經歷數(shù)學抽象過程 培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)
——以《認識平行四邊形》教學為例

文|程楚高

數(shù)學抽象是數(shù)學活動最基本的思想方法，它是指對具有數(shù)量關系和空間形式的真實材料進行加工，舍去其非本質屬性，提煉出共同的本質屬性的思維過程。抽象在數(shù)學及教學過程中無處不在，數(shù)學教材中的每一個概念、法則、公式、定理等的推導和概括都要用到抽象，用任何數(shù)學知識解決純數(shù)學問題或聯(lián)系實際的問題都離不開數(shù)學抽象。數(shù)學抽象對數(shù)學學習具有十分重要的意義，教學中教師應該有意識地引導學生經歷知識的抽象過程。筆者在《認識平行四邊形》的教學過程中，從實物圖片出發(fā)，引導學生經歷觀察、操作、比較等學習活動，逐步抽象出平行四邊形的特征。現(xiàn)結合此課教學的幾個片斷，談談在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的策略。

一、觀察與感知——建立表象

片斷一：

（課件出示一些實物圖片，這些圖片中含有不同形狀、不同大小的幾種平面圖形，每種圖形2 至3 個）

師：仔細觀察這些圖片，它們中都藏著平面圖形，你能找到它們嗎？

（學生觀察，指名學生上臺描出圖形并作介紹，找出的圖形有三角形、長方形、正方形和平行四邊形這四種）

師：介紹得很詳細。為了方便研究，我們把圖片隱去，只留下描出來的圖形。

（課件顯示出每幅圖片上的圖形，然后逐漸隱去實物圖，剩下平面圖形）

【思考：小學生參與的數(shù)學抽象活動，往往不是“純抽象”的數(shù)學活動，而是要借助生活情境或實物圖，由“直觀”走向“抽象”。上述教學片斷中，教師通過創(chuàng)設情境，展示生活中的實物圖，讓學生仔細觀察，以喚醒學生的知識經驗，同時引導學生上臺指一指、說一說，從中發(fā)現(xiàn)、描出平面圖形，然后隱去圖片，剩下圖形，讓學生經歷了由實物圖片到平面圖形的抽象過程。而且，通過對不同直觀素材的充分感知，抽象出了不同形狀、大小的若干個平面圖形，為下一步的學習奠定了知識、經驗和思維基礎。

與實物圖片相比，平面圖形是很抽象的，如正方形，我們可以把它想象成一個正方形桌面，也可以把它想象成一個正方形開關盒面等。而純粹的平面圖形顯然更為抽象，比如說，生活中的長方形桌面是看得見、摸得著的，而長方形這個圖形本身在生活中是不存在的，只能存在于人的頭腦中，也就是表象。因此，由實物到圖形的抽象是建立表象的過程，也是認識圖形的重要一步?！?/p>

二、分類與比較——感悟本質

片斷二：

師：（指著屏幕上抽象出的平面圖形）仔細觀察這些圖形，如果將這些圖形進行分類，你會怎么分？自己先想一想、分一分，再與同桌交流。

（學生在作業(yè)紙上按圖形編號進行分類，然后同桌之間交流想法）

生1:我分成兩類。

師：你是怎么想的？能說說你分類的依據(jù)嗎？

生1：第一類圖形是三角形，第二類圖形是四邊形。我是根據(jù)圖形的邊數(shù)來分的。

師：這位同學是從圖形的邊數(shù)考慮的。還有更細致的分法嗎？

生2：我把它們分成四類。第一類是三角形，第二類是長方形，第三類是正方形，第四類是平行四邊形。我是根據(jù)圖形的形狀來分的。

師：兩位同學的分法都有道理，你們覺得這兩種分法有什么不同？

生3：兩種分法的分類標準不同。

生4：第一個同學分成兩類；第二個同學分成四類，他把這些四邊形又分成了長方形、正方形和平行四邊形三類。

師：同學們都很善于觀察。三角形、長方形、正方形的特征大家已經熟悉。平行四邊形有什么特征呢？今天我們就來進一步研究平行四邊形。

（板書：認識平行四邊形）

【思考：小學生的數(shù)學學習主要是在數(shù)學活動中進行的。本環(huán)節(jié)教師設計了適切的數(shù)學活動，讓學生經歷了觀察——分類——比較的過程，經歷了從整體感悟到逐步分化。首先，在分類任務的驅動下，學生通過細致觀察和獨立思考，進行了分類和交流，兩種分法都做到了不重復也不遺漏。其次，教師引導學生對兩種分類進行比較，既讓學生感受了不同的分類標準，又讓學生在整體感悟的基礎上把平行四邊形分化了出來。在此過程中，學生經歷了有條理地思考的過程，既把握全局又由表及里，對平行四邊形的特征也有了初步感悟?！?/p>

