設(shè)而不求 整體建構(gòu) 優(yōu)化運(yùn)算

王飛燕

[摘? 要] 平面解析幾何中各類“弦”的運(yùn)算是教學(xué)的一個重點(diǎn)，更是一個難點(diǎn)，以“弦”的運(yùn)算和設(shè)而不求的方法為中心作為一個研究主題的微專題教學(xué)因勢而生. 文章以設(shè)而不求、整體建構(gòu)、優(yōu)化運(yùn)算為目標(biāo)的微專題教學(xué)為例，對基于核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算導(dǎo)向的微專題的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行闡述.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);解析幾何;微專題;設(shè)而不求;數(shù)學(xué)運(yùn)算

[?]概述

核心素養(yǎng)是課程落實(shí)“立德樹人”這一根本任務(wù)的具體表現(xiàn)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的價(jià)值取向和實(shí)踐的內(nèi)驅(qū)力. 史寧中教授提到“開展核心素養(yǎng)的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，無論這些整體稱為‘單元還是‘主題，總之，要把這些內(nèi)容融為一體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)”[1]. 設(shè)而不求是解析幾何常用的解題方法，其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用方程思想在整體結(jié)構(gòu)上的變式和整體運(yùn)算的應(yīng)用. 根據(jù)不同的問題背景合理設(shè)置點(diǎn)的坐標(biāo)而靈活選擇運(yùn)算路徑，以減少運(yùn)算量為目的進(jìn)行問題的解決. 其精彩之處在于設(shè)而不求，巧妙建立未知和已知之間的聯(lián)系，化繁為簡，簡化運(yùn)算過程，直達(dá)問題的解決目的. 設(shè)而不求優(yōu)化了學(xué)生的解題思路，學(xué)生面對煩瑣的運(yùn)算，能通過閱讀、運(yùn)算和畫思維導(dǎo)圖等顯性化的活動來分析問題的本質(zhì)，進(jìn)而明確轉(zhuǎn)化方向，并利用數(shù)學(xué)概念的多元聯(lián)系表示，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的、直觀的表示方式，從而創(chuàng)造性地建構(gòu)從已知到未知的橋梁，并最終實(shí)現(xiàn)問題的解決[2]. 讓學(xué)生獲得更大的學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的學(xué)習(xí)品質(zhì). 因此筆者設(shè)計(jì)了這個微專題在此呈現(xiàn)，以期起到拋磚引玉的作用.

[?]教學(xué)片段

1. 設(shè)而不求類比處理兩弦關(guān)系問題

涉及兩直線與圓錐曲線的相交弦的問題，常需先設(shè)一條直線方程和其弦端點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)而不求，聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消元產(chǎn)生對應(yīng)的一元二次方程，利用韋達(dá)定理搭建相關(guān)的橋梁，獲得一個關(guān)聯(lián)式;再通過類比，同理產(chǎn)生另一關(guān)聯(lián)式. 這樣處理的優(yōu)化運(yùn)算能起到事半功倍之效.

例1（2021·全國卷Ⅰ）：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F（-，0），F(xiàn)（，0），點(diǎn)M滿足

MF-

MF=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解：（1）易求C的方程為x2-=1（x≥1）.

（2）設(shè)T

，n

，A（x，y），B（x，y），設(shè)AB的方程是y-n=k

x-

，由

y-n=k

x-

，

x2-

=1，得（16-k）x2+（k-2k1n）x-k-n2+kn-16=0，所以x+x=，xx=，TA=·

x-

，TB=

x-

，所以TA·TB=（1+k）

x-

x-

=. 設(shè)PQ的方程是y-n=k

x-

，同理得TP·TQ=. 因?yàn)門A·TB=TP·TQ，所以=，即1+=1+，所以k-16=k-16，即k=k. 因?yàn)閗≠k，所以k+k=0.

2. 設(shè)而不求同構(gòu)處理切點(diǎn)弦問題

涉及圓錐曲線兩切線的問題時，若先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)（切線方程），設(shè)而不求，得到兩切線方程，進(jìn)而同構(gòu)處理切點(diǎn)弦方程，將會減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.

例2（2019·全國卷Ⅲ）：已知曲線C：y=，D為直線y=-上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn);

（2）若以E

0，

為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

解：（1）設(shè)D

t，-

，A（x，y），B（x，y），因?yàn)閥′=x，所以k=x=. 又x=2y1，整理得2tx-2y+1=0. 同理得2tx-2y+1=0. 所以直線AB的方程為2tx-2y+1=0，故直線AB過定點(diǎn)

0，

.

