二階p- 拉普拉斯阻尼差分方程的快速同宿解

蔣鼎宏, 柏傳志

(1.江蘇省淮陰中學, 江蘇 淮安 223002； 2.淮陰師范學院 數學與統(tǒng)計學院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

本文考慮以下二階p-Laplacian阻尼差分方程的非平凡同宿解的存在性

-Δ(a(n)φp(Δu(n-1)))+ca(n)φp(Δu(n-1))+b(n)φp(u(n))=f(n,u(n)),n∈Z

(1)

其中p>1是個實數,φp(t)=|t|p-2t,t∈R.Δ是由Δu(n)=u(n+1)-u(n)定義的正向差分算子,n∈Z,c>-1是個實數,a:Z→(0,∞),b:Z→(0,∞)是個強制函數,f:Z×Z→R關于第二個變量是連續(xù)的.如一般文獻所言,方程(1)的一個解u:Z→R,如果u≠0,且當|n|→∞時u(n)→0, 則稱為方程(1)的一個同宿解.差分方程是常微分方程的離散形式,通常用于研究許多領域中出現的離散模型, 如：計算、動力系統(tǒng)、經濟學、統(tǒng)計學、生物學等[1-11]．

Daouas和Boujlida研究了下列二階微分方程正同宿解的存在性[12].

x″+cx′-a(t)x+f(t,x)=0

(2)

該方程與Fisher-Kolmogorov方程有關,最初由生物學模型驅動,由下式給出

ut=uxx+f(u)

(3)

尋找式(3)的行波解u(t,x)=φ(x-ct),簡單的計算表明φ是下列常微分方程的解

x″+cx′+f(x)=0

(4)

通過使用步長為h>0的有限差分對方程(4)進行離散,可以得到差分方程[13]

Δ2u(n-1))+cΔu(n-1)+f(u(n))=0,

其中u(n)是x(nh)的一個逼近.

Ma和Guo研究了下列對a和f無周期性假設的非線性差分方程[4]

Δ2u(n-1))-a(n)u(n)+f(n,u(n))=0,n∈Z

(5)

他們的結果后來在許多方面得到了擴展.

最近,通過對方程(2)進行離散化,Daouas和Guefrej研究了下列阻尼二階差分方程同宿解的存在性和多重性[14]

Δ2u(n-1))-cΔu(n-1)-a(n)u(n)+f(n,u(n))=0,n∈Z

(6)

其中c>-1是個常數.顯然,如果c=0, 方程(6)就化歸為方程(5).

在文[7]中,基于臨界點理論,Iannizzotto和Tersian研究了以下帶p-Laplacian二階差分方程的多個同宿解的存在性

-Δ(φp(Δu(k-1)))+a(k)φp(u(k))=λf(k,u(k)),k∈Z

(7)

其中p>1是個實數,φp(t)=|t|p-2t,t∈R,而λ>0是個參數.

Kong[6]得到了新的條件,在該條件下,下列帶p-拉普拉斯算子的二階差分方程

-Δ(a(n)φp(Δu(n-1)))+b(n)φp(u(n))=λf(n,u(n)),n∈Z

(8)

有無窮多個同宿解.

當c=0時,式(1)化歸為式(8)(λ=1)．此外,如果c=0,p=2,a≡1,且b被a替換,則式(1)化歸為式(6).

本文受[6-7，14]的啟發(fā),將研究式(1)在對f和c>-1的一些條件下同宿解的存在性, 這些解滿足以下性質

(1+c)-n|u(n)|p→0,|n|→∞，

稱為式(1)的快速同宿解.

假設函數a、b和f滿足下列條件:

(A) 存在一個常數a1>0,使得所有n∈Z,a(n)≤a1;

(B)b(n)(1+c)-n≥b0>0,?n∈Z,b(n)→+∞, |n|→∞;

(F1) 存在μ>p使得

μF(n,x)≤f(n,x)x,?n∈Z, ?x∈R,

(F1′) 存在μ>p使得

0<μF(n,x)≤f(n,x)x,?n∈Z, ?x∈R;

(F3) 存在n0∈Z,x0∈R, 使得F(n0,±x0)>0;

(F4)f(n,-x)=-f(n,x),?n∈Z, ?x∈R.

本文的目的是應用變分方法和山路定理獲得方程(1)的快速同宿解的存在性和多重性,以及無窮多個快速同宿解的存在性.推廣了文[14]中的一些結果.

