如何讓高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)事半功倍

劉書霞

【摘要】要科學(xué)有效地進行高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)，需要教師對《考試說明》《高考大綱》理解深透、研究深入、把握到位.教師的講解、學(xué)生的練習(xí)體現(xiàn)階段性、層次性和漸進性，做到減少重復(fù)、重點突出，讓大部分學(xué)生學(xué)有新意、學(xué)有收獲、學(xué)有發(fā)展.知識講解和練習(xí)檢測的內(nèi)容要具有科學(xué)性和針對性，概念清晰，查漏補缺，使學(xué)生形成系統(tǒng)化和條理化.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；設(shè)點；設(shè)斜率；定點；定值

有人說：“高中是一本太匆促的書，在不知不覺之間，三年的時光，一千多頁就會這樣匆匆翻過.”高三的時光更是尤顯短而快，而高三的學(xué)生對數(shù)學(xué)充滿了敬畏的心，會花很多的時間，但效果很不明顯.高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)面廣、量大、時間緊，如何科學(xué)有效地進行高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，是每一位教師值得深思的問題.這里我就高三二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)，以解析幾何的課堂復(fù)習(xí)為背景進行探討.（筆者所帶的班級是全年級理科最好的班級，本節(jié)課是鎮(zhèn)江丹徒中學(xué)全體數(shù)學(xué)教師來學(xué)習(xí)交流的一節(jié)課）

課堂鈴聲響起時，我找了成績在班級中等的三名學(xué)生到黑板上板書，題目如下：

設(shè)A，B分別為x21a2+y21b2=1（a>b>0）的左右頂點，1，312為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距.

（1）求橢圓的方程；

（2）在準(zhǔn)線上任取點P（異于準(zhǔn)線與x軸的交點），若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，求證∠PBM為銳角.

生甲：（1）x214+y213=1；

（2）設(shè)M（x1，y1）準(zhǔn)線方程l：x=a21c=4，設(shè)P（4，t），A（-2，0），則AP：y=t16（x+2），聯(lián)立y=t16（x+2），

x214+y213=1，

得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0.

由韋達定理得-2+x1=-4t21t2+27，

解得x1=54-2t21t2+27，y1=t16（x1+2）=18t1t2+27，

故M54-2t21t2+27，18t1t2+27.

同理可得N2t2-61t2+3，-6t1t2+3，

故有BM=-4t21t2+27，18t1t2+27，BN=-121t2+3，-6t1t2+3，

BM·BN=-4t21t2+27·-121t2+3+18t1t2+27·-6t1t2+3=-60t21（t2+27）（t2+3）<0，故有∠PBM為銳角.

生乙：（1）x214+y213=1；

（2）設(shè)M（x1，y1）準(zhǔn)線方程l：x=a21c=4，設(shè)P（4，t），A（-2，0），則AP：y=t16（x+2），聯(lián)立y=t16（x+2），

x214+y213=1，

得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0.

由韋達定理得-2+x1=-4t21t2+27，

解得x1=54-2t21t2+27，y1=t16（x1+2）=18t1t2+27，

故M54-2t21t2+27，18t1t2+27，故有BP=4+t2，

BM=54-2t21t2+27-22+18t1t2+272，

MP=54-2t21t2+27-42+18t1t2+27-t2.

但這名學(xué)生沒能繼續(xù)進行下去.

生丙：（1）x214+y213=1；

（2）由題意知直線AP的斜率一定存在，故設(shè)直線AP：y=k（x+2），聯(lián)立y=k（x+2），

x214+y213=1，

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0.

設(shè)M（x1，y1），由韋達定理得-2+x1=-16k213+4k2，

解得x1=6-8k213+4k2，y1=k（x1+2）=1213+4k2，

故有M6-8k213+4k2，1213+4k2，

聯(lián)立y=k（x+2），

x=4， 解得P（4，6k）.

故有BP=（2，6k），BM=-16k213+4k2，1213+4k2，

BP·BM=2·-16k213+4k2+6k·1213+4k2<0，

故有∠PBM為銳角.

學(xué)生大概花了十分鐘左右就完成了題目的解答，回到了座位上.這時我就拿到了題目與學(xué)生進行分析.

第（1）問是基本量的計算，沒有什么大的問題，足夠細心就可以解決.第（2）問要證明“∠PBM為銳角”，這一問法是不是可以換成別的問法，最后題目的本質(zhì)或解法不發(fā)生變化.學(xué)生就踴躍站起來說出了自己的看法，如，B在以MP為直徑的圓外；延長PB交橢圓于E，則∠MBE為鈍角；B在以ME為直徑的圓內(nèi).目的是培養(yǎng)學(xué)生自己在深刻理解題意后，學(xué)會改編題目，培養(yǎng)自己出題的能力.要證明“∠PBM為銳角”，生乙處理的方法有些不同，生乙想求出BP，PM，BM三邊長，利用余弦定理來解決的，但是沒有進行下去，主要還是計算能力不過關(guān)，不夠自信，導(dǎo)致最后失敗，生甲和生丙將∠PBM為銳角轉(zhuǎn)化為BM，BP的夾角為銳角的情況，計算量相對于乙要小一些，最后都證明出來了.但在具體處理的過程中甲和丙還是有區(qū)別的，甲設(shè)點，但是請學(xué)生們思考一下有沒有更好的設(shè)法，這時立馬有生丁提出設(shè)M更好，理由：設(shè)M可以避免直線與橢圓聯(lián)立求點，而直接是直線和直線聯(lián)立求P.“很好！”我?guī)ь^讓學(xué)生們?yōu)樗恼?然后我投影了該學(xué)生的解題過程.

