談?wù)劧嗝骟w的歐拉公式的應(yīng)用

呂孝莉

簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式為 V + F - E =2，其中 V 、 F 、E 分別為簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù).而我們所熟悉的凸多面體就是一種簡(jiǎn)單的多面體.多面體的歐拉公式在解題中應(yīng)用廣泛，尤其在解答與總內(nèi)角和、與面的特征、與棱的個(gè)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題中運(yùn)用多面體的歐拉公式，能有效提升解題的效率.下面列舉幾個(gè)典型的例題來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，以供讀者朋友們參考.

例1.已知一個(gè)凸多面體的棱數(shù)為30、面數(shù)為12，那么這個(gè)多面體的各個(gè)面上多邊形的內(nèi)角總和為多少？

解析：由題意可知，凸多面體的棱數(shù)為30、面數(shù)為12，根據(jù)歐拉公式可得多面體的頂點(diǎn)數(shù)為 V = E - F +2=30- 12+2= 20，所以各個(gè)多邊形內(nèi)角的總和為（V -2）× 360°=18× 360°= 6480°，故各個(gè)面上多邊形的內(nèi)角總和是6480°.

解答本題，只需直接運(yùn)用多面體的歐拉公式.我們只要求出了多面體的頂點(diǎn)數(shù) V ，再根據(jù)公式就能得出多面體的內(nèi)角總和.一般地，多面體的所有面的內(nèi)角總和為（V -2）× 360°.

例2.若一個(gè)正多面體各個(gè)面的內(nèi)角總和是3600°，請(qǐng)問(wèn)它有幾個(gè)面？

解析：根據(jù)正多面體的性質(zhì)可知：正多面體的每個(gè)面的邊數(shù)是相同的，可設(shè)其為 m ，則根據(jù)題意有 F（m -2）× 180°= 3600°，即 F·（m -2）= 20.又因?yàn)?mF =2E ，將其代入上式可得 E = F +10，再將其代入歐拉公式 V + F - E =2得 V =12.而正多面體的每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)相同，可設(shè)為 n ，所以2E = nV ，于是有 E =6n ， ，將其代入歐拉公式得 ，即

多面體各個(gè)面的邊數(shù) m ≥3，且每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)滿足3 ≤ n ≤5 .當(dāng) n =3或 n =4時(shí)，（? ）式中的 m 無(wú)整數(shù)解;當(dāng) n =5時(shí)，由（? ）得 m =3，所以 E =30，F(xiàn) =20.綜上可知多面體的面數(shù) F =20，同時(shí)也可得頂點(diǎn)數(shù)為12、棱數(shù)為30.所以此正多面體有20個(gè)面.

此題相對(duì)復(fù)雜，在解題時(shí)，我們需抓住歐拉公式中的幾個(gè)主要元素來(lái)建立等式，才能順利解出.在解題時(shí)，還用到了有關(guān)多面體的歐拉公式的兩個(gè)重要結(jié)論：（1）若多面體的每個(gè)面都是 m 邊形，則 mF =2E ;（2）若多面體從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有 n 條棱，則nV=2E 。

例 3.一個(gè)多面體的每個(gè)面都是三角形的凸多面體，其面數(shù)與頂點(diǎn)的比是4：3，試問(wèn)此多面體是幾面體？

解析：由于多面體的每個(gè)面都是三角形，由面數(shù)和棱數(shù)的關(guān)系可知3F =2E ，即 ①.又已知 F：V =4：3，則 ②，將①②代入歐拉公式 V + F - E =2，可得 F =8，即此多面體是八面體.

解答本題，同學(xué)們只要抓住歐拉公式中的關(guān)鍵元素：頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，結(jié)合題意求出這些關(guān)鍵元素，將其代入歐拉公式就能求得問(wèn)題的答案.

例4.已知銅的單晶外形是一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體，其中單晶銅有三角形和八邊形兩種晶面，如果已知銅的單晶有24個(gè)頂點(diǎn)，且以每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱，試判斷此單晶銅有多少個(gè)晶面？

解析：根據(jù)銅的單晶外形有兩種晶面，可設(shè)單晶銅有 x 個(gè)三角形晶面、y 個(gè)八邊形晶面，則 F = x + y .又知道單晶的頂點(diǎn)數(shù) V =24，而每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱，則 ，從而有 ，將其代入歐拉公式可得 ， 解此方程組可得 ， 所以此單晶銅有8個(gè)三角形晶面，6個(gè)八邊形晶面，共有14個(gè)晶面.

解答本題，需分兩種情況進(jìn)行討論，我們通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)多面體的歐拉公式建立方程組，通過(guò)解方程組便可求得問(wèn)題的答案.

例5.請(qǐng)問(wèn)正多面體共幾種？并說(shuō)明理由.

解析：由于正多面體的每個(gè)面都是多邊形且邊數(shù)相等，由同一頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)也相等，可設(shè)正多面體的每個(gè)面為 n 邊形，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出 m 條棱，則有nF=2E ， mV =2E ，將其代入歐拉公式得? ，則2n +2m - mn>0，即2n > m（n -2） ，所以 ，得3 ≤ n <6.

注意到 為整數(shù)，用特殊值驗(yàn)算知，當(dāng) n =3時(shí)，有 ;當(dāng) n =4時(shí)，有 ;當(dāng) n =6時(shí)，有 ， 綜上可知，滿足條件的正多面體只能有5種，即正四面體、正八面體、正二十面體、正六面體、正十二面體.

由于正多面體具有一定的特殊性，所以在確定正多面體應(yīng)滿足的條件后，可根據(jù)歐拉公式建立關(guān)系式，再將特殊值代入關(guān)系式中進(jìn)行驗(yàn)算，就能確定可能出現(xiàn)的不同情況，從而作出解答.

總之，多面體的歐拉公式在解答與總內(nèi)角和、與面的特征、與棱的個(gè)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用.在解題時(shí)，靈活運(yùn)用多面體的歐拉公式及其相關(guān)結(jié)論，能有效地提升解題的效率.

（作者單位：山東省濟(jì)寧市泗水縣第一中學(xué)）