三、舍棄與抽取——形成概念

片斷三：

師：仔細觀察這些平行四邊形，它們有什么不同點，又有什么相同點呢？獨立思考后，小組討論。

（學生有了想法后，進行組內交流，教師巡視指導）

師：先來說一下不同點。

生1：它們的形狀和大小都不同。

生2：邊的長度各不相同，角的大小也不一樣。

生3：有的是平放的，有的是豎著的，也有的是斜著的。

師：它們又有什么相同點呢？

生1：都有4 條邊和4 個角。

生2：它們的兩組對邊分別平行。

生3：它們的兩組對邊分別相等。

師：是這樣嗎？誰能上臺用學具演示驗證一下，在這些平行四邊形中，每個圖形的兩組對邊是否平行，是否相等？

（學生上臺操作，發(fā)現(xiàn)得到驗證）

師：像這樣，兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（板書:平行四邊形）

【思考：本環(huán)節(jié)的教學，聚焦到對平行四邊形的研究，引導學生經歷了觀察比較——發(fā)現(xiàn)不同——發(fā)現(xiàn)相同——提煉概念的抽象過程。學生觀察圖形首先是對圖形的整體感知，教師引導學生在觀察比較的基礎上先發(fā)現(xiàn)不同點，學生發(fā)現(xiàn)了圖形形狀、大小以及邊的長短、角的大小、擺放位置等不同，這些都是平行四邊形的非本質屬性。此后，引導學生發(fā)現(xiàn)相同點，學生通過獨立思考、組內交流、匯報表述發(fā)現(xiàn)了平行四邊形兩組對邊分別平行且相等的特征，而這正是所有平行四邊形的共有屬性與本質特征，至此，平行四邊形的概念也水到渠成。這一環(huán)節(jié)的教學，學生在尋找不同與發(fā)現(xiàn)相同的過程中，舍棄了圖形的非本質屬性，抽取了圖形的本質屬性，對圖形的認識從表面走向本質、從外延走向內涵?！?/p>

四、聯(lián)結與統(tǒng)整——完善認知

片斷四：

師：（出示課始的第二種分類中屬于四邊形的一些圖形）我們以前學過的四邊形有長方形和正方形，今天又認識了平行四邊形。仔細觀察，它們有哪些相同點呢？

生1：都有4 條邊、4 個角、4 個頂點。

生2：三種圖形的兩組對邊分別平行，而且相等。

師：那么，長方形和正方形屬于平行四邊形嗎？為什么？

生1：不屬于，因為看上去平行四邊形的角都不是直角。

生2：屬于，因為長方形和正方形的兩組對邊也分別平行，符合平行四邊形的概念。

生3：長方形和正方形是特殊的平行四邊形。

師：特殊在哪里呢？

生：長方形4 個角都是直角；正方形4 個角都是直角，并且4 條邊都相等。

師：它們三者是什么關系呢？你能在集合圖中表示出來嗎?小組討論一下。

（學生交流、匯報，完成集合圖）

【思考：在抽象出數(shù)學概念的基礎上，進一步將數(shù)學概念與學生原有認知結構中的有關知識聯(lián)系起來，形成系統(tǒng)化、結構化的認知結構，有利于提高學生對知識的掌握和運用水平。這個環(huán)節(jié)將新知與舊知聯(lián)系起來，引導學生把平行四邊形與長方形、正方形進行比較分析，找出相同點，讓學生發(fā)現(xiàn)長方形、正方形同樣具有平行四邊形的特征，屬于特殊的平行四邊形。其實，這也是一個弱抽象與強抽象相結合的過程。在集合圖中表示出三者之間的關系，形象地變散狀認知為整體認知，深化了學生對平行四邊形知識的整體把握，完善了學生的認知結構?！?/p>

從上述幾個片斷教學與思考中，我們可以感受到在課堂教學中對于學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師應該力求做到以下幾點：

1.提供豐富感知素材。

數(shù)學來源于生活，數(shù)學知識首先是從現(xiàn)實生活中的數(shù)量關系和空間形式中抽象而來的，因此教學中應該依據(jù)教學內容為學生提供相應的生活素材，如實物、錄像、實物圖片等，這既符合知識形成的規(guī)律，也符合學生的認知規(guī)律，因為小學生是以直觀形象思維為主的，其認知是由直觀到抽象逐步過渡的。比如上述片斷一中，教師為學生提供了蘊含不同圖形的實物圖片讓學生觀察，就體現(xiàn)了這一觀點。此外，數(shù)學抽象是要從不同對象中抽取共同本質屬性的，要使本質屬性提取得準確完整，提供的研究對象既要有一定數(shù)量又要形態(tài)各異，以豐富概念的外延，這樣才能有助于抽象出數(shù)學本質。如片斷三中，提供觀察的若干個平行四邊形形狀不同、大小不同、擺放位置不同，就便于學生在比較中抽象出圖形的本質特征。

2.引領學生自主學習。

教學中有兩種誤區(qū)，一種是直接呈現(xiàn)結論的“直奔主題”式，另一種是教師講授過程學生當聽眾的“滿堂灌”式，這兩種教學方式都是不可取的。數(shù)學抽象是一種逐步逼近知識本質的過程，教學中教師必須留給學生充分的時間和空間，讓學生在觀察、操作、分類、比較、猜測、驗證、交流、表達等一系列數(shù)學活動中，經歷知識抽象的過程，這樣學生才能產生真切的感悟，才能真正理解、掌握和運用數(shù)學概念，發(fā)展抽象思維。

3.設計多輪抽象活動。

雖然存在直覺型抽象，但一般來說，數(shù)學抽象不是一步就能實現(xiàn)的，從生活情境到數(shù)學概念、命題的抽象都需要經歷一個從橫向數(shù)學化到縱向數(shù)學化的過程。如平行四邊形概念的形成，上述教學中先后經歷了三輪抽象：第一輪是實物圖片到平面圖形的抽象，第二輪是在平面圖形內部分化出平行四邊形，第三輪是抽象出平行四邊形的本質屬性并形成概念。在多輪抽象中，逐步剝離圖形的非本質屬性，提煉出圖形的本質屬性并形成概念。

總之，數(shù)學抽象與學生的數(shù)學學習息息相關、時時相伴，直接影響著學生的數(shù)學素養(yǎng)和學業(yè)發(fā)展。數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的事，需要教師長期堅持，在每一節(jié)課中讓學生充分經歷數(shù)學抽象的過程，從而促進學生抽象思維的發(fā)展，使學生逐步學會用數(shù)學的眼光觀察世界。