巧用三角板，培養(yǎng)好建模

王春燕

【摘要】三角板是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用工具，本文從三角板的拼組、平移、旋轉(zhuǎn)和構(gòu)造等方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)、理解和應(yīng)用建模思想，在“重新發(fā)現(xiàn)”和“重新組合”知識(shí)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的建模思想。

【關(guān)鍵詞】三角板;建模; 創(chuàng)新;實(shí)踐

三角板是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用工具，一副三角板，由于它的邊和角的特殊性，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)。由于貼近生活，聯(lián)系實(shí)際，研究生活中的數(shù)學(xué)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系是數(shù)學(xué)新課程改革的重要內(nèi)容之一，因此，以三角板為背景的中考試題倍受命題者的青睞，大量出現(xiàn)在各地的中考試題中，以三角板的平移、旋轉(zhuǎn)、構(gòu)造為主要內(nèi)容的題型也層出不窮。三角板通過疊、拼、平移、旋轉(zhuǎn)等手段，能構(gòu)畫出一道道立意新穎、構(gòu)思巧妙的數(shù)學(xué)題。

建模是解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段，建模過程包括模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)及模型應(yīng)用，整個(gè)過程對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力是一個(gè)深挖掘、廣開發(fā)的過程。我們從三角板的拼組、平移、旋轉(zhuǎn)和構(gòu)造等方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)、理解和應(yīng)用建模思想，在“重新發(fā)現(xiàn)”和“重新組合”知識(shí)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的建模思想。

一、三角板的疊放

三角板是兩個(gè)特殊的直角三角形，教學(xué)時(shí)抓住邊的特征及角度的特征，充分利用直角三角形的一些性質(zhì)，如直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半;直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，直角三角形的面積法;三角板中的特殊角度：30°、45°、60°、90°等。

平時(shí)教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生像“搭積木”一樣，用拼三角板的方法畫出的各種特殊角或者判斷能否拼出哪些特殊角。

例：用拼三角板的方法能畫出哪些特殊的角。

師：同學(xué)們能用三角板畫出哪些特殊角？

生：30°、45°、60°、90°……

師：除了這些角度，用一副三角板還能畫出哪些特殊的角？請(qǐng)小組進(jìn)行合作探究。

生：75°、105°、120°、135°……

師：很好！那么用拼三角板的方法能畫出的最小度數(shù)是多少度？

生：15°

師：用拼三角板的方法畫出的特殊角有沒有規(guī)律呢？

生：老師，我們小組探究發(fā)現(xiàn)：用拼三角板的方法能畫出的最小度數(shù)是150，而我們會(huì)畫角的和倍，就可以畫15的倍數(shù)的角。

師：說得真好！請(qǐng)你們四人小組上臺(tái)用三角板畫出15倍數(shù)的特殊角（小于平角的角）。

四人小組上臺(tái)展示，孩子們報(bào)以熱烈的掌聲。

接著給出學(xué)生活動(dòng)：判斷下列角度是否能用拼三角板的方法畫出？

75°、80°、95°、155°、175°

同學(xué)們很高興地運(yùn)用剛才探索得到的結(jié)論進(jìn)行了正確的判斷。

學(xué)生在運(yùn)用三角板疊放中進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)了三角板的數(shù)學(xué)模型思想。如果學(xué)生能夠建立三角板模型，像“搭積木”一樣，在疊放中尋找三角板的模型，這樣不僅能夠幫助學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還能讓學(xué)生感悟其中的建模思想而且能夠增強(qiáng)他們的探究欲望，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)和發(fā)展他們的創(chuàng)新實(shí)踐思維能力。

二、三角板的平移

三角板的平移是一種全等變換，學(xué)生熟練運(yùn)用三角板平移的性質(zhì)：平移前后圖形的形狀和大小不變（兩個(gè)圖形是全等形）;對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等，仔細(xì)辨別出哪些是變量，哪些是不變量，以不變應(yīng)萬變，同時(shí)抓住圖形的位置關(guān)系，培養(yǎng)建模思想。

“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿和記憶;有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略”。教師可通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角板模型，感悟三角板的操作變化，引導(dǎo)學(xué)生分析三角板的運(yùn)動(dòng)過程，明確不同時(shí)段重疊圖形形狀的變化情況，將幾何中的平移知識(shí)，代數(shù)中的函數(shù)知識(shí)有機(jī)地進(jìn)行結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題中的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行探究。在教學(xué)過程中，通過學(xué)生觀察平移前后的圖形變化，向?qū)W生滲透建模思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力和歸納推理能力.。

三、三角板的旋轉(zhuǎn)

三角板的旋轉(zhuǎn)是一種全等變化，學(xué)生熟練運(yùn)用三角板旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。熟練運(yùn)用三角板邊的特征及角度的特征，建立模型思想。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)辨別哪些是變量，哪些是不變量，抓住全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等得以解決，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、建模思想、幾何知識(shí)綜合運(yùn)用能力。

例? 2014年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷第16題

如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=，則圖中陰影部分的面積等于? ? ? ? ? ? ?.

解：

∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB'C'，∠BAC=90°，AB=AC=，

∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC'=∠C'=45°，

∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，

∴AD=BC=1，AF=FC'

=sin45°AC'=AC'=1，

∴圖中陰影部分的面積等于：S△AFC'-S△DEC'=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1.

通過此題引導(dǎo)學(xué)生找出三角板的模型，讓學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角板特殊的邊角關(guān)系等知識(shí)，通過三角板特殊的邊角關(guān)系，得出AD，AF，DC′的長，培養(yǎng)學(xué)生建模思想。

四、三角板的構(gòu)造

學(xué)生眼中有圖，心中有三角板模型后，有些圖形可以通過作垂線段，構(gòu)造直角三角形，從而構(gòu)造出三角板的模型。再利用勾股定理和直角三角形含30°角的性質(zhì);在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解決幾何問題或者三角函數(shù)問題。

通過作垂線段構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，相當(dāng)于一副三角板，進(jìn)而借助三角板特殊的邊角關(guān)系解決問題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過讓學(xué)生對(duì)問題全過程的參與與自我嘗試，以探究式的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，建立模型思想，不僅掌握了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激勵(lì)學(xué)生樂于研究探索問題的起源和發(fā)展過程，抽象并建立良好的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的創(chuàng)造力得到了發(fā)展，增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，從而有利于培養(yǎng)獨(dú)立思考的品質(zhì)和探索精神，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

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（責(zé)任編輯：鄧羽婷）