孫曉紅

[摘? 要] 解析幾何的思想和方法是用代數(shù)方法（即方程）研究平面幾何圖形性質(zhì)的，雙曲線的漸近線需要學(xué)生從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中發(fā)現(xiàn)、探究和證明，這也是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn). 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)教給學(xué)生解決解析幾何問題的思想和方法，以及用歸納、猜想、證明的思維過程發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;雙曲線;漸近線

[?] 說教材

本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“雙曲線的幾何性質(zhì)”.

1. 本節(jié)教材的地位和作用

這節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-1第二章第三節(jié)“雙曲線”第二課時(shí)，是學(xué)習(xí)圓錐曲線的重要組成部分，通過本節(jié)學(xué)習(xí)能進(jìn)一步鞏固圓錐曲線的思想體系和學(xué)習(xí)方法. 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì)，很容易類比出雙曲線的幾何性質(zhì)，包括范圍、對稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)和離心率等，但雙曲線的漸近線是雙曲線所獨(dú)有的性質(zhì)，如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)性質(zhì)，并利用數(shù)學(xué)邏輯推理嚴(yán)格證明，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力以及發(fā)現(xiàn)問題、獨(dú)立思考問題、解決問題的能力，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神及創(chuàng)新能力，具有極其重要的作用.

2. 說核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實(shí)

根據(jù)2017年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)課可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)能力. 核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實(shí)情況如下：

（1）數(shù)學(xué)抽象. 解析幾何的思想和方法是數(shù)形結(jié)合，主要研究兩大問題：一是由曲線得到方程;二是利用方程研究曲線的幾何性質(zhì). 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此標(biāo)準(zhǔn)方程概括出曲線的圖形特征，達(dá)到數(shù)與形的完美契合.

（2）邏輯推理. 學(xué)生利用類比推理，根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)的推導(dǎo)方法，得出了雙曲線的幾何性質(zhì);通過變換雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，猜想出漸近線的存在，并用距離公式演繹論證，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，為日后的科學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（3）數(shù)學(xué)運(yùn)算. 解析幾何學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是通過圓錐曲線培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 通過探究雙曲線的幾何性質(zhì)，學(xué)生可以掌握數(shù)學(xué)式子化簡、變形的技巧，掌握解決方程消元和求不等式中參數(shù)取值范圍的方法，掌握復(fù)雜運(yùn)算的計(jì)算方法和易錯(cuò)步驟，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

3. 說教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

基于以上分析，我們確定本節(jié)課的重點(diǎn)是雙曲線漸近線的推導(dǎo)證明過程，難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線. 這節(jié)課的思維歷程正好是“認(rèn)知沖突—大膽猜想—推理論證—實(shí)踐應(yīng)用”，這對于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)發(fā)現(xiàn)、邏輯思維和創(chuàng)新實(shí)踐能力具有極其重要的作用！

4. 說教學(xué)準(zhǔn)備

教師：準(zhǔn)備多媒體教學(xué)課件、下載歌曲《悲傷雙曲線》.

學(xué)生：復(fù)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，回憶其發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)的過程.

[?] 說教法

本節(jié)課利用多媒體輔助教學(xué)，教師設(shè)置一個(gè)又一個(gè)的認(rèn)知沖突，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)雙曲線漸近線的存在，并進(jìn)行推理證明. 同時(shí)，采用類比的教學(xué)方式，讓學(xué)生自己推導(dǎo)雙曲線的其他性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和科學(xué)論證的能力.

[?] 說學(xué)法

學(xué)生采用自主學(xué)習(xí)和小組合作交流的學(xué)習(xí)方式，借助原有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比分析，得出雙曲線的性質(zhì);通過思考、討論、交流，突破認(rèn)知沖突，完善思維的批判性和完整性，本節(jié)課從始至終學(xué)生進(jìn)行一場激烈的思維體操訓(xùn)練.

[?] 說教學(xué)過程

1. 思想的引領(lǐng)與知識的回顧

問題1：解析幾何研究的基本問題是什么？

設(shè)計(jì)意圖：解析幾何的思想是數(shù)形結(jié)合，即用代數(shù)的方法（方程）研究平面幾何圖形. 主要研究兩大問題，一是由圖形得到曲線方程;二是利用方程研究圖形的性質(zhì). 把它設(shè)計(jì)為開篇第一大問題，是希望這一主題思想貫穿整節(jié)課的始終. 同時(shí)，也讓這種思想在學(xué)生頭腦中根深蒂固，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何問題，并為下一個(gè)問題做好鋪墊.

