注重“結(jié)構(gòu)化”，讓學(xué)習(xí)在整體關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)發(fā)展中走向深刻

文|管小冬

結(jié)構(gòu)化是指“將逐漸積累起來(lái)的知識(shí)加以歸納和整理，使之條理化、綱領(lǐng)化，做到綱舉目張?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)構(gòu)化教學(xué)一直被倡導(dǎo)。一方面，這源于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)化與系統(tǒng)化，即人類文明發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)研究的成果呈現(xiàn)出高度結(jié)構(gòu)化的狀態(tài)，這既是數(shù)學(xué)本身的特征，也代表著人類對(duì)世界、對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的不斷深入。另一方面，這源于我們的教育對(duì)象是兒童，基于他們的心理及認(rèn)知特征，要想讓他們?cè)谳^短的時(shí)間內(nèi)掌握這些集聚人類幾百甚至幾千年智慧結(jié)晶的數(shù)學(xué)成果，以結(jié)構(gòu)化的方式進(jìn)行教學(xué)是我們的必備方式之一。因此，各版本教材的編寫，在內(nèi)容的呈現(xiàn)順序、方式上都十分注重結(jié)構(gòu)化。近幾年，以吳玉國(guó)為代表的數(shù)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)，更是旗幟鮮明地提出了“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”的教學(xué)主張，倡導(dǎo)“教師建立在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)和學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上”的，“著眼整體，著重聯(lián)系，著力思維”的教學(xué)。即“始終把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體的知識(shí)體系中，讓學(xué)生在一定的知識(shí)體系中更好地理解各部分知識(shí)?！保ㄊ穼幹校?/p>

需要特別指出的是，本文所談的“結(jié)構(gòu)化”，特指在單元或板塊學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)單元或板塊學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法、思維過(guò)程等進(jìn)行梳理、關(guān)聯(lián)，形成整體性認(rèn)識(shí)與全局性理解；將這部分內(nèi)容與以前所學(xué)內(nèi)容有效關(guān)聯(lián)，更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程，領(lǐng)悟其間蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更好地實(shí)現(xiàn)“同化”與“順應(yīng)”；立足當(dāng)前內(nèi)容，展望后續(xù)學(xué)習(xí)與研究，尋找新方向，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，誘發(fā)新思考，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在整體關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)發(fā)展中走向深刻。

我們特別強(qiáng)調(diào)在單元或板塊學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)引導(dǎo)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，源于以下三個(gè)方面的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐。

首先，在指向具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在教師有意識(shí)地設(shè)計(jì)與引導(dǎo)下，結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)得以發(fā)生（事實(shí)上，我們也應(yīng)倡導(dǎo)、追尋這樣的教與學(xué)的方式）。但我們?nèi)詰?yīng)看到，即使有著教師基于對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容整體、高位認(rèn)識(shí)下的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)仍然很難，甚至幾乎不可能在具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)“居高臨下”地看待學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法與過(guò)程。“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”，他們往往沉浸在教師所創(chuàng)設(shè)的“真情境”中展開學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)。其間雖然也有對(duì)“學(xué)什么”“為何學(xué)”“怎樣學(xué)”等方面的認(rèn)識(shí)與思考，但正因?yàn)橹蒙砥渲校⒉荒芮逦疑羁痰卣J(rèn)識(shí)到知識(shí)間的整體關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)發(fā)展。王國(guó)維在《人間詞話》中有一段關(guān)于詩(shī)人的評(píng)語(yǔ)：“詩(shī)人對(duì)宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外?！睂W(xué)生的學(xué)習(xí)也不外乎此，“入乎其內(nèi)”可以讓學(xué)生于“真情境”中獲得“真體驗(yàn)”，以主體身份親歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的關(guān)鍵歷程，形成對(duì)具體內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)及相應(yīng)數(shù)學(xué)思想、方法的深刻理解；而“出乎其外”卻可以讓他們以第三人稱的視角，立足全局、立足高遠(yuǎn)，回顧、審視、剖析，進(jìn)而將相應(yīng)內(nèi)容連點(diǎn)成線、連線成面、連面成體。

