試析中學(xué)平面幾何與解析幾何、立體幾何的內(nèi)在聯(lián)系

李啟玲

【摘 要】本文主要分析了中學(xué)數(shù)學(xué)中平面幾何與解析幾何、立體幾何之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，凸顯了平面幾何教學(xué)的重要性。

【關(guān)鍵詞】平面幾何;解析幾何;立體幾何;關(guān)聯(lián)

隨著我國(guó)教育部制定的義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）的頒布與實(shí)施，我們可以看到對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)目標(biāo)都進(jìn)行了修正，對(duì)教師綜合素質(zhì)的要求進(jìn)一步提高。在目前仍然以教師為主導(dǎo)的課堂教學(xué)活動(dòng)中，教師教學(xué)能力的重要性不言而喻。如何提高教師的綜合素質(zhì)？如何讓教師不僅僅是講好一堂課、一門(mén)課，而是對(duì)教學(xué)內(nèi)容有著更為深刻的認(rèn)識(shí)理解，并在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中游刃有余？這就需要教師站在更高處，宏觀地看待整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的理論體系，并且能夠深刻的認(rèn)識(shí)到各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成網(wǎng)狀的知識(shí)體系。

一、平面幾何與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系

中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于幾何部分的內(nèi)容分為平面幾何、解析幾何、立體幾何。我們知道平面幾何部分的內(nèi)容主要來(lái)源于《幾何原本》最基礎(chǔ)的部分，旨在通過(guò)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面等圖形，并對(duì)其性質(zhì)特征進(jìn)行刻畫(huà)。眾所周知，由于《幾何原本》理論體系建立在五個(gè)公設(shè)基礎(chǔ)之上，由于這五個(gè)公設(shè)的描述、刻畫(huà)欠缺一定的嚴(yán)密性，就造成了平面幾何中某些知識(shí)欠缺嚴(yán)密性。例如，教材中定義兩個(gè)圖形全等，是通過(guò)平移其中一個(gè)圖形使得兩個(gè)圖形重合。實(shí)際上這種定義要在平移時(shí)物體做剛體運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生形變下才能做到。究其原因是因?yàn)閳D形的位置問(wèn)題造成了這一定義的不嚴(yán)密性。但是如果在解析幾何的觀點(diǎn)下，每一個(gè)點(diǎn)都是唯一的，從而由點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形也是唯一的，那么在解析幾何下如何定義兩個(gè)圖形全等呢？我們可以借助函數(shù)來(lái)解決這一問(wèn)題：圖形平移與旋轉(zhuǎn)來(lái)刻畫(huà)。由于初中階段學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)認(rèn)識(shí)不足，造成了我們無(wú)法用解析幾何中更嚴(yán)密的理論來(lái)刻畫(huà)圖形的全等性，而借助圖形的平移更具直觀性，也更有利于學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)。平面幾何中關(guān)于圖形的相似性，如果用拓?fù)鋵W(xué)中的同胚來(lái)刻畫(huà)也更為準(zhǔn)確，即由一個(gè)圖形能連續(xù)形變到另一個(gè)圖形。但是同胚中所包含的情形要遠(yuǎn)比相似更為復(fù)雜，任意一條封閉曲線與任意一個(gè)三角形是同胚的，但與三角形相似的圖形只能是三角形。另外，如果從拓?fù)涞慕嵌?，把同胚的集合都看作同一個(gè)集合，那么所有相互相似的三角形就只有一個(gè)，使得我們需要研究的對(duì)象大大減少。