（2）由（1）得直線AB的方程為y=tx+，由y=

，

y=tx+，可得x2-2tx-1=0，所以x+x=2t，xx=-1，則y+y=t（x+x）+1=2t2+1，AB=

x

-x=·=2（1+t2）. 設(shè)d，d分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d=，d=. 因此，S=·AB（d+d）=（t2+3）. 設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，則M

t，t2+

. 因?yàn)椤停?（t，t2-2），與向量（1，t）平行，所以t+（t2-2）t=0，解得t=0或t=±1. 當(dāng)t=0時，S=3;當(dāng)t=±1時，S=4. 故四邊形ADBE的面積為3或4.

3. 設(shè)而不求的點(diǎn)差法處理四類相交弦問題

圓錐曲線與直線的相交弦問題，常見的有“中點(diǎn)弦”“軸對稱弦”“中心對稱弦”以及“過焦點(diǎn)的弦”等問題背景，對于這四類弦都可以實(shí)施設(shè)而不求的方法，利用圓錐曲線方程構(gòu)建點(diǎn)差法快捷解決相交弦的運(yùn)算問題.

（1）處理”中點(diǎn)弦“問題. 直線與圓錐曲線的相交弦問題若涉及中點(diǎn)和斜率，常采用設(shè)而不求構(gòu)建點(diǎn)差法進(jìn)行處理，能達(dá)到簡潔明快之效果.

例3（2020·湖北八校聯(lián)考）：已知點(diǎn)M

，

在橢圓C：+=1（a>b>0）上，且點(diǎn)M到橢圓C的左、右焦點(diǎn)的距離之和為2.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓C的弦AB的中點(diǎn)在線段OM（不含端點(diǎn)O，M）上，求·的取值范圍.

解：（1）易求橢圓C的方程為+y2=1.

（2）設(shè)A（x，y），B（x，y），則AB的中點(diǎn)

，

在線段OM上. 由已知得k=，所以x+x=2（y+y）. 聯(lián)立

+y

=1，

+y

=1，兩式作差得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，k==-= -1. 設(shè)直線AB的方程為y=-x+m，聯(lián)立

+y2=1，

y=-x+m，得3x2-4mx+2m2-2=0. 由Δ=8（3-m2）>0，所以m2<3且x+x=，x·x=. 又=∈

0，

，所以0

-，

. 所以·的取值范圍是

-，

.

（2）處理“軸對稱弦”問題.涉及圓錐曲線的“軸對稱弦”問題，實(shí)施設(shè)而不求的點(diǎn)差法進(jìn)行處理，能較大降低運(yùn)算量，簡化求解過程.

例4：已知M，N是橢圓+=1（a>b>0）上的兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)Q（0，t），求t的取值范圍.

解：設(shè)M（x，y），N（x，y），聯(lián)立

+

=1，

+

=1，兩式作差得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k== -. 又因?yàn)镸N的垂直平分線的斜率k==，所以-·= -1，求得t=

1-

·

. 因?yàn)閥≠y，所以-b<

-，

.

（3）處理“中心對稱弦”問題. 利用中心對稱關(guān)系設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，用設(shè)而不求的點(diǎn)差法處理圓錐曲線“中心對稱弦”問題，常能出奇制勝.

例5：已知M，N是雙曲線-=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，P是雙曲線上任意異于M，N的點(diǎn)，求證：MP與NP的斜率之積為定值.

解：設(shè)M（x，y），P（x，y），則N（-x，-y），所以-=1，-=1. 所以k·k=·===.所以MP與NP的斜率之積為定值.

（4）處理“焦點(diǎn)弦”問題. 通過設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求或韋達(dá)定理，實(shí)施點(diǎn)差法處理圓錐曲線的“焦點(diǎn)弦”問題，使問題的解決顯得明快、高效.

例6：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py交于M，N兩點(diǎn)，且MF+NF=4OF，求雙曲線的離心率.

解法一：設(shè)M（x，y），N（x，y），所以MF+NF=y++y+=4OF=4×，即y+y=p. 由x2=2py，

-

=1，得a2y2-2pb2y+a2b2=0，所以y+y==p，求得=，求得e=.

解法二：設(shè)M（x，y），N（x，y），同上求得y+y=p，k===. 由

-

=1，

-

=1，兩式作差得·（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k===·=，求得=，所以e=.

[?]體會和啟示

在解析幾何問題的求解中運(yùn)用設(shè)而不求的方法，能夠開拓學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生靈活處理問題的能力. 設(shè)而不求的方法能幫助學(xué)生靈活、快速、簡潔、高效地解答問題，很大程度上提高了解題的正確率，能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

微專題是為知識的遷移而教，為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)而教. 微專題教學(xué)要立足于學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，要從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)教學(xué)，激活學(xué)生的知識，讓學(xué)生構(gòu)建解決問題有較為清晰的“思維路線圖”，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 讓不同層次的學(xué)生獲得不同程度的收獲與體驗(yàn)，在日常教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是極為有益的[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七[J]. 課程·教材·教法，2017（04）.

[2]? 黃云. 直面問題 展現(xiàn)思路 積累經(jīng)驗(yàn)——基于“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”下的問題解決講評[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（10）.