比如，三角形的底和高是度量、刻畫三角形的兩個(gè)重要數(shù)據(jù)，蘇教版教材將“底和高的認(rèn)識(shí)”編排在四年級(jí)下冊(cè)第七單元第一課時(shí)“認(rèn)識(shí)三角形”中。實(shí)際教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使教師能夠“高觀點(diǎn)”地設(shè)計(jì)并展開教學(xué)（具體案例可參考本刊2021年第1~2 期《立足“高觀點(diǎn)”，讓學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)與兒童的和諧統(tǒng)一中走向深刻———以〈認(rèn)識(shí)三角形〉教學(xué)為例》一文），學(xué)生仍很難形成對(duì)底和高的數(shù)學(xué)本質(zhì)及緊密關(guān)系的深刻認(rèn)識(shí)。究其原因，一方面是因?yàn)閷W(xué)生在對(duì)周圍世界的觀察中所形成的對(duì)“高”的生活性描述與理解，對(duì)其領(lǐng)悟三角形高的數(shù)學(xué)本質(zhì)形成了干擾；另一方面則是因?yàn)閷W(xué)生初次涉及“圖形的高”這一內(nèi)容，在單一學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與體驗(yàn)中，很難形成對(duì)這一概念數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻認(rèn)識(shí)。因此，在“三角形”板塊的內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，我借助“什么是三角形的底和高？”“對(duì)三角形來(lái)說(shuō)，底和高的作用是什么？”“三角形的底和高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有什么聯(lián)系與區(qū)別？”“在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你對(duì)三角形底和高的認(rèn)識(shí)有哪些發(fā)展和變化？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從全局的角度進(jìn)行回顧與梳理。在這樣的過(guò)程中，他們發(fā)現(xiàn)“與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬一樣，三角形的底和高也是用來(lái)刻畫圖形大小的重要數(shù)據(jù)。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬確定后，它的形狀、大小都可以確定；三角形的底和高只能確定它的面積，不能確定它的形狀。”“我們之所以要研究三角形的高，是因?yàn)楦呤菑捻旤c(diǎn)到它對(duì)邊的垂直線段，有了它，我們就可以把三角形與長(zhǎng)方形、與單位面積等內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而解決問(wèn)題?！痹谶@種“出乎其外”的回顧、審視、剖析與交流中，學(xué)生逐漸積累起來(lái)的對(duì)三角形、對(duì)三角形高的認(rèn)識(shí)就不再是堆積的，而是初步走向了結(jié)構(gòu)化。

其次，我們倡導(dǎo)具體實(shí)施中的“童籌劃”，引領(lǐng)學(xué)生在真情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，“自主提出解決問(wèn)題的方法，確定解決問(wèn)題的步驟與注意事項(xiàng)，構(gòu)建問(wèn)題解決的研究路徑”。從“結(jié)構(gòu)化”的視角看，“童籌劃”歸屬于“低結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”，即“學(xué)習(xí)主要由兒童發(fā)起，學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)主要是兒童的需要，由兒童與教師共同確定學(xué)習(xí)的目標(biāo)，更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程”。這樣的學(xué)習(xí)，側(cè)重于讓學(xué)生完整經(jīng)歷真實(shí)的問(wèn)題解決過(guò)程，在掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的同時(shí)，積累解決問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)創(chuàng)新能力、協(xié)作能力和批判性思維等方面的發(fā)展。但我們?nèi)詰?yīng)看到，“結(jié)構(gòu)化”或者說(shuō)學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的“高結(jié)構(gòu)”仍應(yīng)是教學(xué)活動(dòng)的重要目標(biāo)之一。北京教育學(xué)院的劉加霞教授認(rèn)為：“形成結(jié)構(gòu)并從結(jié)構(gòu)的角度把握事物本質(zhì)的過(guò)程即為結(jié)構(gòu)化?！瓘臒o(wú)序、雜亂到有序、有結(jié)構(gòu)既是人的心理需要、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要也是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要?！彼龔?qiáng)調(diào)：“任何一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容都從屬于某一結(jié)構(gòu)，從‘結(jié)構(gòu)’的角度來(lái)把握所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容非常重要，這樣能把握內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，建立內(nèi)容之間的聯(lián)系?！倍趩卧虬鍓K學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)基于“童籌劃”而展開的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行回溯、梳理與反思，是“從無(wú)序、雜亂到有序、有結(jié)構(gòu)”的最佳契機(jī)之一。這樣的結(jié)構(gòu)化不僅有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶、存儲(chǔ)和檢索，更能去蕪存精，提高認(rèn)知的結(jié)構(gòu)品質(zhì)，進(jìn)而使學(xué)生獲得知識(shí)遷移與應(yīng)用能力等方面的提升。

