具有Neumann邊界條件的曲率方程解的估計

阿迪萊·玉蘇普， 韓 菲

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院， 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

Neumann邊值問題是偏微分方程中的最重要的邊值問題之一，給出解的先驗估計是研究其解存在性的關(guān)鍵.

設(shè)Ω是Rn上的光滑有界區(qū)域，u是定義在Ω上的光滑函數(shù)，則u的圖的平均曲率是

在n=1的情況下,相應(yīng)的問題是曲線的曲率問題,也是微分幾何和微分方程中關(guān)注的問題.

設(shè)u是定義在[0,1]上的光滑函數(shù),則對應(yīng)的曲線的曲率是

(1)

在偏微分方程中,對平均曲率流方程的研究比較廣泛[1-3].對n≥2的情況,也有相關(guān)研究[4-5].與平均曲率有關(guān)的拋物方程

和

均可以描述曲面的一種演化.

2017年，唐榕[6]考慮了在Neumann邊界條件下橢圓方程解的c0估計,c1估計,研究了如下方程

(2)

其中β≤3,且f(x,u)是定義在[0,1]×R上的光滑函數(shù)，得到了一類邊值問題解的梯度估計,從而得到了相應(yīng)的曲線曲率演化方程解的存在性定理.

受此啟發(fā),本文研究與式(1)有關(guān)的具有如下形式的一類拋物型方程

其中f(x,u,Du)是定義在[0,1]×R×Rn上的光滑函數(shù)且β≤3.

研究結(jié)果主要推廣朱潔的拋物型方程中關(guān)于f只依賴于x,u時該方程解的c0估計,c1估計[7]，即拋物型方程中關(guān)于f依賴于x,u,Du時該方程解的c0估計,c1估計.對于方程(2),當β=0和β=1時,方程的解的存在性、解的估計以及漸近性均已被證明[8-9].

1 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)Ω=[0,1],β≤3,f是Ω×R×Rn上的光滑函數(shù),設(shè)u(x,t)是下面方程的一個解

(3)

其中fz(x,z,p)≥-κ且κ≥0,對正常數(shù)L1,有

若t∈[0,T],則有

|ux(x,t)|≤C,

通過計算可得u和ut估計,結(jié)合定理1，易得到方程(3)的解的長時間存在性.

推論1 在定理1相同的條件下,拋物型方程

有光滑解u=u(x,t).

2 u的C0估計和ut估計

對于式(3),有

方程兩邊同時對t求導(dǎo),得

(4)

而

(5)

將式(4)代入式(5),得

根據(jù)拋物型的強極值原理,知e-κtut的非負最大值和非正最小值均在邊界取得，除非e-κtut在Ω內(nèi)為常數(shù).因此，假設(shè)e-κtut的非負最大值在(x0,t0)處取得,根據(jù)強極值原理,則(x0,t0)有下面3種情況:

(A1)t0=0;

(A2)t0>0且e-κtut在[0,1]×[0,t0]內(nèi)為常數(shù)(等于ut(x,0));

(A3)t0>0且x0=0或x0=1;

綜上ut有界.

基于對ut的討論,可以得到u的c0估計.事實上,由中值定理得

|u(x,t)-u0(x)|≤Cteκt,

3 u的C1估計

定理1的證明首先選取輔助函數(shù)Φ(x,t)=log(e-λt(ux)2)+g(x),其中g(shù)(x)=x2-x,λ定義在后面給出.設(shè)Φ(x,t)的最大值在點(x0,t0)處取得,其中x0∈[0,1].

下面分3種情形來討論.

情形1：x0=0或x0=1,根據(jù)ux(0,t)=1,ux(1,t)=-1，知

情形2：t0=0,存在一個常數(shù)C=C(ux,0)>0,使得

根據(jù)極值原理,知

(6)

(7)

由式(3)知，ut=uxxvβ-3-f(x,u,Du).

因此

(8)

由式(6)知

(9)

將式(8)、(9)代入式(7)可得

其中

不妨假設(shè)ux充分大,否則u的C1估計已證.

由于β≤3,則β-3≤0,因此

則

令λ=2κ+10,由于ux充分大,則v與ux等價.由上式知

則

由于Φ(x,t)的最大值在點(x0,t0)處取得,故對任意的(x,t)，有

Φ(x,t)≤Φ(x0,t0)=log((ux)2)(x0,t0)+g(x0)-λt0≤log (C1)2+g(x0)-λt0.

即

log((ux)2)+g(x)-λt≤log (C1)2+g(x0)-λt0.

故

log((ux)2)≤log(C1)2+g(x0)-g(x)+λ(t-t0)≤C,

其中C為與T有關(guān)的常數(shù).綜上所述,得到u的C1估計,從而完成了定理1的證明.