1 預備知識和引理

為獲得本文的主要結果,本節(jié)給出一些基本概念和證明中需要的引理.

對于1≤p<∞, 令lp(Z)是滿足下列條件的函數u:Z→R的集合

定義l∞(Z)為滿足下列條件的函數u:Z→R的集合

對于1≤p≤q<∞, 有l(wèi)p(Z)?lq(Z),|u|q≤|u|p.

設

其范數為

由條件(B)容易得到

(9)

且存在m>0使得

(10)

(11)

令

Y={((1+c)-(n+1)/p(b(n))1/pu(n),(1+c)-n/p(a(n))1/pΔu(n-1)):u∈Ec,n∈Z}.

定義算子T:Ec→Y如下

Tu=((1+c)-(n+1)/p(b(n))1/pu(n),(1+c)-n/p(a(n))1/pΔu(n-1)),?u∈Ec.

(12)

從條件(B)和(1+c)-n>0(?n∈Z),得到在EI上,uj?0,其中

EI={u∈E|u(n)∈R,n∈I} ，I=Z(-h,h)=Z∩[-h,h].

(13)

由式(12)得

(14)

類似于[14]中的引理2.4,可以證明以下引理.

定義J:Ec→R

類似于文[14], 可以證明下列引理.

引理4對于J1,J2,有

(i) 如果(A)與(B)成立, 那么J1∈C1(Ec,R), 且?u,v∈Ec

(ii) 假設(F2)成立,則J2∈C1(lp(Z),R),且

引理5假設(A)、(B)和(F2)成立.則J∈C1(Ec),且J的每個臨界點u∈Ec都是方程(1)的一個同宿解.

引理6假設(A),(B),(F1)與(F2)成立.則J滿足Palais-Smale條件.

引理7假設條件(F1)或(F1′)成立.那么?(n,x)∈Z×R,s-μF(n,sx)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數.

為了證明本文的主要結果,需要以下定理

定理1[16](Mountain Pass定理) 設E是一個實Banach空間,I∈C1(E,R)滿足 Palais-Smale條件.假設I(0)=0且

(I1) 存在常數ρ,α>0使得I|?Bρ≥α;

(I2) 存在e∈EBρ使得I(e)≤0.

那么I必有一個臨界值c≥α如下

其中

Γ={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=e}.

則I必有一列無界的臨界值.

2 主要結果

定理3 假設條件(A)、(B)、(F1)～(F3)滿足.那么方程(1)至少有一個非平凡的快速同宿解.

證明根據J的定義,顯然J(0)=0.利用引理5和引理6,J∈C1(Ec,R)并滿足PS條件.下面,將證明存在常數ρ,α>0滿足定理1的條件(I1).由(F2),對于任何給定的ε>0,存在η>0使得

|f(n,x)|≤ε|x|p-1,?n∈Z,|x|≤η

(15)

由式(15),有

(16)

運用式(9)及引理1,得

(17)

對于使式(16)成立的η>0及u∈Ec,則有

(18)

結合式(17)與式(18),得

|u(n)|≤η,?n∈Z

(19)

由式(10)、(16)及式(19)得

(20)

因為ε是任意的,則由式(20)得

于是

從而J滿足定理1(I1).下面證明存在e∈EcBρ使得J(e)≤0.不失一般性,可以假設在(F3)中x0=1且設α0:=min{F(n0,±1)}.根據引理7,容易驗證

F(n0,x)≥α0|x|μ,?|x|≥1

(21)

根據式(21),對于δ≥1,有

定理4假設條件(A),(B),(F1′),(F2)與(F4)滿足.則方程(1)存在一個無界的快速同宿解列.

證明顯然,J∈C1(Ec,R),J(0)=0,J是偶的(由(F4)可得)且J滿足PS條件.下面,將利用對稱山路定理證明定理2的條件(I3)成立.

(22)

(23)

由式(23)與引理7,有

(24)

根據式(24)和引理7,對于u∈Θ與σ>1,得

因為μ>p,可以選取σ0=σ0(C,τ)>1充分大，使得

J(σu)≤0,u∈Θ,σ≥σ0.

因此

可得定理2的條件(I3)成立.故J存在一無界序列臨界值{dj}j∈N,這里dj=J(uj),其中uj滿足

根據(F1′),有

(25)

因為dj→∞(j→∞),式(25)說明{uj}j∈N在Ec上是無界的.