比如，在“三角形”部分的教學(xué)中，“童籌劃”的學(xué)習(xí)方式可以讓學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)識(shí)選擇感興趣的主題展開研究，研究中可以結(jié)合遇到的具體問(wèn)題與困難及時(shí)優(yōu)化研究方法與過(guò)程，甚至是調(diào)整研究方向。在這樣的學(xué)習(xí)與研究中，因?yàn)閷W(xué)生的行動(dòng)與思考多源于自身對(duì)相應(yīng)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的不斷深入，所以對(duì)板塊內(nèi)各部分知識(shí)間的聯(lián)系會(huì)有著較為深入的認(rèn)識(shí)。例如，選擇“三角形的面積計(jì)算”作為首個(gè)研究主題的那些學(xué)生，會(huì)在研究中發(fā)現(xiàn)計(jì)算三角形的面積始終都離不開頂點(diǎn)到對(duì)邊的這條垂直線段，進(jìn)而主動(dòng)去認(rèn)識(shí)“三角形的高”。在這樣的過(guò)程中，他們對(duì)三角形高的數(shù)學(xué)本質(zhì)，三角形的底和高與面積間的關(guān)系有著超出其他學(xué)生的、更為深刻的理解。（具體案例可參考本刊2021年第3 期《倡導(dǎo)“童籌劃”，讓學(xué)習(xí)在師生協(xié)同建構(gòu)中走向深刻——以“三角形”部分的教學(xué)為例》一文）但我們也發(fā)現(xiàn)，在這種學(xué)習(xí)方式下學(xué)生所形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)層次還不夠清晰與系統(tǒng)。因此，在這一板塊的內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧這一板塊的學(xué)習(xí)歷程，重點(diǎn)思考：本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念是什么？各部分內(nèi)容是如何在這些基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出來(lái)的？相互間有著怎樣的聯(lián)系？如果請(qǐng)你指導(dǎo)同伴進(jìn)行這個(gè)板塊的學(xué)習(xí)，你會(huì)建議他沿怎樣的路徑展開？隨后，再引導(dǎo)學(xué)生就自己思考、梳理形成的本板塊內(nèi)容思維導(dǎo)圖進(jìn)行交流。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)逐步理清知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，明晰各部分內(nèi)容間的相互關(guān)聯(lián)，將“童籌劃”過(guò)程中形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷調(diào)整、優(yōu)化為更契合數(shù)學(xué)自身的結(jié)構(gòu)。

最后，從學(xué)習(xí)是為了“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”這一目的出發(fā)，學(xué)生“結(jié)構(gòu)化”狀態(tài)下的數(shù)學(xué)知識(shí)方具有“自我生長(zhǎng)的活力”，對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程與結(jié)果的“結(jié)構(gòu)化”追尋可以推動(dòng)他們不斷在新情境中生成新問(wèn)題，形成新懸念，進(jìn)而在“結(jié)構(gòu)”的不斷打破與重塑中獲得新知識(shí)、新方法與新思想。從這一角度看，單元或板塊內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)的“結(jié)構(gòu)化”有兩個(gè)方向。一是內(nèi)部的結(jié)構(gòu)化，即在理解各具體內(nèi)容數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，明晰相互間的聯(lián)系，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成整體性認(rèn)識(shí)、全局性理解，提升應(yīng)用能力。二是外部的結(jié)構(gòu)化，即在內(nèi)部結(jié)構(gòu)化的基礎(chǔ)上，向前追溯，理清知識(shí)發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)，主動(dòng)將當(dāng)前的“結(jié)構(gòu)化”認(rèn)知與原有認(rèn)知進(jìn)行銜接，促進(jìn)“結(jié)構(gòu)化”在更高層面、更廣范圍的形成與發(fā)展；向后追問(wèn)，嘗試發(fā)現(xiàn)新的研究方向，提出新問(wèn)題，作出新猜想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)發(fā)生與“結(jié)構(gòu)”的“主動(dòng)生長(zhǎng)”。

比如，在三角形板塊的內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)束后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的幾個(gè)問(wèn)題：1.教材為什么要安排我們先認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形，再認(rèn)識(shí)三角形？2.長(zhǎng)方形、正方形板塊的學(xué)習(xí)過(guò)程與這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有哪些相似之處？又有什么不同？3.后續(xù)你想繼續(xù)研究什么內(nèi)容？可以怎么進(jìn)行研究？

以上是我在“三角形”板塊的教學(xué)中，就促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知“結(jié)構(gòu)化”，走向簡(jiǎn)約，走向深刻方面的實(shí)踐與思考。需要特別指出的是，結(jié)構(gòu)化的教與學(xué)可以大大提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶、理解、檢索與應(yīng)用，但我們?nèi)詰?yīng)明白，結(jié)構(gòu)化教學(xué)，不能僅止于結(jié)構(gòu)化，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在這一過(guò)程中學(xué)會(huì)“結(jié)構(gòu)化”，自主“結(jié)構(gòu)化”，由此獲得學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維方式、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面的發(fā)展與提升。