為什么關(guān)于三角形的性質(zhì)特點(diǎn)的討論占據(jù)了平面幾何的大部分內(nèi)容呢？首先，三角形是由直線段圍成的所有封閉圖形中最為簡(jiǎn)單的圖形。其次，對(duì)三角形的研究既涉及到了線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，又涉及到了角度的問(wèn)題（對(duì)應(yīng)于解析幾何中點(diǎn)的極坐標(biāo)表示），并且兩者相互關(guān)聯(lián)。最后我們可以借助三角形的性質(zhì)討論由直線段圍成的其他幾何圖形的性質(zhì)。我們知道，三角形有兩大構(gòu)成要素：三條邊、三個(gè)角。在研究討論三角形的基本性質(zhì)時(shí)，必須要思考三個(gè)問(wèn)題：第一，滿足什么關(guān)系的三條邊才能構(gòu)成一個(gè)三角形？第二，三角形的三個(gè)角應(yīng)滿足什么條件？第三，邊與角之間有什么關(guān)系？

首先我們知道三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。如果設(shè)三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，如圖所示：

則上述命題可以表示為：a-b∠B，則a>b。這三個(gè)命題為三角形的邊角性質(zhì)進(jìn)行了最基本的刻畫(huà)。從數(shù)學(xué)的角度，我們可以看出第三個(gè)命題的刻畫(huà)最為準(zhǔn)確，而對(duì)其他兩個(gè)命題我們用到的是一個(gè)直觀但是較為粗糙的描述。如何使這兩個(gè)命題如同第三個(gè)命題一樣準(zhǔn)確呢？這就需要在特殊情況下來(lái)討論。例如對(duì)直角三角形ABC，如圖所示：

所以a-bA >B，則有sinC > sinA >sinB，并且a=c·sinA/sinC，b=c·sinB/sinC，同時(shí)使得三角的關(guān)系更為準(zhǔn)確（同樣也可以討論其他類型的三角形）。

在討論三角形基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可以借助三角形的這些性質(zhì)對(duì)其他多邊形的性質(zhì)進(jìn)行研究。例如通過(guò)將多邊形分割成多個(gè)三角形，討論多邊形邊與邊、邊與角的關(guān)系：多邊形的內(nèi)角和、面積的計(jì)算方法等問(wèn)題。我們一起來(lái)看看下面這道高考題。

二、平面幾何與立體幾何的內(nèi)在聯(lián)系

在新課標(biāo)中，立體幾何的教學(xué)目的主要是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力，其教學(xué)內(nèi)容主要包括空間中點(diǎn)、直線、平面、立體的位置關(guān)系及各自的基本性質(zhì)，其知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)方法處處都建立在平面幾何的基礎(chǔ)之上。

在立體幾何的教學(xué)活動(dòng)中，幾乎所有涉及到點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系都處理成平面幾何中點(diǎn)、線之間的關(guān)系。例如為了解決點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，我們首先將點(diǎn)和直線放到同一個(gè)平面上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)到直線的距離。在解決異面直線的位置關(guān)系時(shí)，通過(guò)固定其中一條直線，平行移動(dòng)另外一條直線，使得兩條直線共面，從而確定兩條直線的夾角。在處理線面、面面夾角的問(wèn)題時(shí)，我們也是先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面的線線夾角的問(wèn)題進(jìn)行討論。這與我們處理高維空間的問(wèn)題類似，將高維空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低維空間的問(wèn)題進(jìn)行處理，借助已有的工具解決新的問(wèn)題。在此以浙江省2020高考試題為例分析如何將立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題進(jìn)行處理。

三、結(jié)束語(yǔ)

平面幾何在數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)教育中的重要性不言而喻，是數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，是數(shù)學(xué)這棵參天大樹(shù)的萌芽。在我們的日常生活中無(wú)處不在，長(zhǎng)方形的課本、黑板，圓形的車輪、鐘面、花臺(tái)、各種水果，三角形的支架，諸如此類。課標(biāo)要求通過(guò)平面幾何的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力、邏輯思維能力。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中講好平面幾何，不僅需要老師們對(duì)教學(xué)內(nèi)容熟悉，更需要老師們對(duì)幾何（包括平面幾何、立體幾何、解析幾何，甚至非歐幾何）之間的關(guān)系有著較為全面及深刻的認(rèn)識(shí)，拓展教師的知識(shí)面，加深教師對(duì)知識(shí)理解，才能提高教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]普通高中教科書(shū).《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）[M].人民教育出版社，2019.