等式在教科書中所占比例非常小，但卻是高中數(shù)學學習不可替代的重要內容之一.針對教科書對基本不等式的編排設置，有的教師認為其必修和選修內容設置重復，有的雖認為教科書的設置較為合理，但建議教學要切忌照本宣科.同時，以人教A版高中數(shù)學教科書為例，歷年各套教科書對基本不等式的設置編排也經(jīng)歷著一定的變化，其中緣由還應深入研究.因此基本不等式在教科書中的安排設置研究是很有必要的，不僅能夠為教科書編寫提供參考，還能為一線教學帶來啟示.

第三，重視基本不等式的HPM研究.基本不等式不僅是高中數(shù)學的重要內容之一，其多元形式——算術-幾何平均值不等式更是高等數(shù)學中的一塊奠基石，而有關基本不等式的HPM研究卻寥寥無幾，其中汪曉勤教授和其團隊貢獻了更多的力量.“數(shù)學的歷史是一座寶藏，從中可以發(fā)掘出取之不盡、用之不竭的教學資源.”[9]從歷史中可以獲得基本不等式多樣的證明方法，還能將其他數(shù)學歷史資源與基本不等式相聯(lián)系，就如人教A版高中數(shù)學教科書就將趙爽弦圖與基本不等式相聯(lián)系，可見依然還有豐富的有關基本不等式的HPM資源等待挖掘.HPM研究不僅能豐富課堂教學，還能使學生樂學、好學，讓原本看上去冰冷的基本不等式發(fā)揮獨特的教育價值，為素質教育和立德樹人提供良好的實施契機.