生?。海?）x214+y213=1；

（2）設(shè)M（x0，y0），因為點M在橢圓上，

所以有y20=314（4-x20）.（1）

又因為點M異于頂點A，B，所以有-2

聯(lián)立y=y01x0+2（x+2），

x=4， 解得P4，6y01x0+2，

則有BM=（x0-2，y0），BP=2，6y01x0+2，

BP·BM=2x0-4+6y201x0+2.（2）

將（1）式代入（2）式化簡得BP·BM=512（2-x0）.

又因為-20，

故有∠PBM為銳角.

看完了投影，全體學(xué)生為生丁鼓掌.所以，在課堂上我們要引導(dǎo)學(xué)生去思考、去探索、去比較不同的設(shè)法和解法，從中體會解法的優(yōu)劣，不斷地積累自己所需要的方法.下面我又將題目的條件不變，問題改了一下，來講解解析幾何里的定點、定值問題.

變式1kMB·kPB是否為定值，若是，求出該定值，若不是，求出其取值范圍.

變式2延長PB交橢圓于N，直線MN是否過某定點.

變式3延長MB交準(zhǔn)線于Q，求證以PQ為直徑的圓過定點.

將班級學(xué)生分成三個小組，每組給出十分鐘的時間做各自小組的題，然后由各自小組代表上臺進行講解和展示.

第一組的成員：我們第一感覺就發(fā)現(xiàn)在橢圓中有結(jié)論kMA·kMB=-114，但在證明該題為定值時，同組成員有設(shè)斜率也有設(shè)點的，都能很快解決.最后結(jié)合kMA·kMB=-114與kMB·kPB=-314，得出kBP=3kMA.這個過程也培養(yǎng)了學(xué)生去發(fā)現(xiàn)同樣的題干在斜率方面還有不同的結(jié)論的能力，從而能夠體驗到學(xué)習(xí)的樂趣.

其實這是研究我們解析幾何里的定值問題的方法，我們一般采用：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算、推理過程中消去變量，從而得到定值.

第二組的成員：我們組有兩種方法.

法一：根據(jù)對稱性，我們發(fā)現(xiàn)直線MN若過定點，必定過x軸上的某個點.故我們先取了特殊的直線求出這個點，然后再證明一般情況下的直線也經(jīng)過這個點.取M1，312，得到AM：y=112x+1，聯(lián)立x=4，

y=112x+1， 解得P（4，3），又因為B（2，0），有PB：y=312x-3，聯(lián)立y=312x-3，

x214+y213=1， 解得N1，-312，則MN：x=1.故這個點就是E（1，0）.下面再證明一般直線MN都經(jīng)過這個點，設(shè)M（x0，y0），因為點M在橢圓上，所以有y20=314（4-x20），又因為點M異于頂點A，B，所以有-2

x=4， 解得P4，6y01x0+2，又因為B（2，0），則PB：y=3y01x0+2x-6y01x0+2，聯(lián)立y=3y01x0+2x-6y01x0+2，

x214+y213=1， 解得N8-5x015-2x0，3y012x0-5，則ME=（1-x0，-y0），NE=1-8-5x015-2x0，-3y012x0-5，又因為（1-x0）·-3y012x0-5-（-y0）·1-8-5x015-2x0=3x0y0-3y0-（3x0y0-3y0）12x0-5=0，故有ME∥NE，又因為E為公共點，所以直線MN過定點E（1，0）.

法二：我們直接寫出了直線MN的方程，發(fā)現(xiàn)是一個直線系，然后研究直線系，找出定點.設(shè)M（x0，y0），因為點M在橢圓上，所以有y20=314（4-x20），又因為點M異于頂點A，B，所以有-2

x=4， 解得P4，6y01x0+2，又因為B（2，0），則PB：y=3y01x0+2x-6y01x0+2，聯(lián)立y=3y01x0+2x-6y01x0+2，

x214+y213=1， 解得N8-5x015-2x0，3y012x0-5，MN：y=3x0-1214y0（x-1），故有直線MN恒過定點（1，0）.

教師點評：其實這組學(xué)生解答這道題的過程就是解決解析幾何里的定點問題的常用的兩種的方法.（1）從特殊情況入手，先探求出定點，再證明與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，然后利用直線系、圓系、等式恒成立等方法來找定點.

第三組的成員也是類似于第二組采用兩種方法.這里就不再贅述.

由于圓可以看成圓心率為0的橢圓，所以剛才的定點、定值問題在圓里是否也存在？可以讓學(xué)生探討一下.讓學(xué)生先去猜想和探討，然后給出下面一道題.

圓O：x2+y2=4，直線l：x=4，點M是圓O上異于A，B的任意一點，直線MA，MB分別交l于P，Q兩點.

證明：∠PBM為銳角.

（1）kMB·kPB是否為定值，若是，求出該定值，若不是，求出其取值范圍；

（2）直線MN是否過某定點；

（3）延長MB交準(zhǔn)線于Q，求證以PQ為直徑的圓過定點.

這樣的出題方式，目的是培養(yǎng)學(xué)生探討和研究數(shù)學(xué)的興趣，這樣高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)也就不會覺得那么無趣枯燥了.

二輪復(fù)習(xí)是綜合能力突破的關(guān)鍵時間，構(gòu)建知識體系，進行專項講練，既可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能提高學(xué)習(xí)的效率.