問題2：橢圓的幾何性質(zhì)都有哪些？你能否類比橢圓的研究方法，研究雙曲線的幾何性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：不僅回顧知識，還回顧知識的產(chǎn)生過程，為研究雙曲線的對稱性、范圍、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)和離心率等性質(zhì)做好了充分的準(zhǔn)備. 在此過程中，學(xué)生學(xué)會利用類比推理發(fā)現(xiàn)問題和解決問題. 講解此內(nèi)容時(shí)教師首先需要強(qiáng)調(diào)的是以上性質(zhì)都是由方程推導(dǎo)出來的，不能僅憑圖像直觀感受，還要用代數(shù)方法嚴(yán)格論證，這也與本節(jié)的思想相契合;其次是圓錐曲線的頂點(diǎn)是曲線與對稱軸的交點(diǎn)，從圖像和方程兩方面驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，學(xué)習(xí)后面的拋物線學(xué)生自然就知道它為什么只有一個(gè)頂點(diǎn)了. 教師在課堂說的每一句話、每一個(gè)手勢、甚至每一個(gè)眼神的暗示都要有自己的目的，為后續(xù)內(nèi)容鋪平道路，這樣課堂也就鮮活了起來，教師和學(xué)生容易產(chǎn)生共鳴.

2. 第一次認(rèn)知沖突

問題3：能否利用上述性質(zhì)畫出雙曲線-=1的圖像？

做法：讓學(xué)生到黑板上畫雙曲線-=1的圖像，學(xué)生只會畫出曲線的大致形狀，但曲線向上、向右的變化趨勢無法確定. 學(xué)生納悶.

畫出雙曲線-=1的圖像

[x 4 5 6 7 8 9 y 0 3 ]

追問：難道我們還有幾何性質(zhì)沒研究出來？那該怎么辦？

學(xué)生回答：回到方程，繼續(xù)探究.

設(shè)計(jì)意圖：通過畫雙曲線，讓學(xué)生有了第一次認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)研究出來的性質(zhì)不夠用. 由此，學(xué)生才會有了繼續(xù)探究的欲望，也為漸近線的出場打好了伏筆.

3. 發(fā)現(xiàn)與猜想——第一次高潮

學(xué)生活動(dòng)：通過小組交流討論，教師適當(dāng)引領(lǐng)，學(xué)生從方程的變形中發(fā)現(xiàn)：-=-1，可得<，所以-x

問題4：這說明什么？

學(xué)生：雙曲線夾在兩條線y=±x之間.

追問1：這兩條直線與雙曲線是什么關(guān)系？

學(xué)生：是雙曲線的漸近線.

追問2：什么叫漸近線？雙曲線一定有漸近線嗎？我們現(xiàn)在經(jīng)歷的是什么思維過程？

學(xué)生：漸近線是逐漸逼近圓錐曲線的直線. 從方程看，雙曲線一定有漸近線，但現(xiàn)在還只是猜想的過程.

追問3：數(shù)學(xué)猜想之后需要干什么？

學(xué)生：嚴(yán)格推理證明.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)方程的新特點(diǎn)，從而猜想出雙曲線漸近線的存在，大膽猜想并自然過渡到下一階段的證明. 學(xué)生親身經(jīng)歷了“認(rèn)知障礙—數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)—大膽預(yù)測—嚴(yán)格論證”四個(gè)階段，本節(jié)課達(dá)到了第一次高潮！

4. 思維碰撞，頭腦風(fēng)暴——第二次高潮

問題5：如何用嚴(yán)密的代數(shù)推理證明y=±x是雙曲線-=1（a>0，b>0）的漸近線？

雙曲線-=1（a>0，b>0）的漸近線：

方案1：考察M到直線的距離

MQ

;

方案2：考察同橫坐標(biāo)的兩點(diǎn)間距離

MN

;

方案3：考察同縱坐標(biāo)的兩點(diǎn)間距離

MP

.

追問1：在數(shù)學(xué)中用什么量描述曲線在無窮遠(yuǎn)處，無限接近某條直線的程度？

學(xué)生會想到用距離來描述.

