具有脈沖效應的時滯Caputo分數(shù)階模糊慣性神經網絡的漸近穩(wěn)定性

王景峰, 柏傳志

(淮陰師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

本文考慮了下列具有脈沖效應的延遲分數(shù)階模糊神經型慣性神經網絡

(1)

其中

系統(tǒng)(1)的初值為

xi(s)=φi(s),CDβxi(s)=ψi(s), -τi≤s≤0

(2)

Yang Y和Yang L B于1996年提出模糊細胞神經網絡與模糊邏輯和神經網絡相結合理論[1]．模糊神經網絡更適合并有潛力解決實際的一些問題,在過去幾十年中,已經獲得了許多關于時滯模糊神經網絡穩(wěn)定性行為的結果[2-7].1986年,Babcock和Westervelt首次在神經網絡中引入慣性項[8].在神經網絡的實際應用中,這種慣性項的添加會導致更復雜的動力學行為,如分岔和混沌[9].因此,人們對慣性神經網絡的穩(wěn)定性進行了大量的研究,并得出了許多有趣的結果[10-12],如:與整數(shù)階微積分相比,分數(shù)階微積分對各種過程的記憶性和遺傳性有更好的描述．分數(shù)階神經網絡受到了廣泛的關注,作為一個非常重要的問題,分數(shù)階神經網絡的動力學行為分析以及平衡點的存在性、唯一性和穩(wěn)定性在過去幾十年中受到了越來越多的關注[13-19].

目前，研究具有時滯和脈沖的分數(shù)階模糊慣性神經網絡的漸近穩(wěn)定性的論文較少.基于上述的工作,本文首先提出了一類新的具有脈沖效應的延遲分數(shù)階模糊慣性神經網絡，并將文[20]的主要結果從分數(shù)階模糊神經網絡推廣到分數(shù)階模糊慣性神經網絡.其次，提供一些引理輔助主要結果證明.最后，利用壓縮映射原理證明了系統(tǒng)(1)平衡點的存在唯一性．此外,通過構造合適的Lyapunov泛函,利用導出了Caputo分數(shù)階算子與Riemann-Liouville分數(shù)階算子之間的關系及其性質,以及分式Barbalat引理, 來研究系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性.

1 預備知識和引理

本節(jié)將介紹一些關于Caputo和Riemann-Liouville分數(shù)階微積分的定義和引理.

定義1[21]函數(shù)x(t)的分數(shù)階α>0的積分定義為

定義2[21]連續(xù)函數(shù)x(t)的Riemann-Liouville的α分數(shù)階導數(shù)定義為

定義3[21]連續(xù)函數(shù)x(t)的Caputoα分數(shù)階導數(shù)定義為

引理1[22]如果u,v∈C1[0,b],α>0,則

2)DαD-αu(t)=u(t)；

3)Dα(u(t)+v(t))=Dαu(t)+Dαv(t).

引理2[21]對于0<α<1,CDαx(t)=Dα(x(t)-x(0)).

引理3[15]如果x(t)∈R是連續(xù),在[0,δ]上可導的,0

DpDqx(t)=Dp+qx(t).

引理4[15]如果x(t)∈R是連續(xù),在[0,δ]上可導的,0

D-pDqx(t)=D-p+qx(t).

引理6[24]設x(t)與y(t)是系統(tǒng)(1)的兩種狀態(tài)變量,則有

2 主要結果

本節(jié)將研究Caputo分數(shù)階模糊慣性神經網絡(1)平衡點的存在性、唯一性和漸近穩(wěn)定性, 給出本文的主要結果.

(3)

下面給出本文中要用到的假設條件：

(H1) 函數(shù)fj,gj(j=1,2,…,n) Lipschitz連續(xù)的，即存在正常數(shù)Fj,Gj使得，|fj(x)-fj(y)|≤Fj|x-y|,|gj(x)-gj(y)|≤Gj|x-y|,?x,y∈R；

定理1 假設(H1)與(H2)成立.如果存在常數(shù)mi,pi(i=1,2,…,n)使得下式成立

(4)

則系統(tǒng)(1)有唯一的平衡點.

(5)

?u=(u1,u2,…,un)T,v=(v1,v2,…,vn)T.

由條件(H1)及(H2),得到

進一步,由式(4)得到

從而‖Φ(u)-Φ(v)‖<‖u-v‖.即Φ是Rn上的收縮映射.故存在唯一的不動點u*使得Φ(u*)=u*,i.e.,

(6)

(7)

(8)

由(H3)得

CDβei(0)=CDβxi(0)=ψi(0)=0

(9)

故由式(8)和式(9)及引理1～引理3,有

CD2βei(t)=Dβ(CDβei(t)-CDβei(0))=Dβ(CDβei)(t)=

Dβ(Dβ(ei(t)-ei(0)))=Dβ(Dβei)(t)=D2βei(t)

(10)

其中0<β≤1.

通過式(10)可知系統(tǒng)(7)等價于以下系統(tǒng)

(11)

在式(11)中, 采用變量代換wi(t)=Dβei(t)+ei(t).由引理1與引理3, 有

Dβwi(t)=Dβ(Dβei(t)+ei(t))=D2βei(t)+Dβei(t).

于是系統(tǒng)(11)可以改寫為

(12)

Dβei(t)=-ei(t)+wi(t),t≠tk,

定理2 設0<β≤1,條件(H1)～(H3)成立.如果選擇適當?shù)恼齾?shù)mi與pi, 滿足式(4)及下列不等式

(13)

mi+pi(1-ai)≤0,n=1,2,…,n

(14)

則系統(tǒng)(1)有唯一的漸近穩(wěn)定的平衡點.

其中mi,pi是待定的正常數(shù).當t≠tk時, 由引理1和引理4,計算V(t)的一階導數(shù)，得

(15)

另一方面,當t=tk時,根據(jù)(H2),得到

因此,可以推斷系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的.