追問2：有多少種距離可以描述這種無限逼近的程度？

做法：讓學(xué)生分組討論，組內(nèi)學(xué)生進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，每組展示解決問題的方案;然后，全班同學(xué)再進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，研究出運(yùn)算量較小的方案是用水平距離或豎直距離來描述直線y=±x與雙曲線-=1（a>0，b>0）的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：層層設(shè)問，把圖形的直觀表象用數(shù)學(xué)語言描述出來，再進(jìn)一步用數(shù)學(xué)方法加以刻畫. 同時(shí)，讓學(xué)生自行設(shè)計(jì)方案，尋找最佳解決方法，既達(dá)到了思維的碰撞，也提升了解決問題的能力.

5. 第二次認(rèn)知沖突

教師活動(dòng)：教師引領(lǐng)學(xué)生證明：當(dāng)x→ +∞，x-=

→0，并高度概括雙曲線的漸近線對雙曲線形狀與性質(zhì)所起的巨大作用.

問題6：漸近線對雙曲線如此重要，能否巧妙地畫出雙曲線的漸近線？

教師活動(dòng)：既然是巧妙地畫就不能生畫，學(xué)生如果能想到橢圓的畫法最好，如果想不到，教師就引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的畫法，想到橢圓的矩形外框，由此聯(lián)系到雙曲線中的矩形對角線正是漸近線，進(jìn)而引出雙曲線的實(shí)軸和虛軸的概念.

如何巧妙地畫出雙曲線的漸近線？

線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長為2a，a叫作實(shí)半軸長;

線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長為2b，b叫作虛半軸長;

設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課學(xué)生的第二次認(rèn)知沖突，從圖形的角度設(shè)計(jì)的認(rèn)知沖突，與第一次的認(rèn)知沖突是層層遞進(jìn)的關(guān)系. 首先，這樣的設(shè)計(jì)可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化和結(jié)合的能力;其次，通過類比，讓學(xué)生體會圓錐曲線在知識和方法上的和諧統(tǒng)一.

教師活動(dòng)：請學(xué)生重新畫出雙曲線-=1的圖像.

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)畫雙曲線的步驟，與第一次認(rèn)知沖突遙相呼應(yīng).

追問：已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何巧妙地求漸近線方程？

學(xué)生只需讓雙曲線方程中的“常數(shù)”變?yōu)椤?”.

設(shè)計(jì)意圖：從代數(shù)方程的角度設(shè)計(jì)的認(rèn)知沖突，到此學(xué)生對漸近線的數(shù)形特征全面掌握，為本節(jié)課的課后探究做好鋪墊，也是本節(jié)的第三次高潮！

6. 課后探究

問題7：當(dāng)漸近線方程確定的時(shí)候，雙曲線方程是否確定？

設(shè)計(jì)意圖：承上啟下的作用，為下一節(jié)課的內(nèi)容做好準(zhǔn)備.

7. 點(diǎn)睛之筆

學(xué)生欣賞歌曲《悲傷雙曲線》，附上歌詞：

悲傷的雙曲線

曲/編：金培達(dá) 詞：高雪嵐

如果我是雙曲線

你就是那漸近線

如果我是反比例函數(shù)

你就是那坐標(biāo)軸

雖然我們有緣

能夠生在同一個(gè)平面

然而我們又無緣

慢慢長路無交點(diǎn)

為何看不見

等式成立要條件

難道正如書上說的

無限接近不能達(dá)到

如果我是雙曲線

你就是那漸近線

如果我是反比例函數(shù)

你就是那坐標(biāo)軸

雖然我們有緣

能夠生在同一個(gè)平面

然而我們又無緣

慢慢長路無交點(diǎn)

為何看不見

等式成立要條件

難道正如書上說的

無限接近不能達(dá)到

為何看不見

明月也有陰晴圓缺

此事古難全

但愿千里共嬋娟

此事古難全

但愿千里共嬋娟

教師活動(dòng)：總結(jié)雙曲線與漸近線和諧共生的關(guān)系，上升到人類情感的高級階段：有共同的奮斗目標(biāo)，既相互獨(dú)立，又彼此遙望，相互扶持，共同成長.

設(shè)計(jì)意圖：把音樂引入數(shù)學(xué)課堂，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)從知識和方法中滲透人文精神，對學(xué)生進(jìn)行感情教育，起到畫龍點(diǎn)睛的作用.

[?] 說板書設(shè)計(jì)