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    關于一道函數與不等式問題的多解探究

    2021-11-03 19:31:19王麗玲
    數學教學通訊·高中版 2021年8期
    關鍵詞:分類討論構造不等式

    王麗玲

    [摘? 要] 導數是研究函數與不等式問題的重要工具,也是高中數學的重點知識,在高考中備受命題人青睞. 通常函數與不等式、導數問題解析過程需要轉化問題,構造函數,利用導數知識來分析函數性質,問題的解法雖較為多樣,但導數始終是解此類題的關鍵知識. 文章圍繞一道函數與不等式問題,開展解法探究,多解思考,并立足教學,提出相應的建議.

    [關鍵詞] 函數;導數;不等式;構造;分類討論

    [?]問題探究

    問題再現(xiàn):(2021年八省聯(lián)考數學卷第22題)已知函數f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

    (1)證明:當x>-時,f(x)≥0;

    (2)若g(x)≥2+ax,求a.

    問題解析:上述是一道函數與不等式壓軸題,考查函數與不等式、導數的相關知識,問題所涉兩問均可歸為不等式成立問題,可利用導數來研究函數的性質. 常規(guī)思路是基于不等式構造函數,利用函數對應的導函數來研究其性質,逐步探究函數的值域,從而證明不等式或轉化不等式問題.

    (1)x的取值范圍影響f(x),需要分別討論x在

    -,-

    ,

    -,0

    和[0,+∞)三個區(qū)間內的情形,具體如下.

    ①當x∈

    -,-

    時,f(x)=ex-sin

    x+

    >0;

    ②當x∈

    -,0

    時,f′(x)=ex-cosx+sinx,f′(0)=0,f″(x)=ex+sinx+cosx=ex+sin

    x+

    >0,則函數f′(x)在

    -,0

    上單調遞增,則有f′(x)

    -,0

    上單調遞減,則f(x)>f(0)=0;

    ③當x=0時,由函數的解析式可得f(0)=1-0-1=0,當x∈[0,+∞)時,構造函數H(x)=-sinx+x(x≥0),則H′(x)=-cosx+1≥0,故函數H(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,從而有H(x)≥H(0)=0,即-sinx≥ -x,則函數f(x)=ex-sinx-cosx≥ex-x-1. 令y=ex-x-1,對其求導可得y′=ex-1,當x≥0時,y′≥0,故y=ex-x-1在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,所以函數的最小值y=e0-0-1=0,推理可得ex-x-1≥0,故函數f(x)=ex-sinx-cosx≥ex-x-1≥0.

    綜上可知,當x>-時,f(x)≥0.

    (2)該問探究g(x)≥2+ax時a的取值,其中a為參數,可歸為含參不等式恒成立問題,參數a的取值將影響到不等式的成立,常見的方法是分離參數法.

    ①當x=0時,g(0)=2,顯然不等式g(x)≥2+ax時,有a∈R.

    ②當x>0時,g(x)≥2+ax等價于a≤,記F(x)=,對應導函數F′(x)=. 構造函數φ(x)=(x-1)ex+x(cosx-sinx)-sinx-cosx+2,對應導函數為φ′(x)=x(ex-sinx-cosx). 由(1)問可知,x>0,ex-sinx-cosx>0,所以x>0時,φ′(x)>0,故函數φ(x)在區(qū)間上單調遞增,可推得φ(x)>φ(0)=0,則有F′(x)>0,所以函數F(x)在(0,+∞)上單調遞增. x>0時,F(xiàn)(x)>F(x)=2,所以a≤2.

    ③當-π0,所以-πφ(0)=0,則有F′(x)>0,所以函數F(x)單調遞增. -π

    ④當x≤-π時,令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2,驗證可知a=2時,有ex+sinx+cosx-2x-2≥0-+π-2>0,符合條件.

    綜上可知,a=2.

    問題評析:上述考題屬于函數與不等式相結合的導數分析問題,兩問分別求證特定區(qū)間下不等式恒成立,不等式恒成立時參數的取值,問題解析需要利用導數的相關知識來研究不等式,上述解析時采用了如下解題技巧.

    技巧1:構造新函數,利用導函數來研究函數的性質,求出最值,推導參數的取值范圍;

    技巧2:分離參數或變量,將不等式問題中的變量置于不等號的一側,基于另一側構造函數,從而將不等式問題轉化為研究函數的值域;

    技巧3:分類討論變量,對于其中的參數或變量采用分類討論的策略,將復合函數變?yōu)閰^(qū)間上的單調函數,降低解析難度.

    [?]解法拓展

    上述考題的第(2)問是核心之問,其解析難度也較大,上述解析時采用了分離參數的方法,實際上該問的解析方法眾多,還可以采用函數最值、切線不等式兩種方法來構建思路,下面具體探究解析過程.

    拓展解法——函數最值

    函數最值法,其核心是將不等式問題轉化為函數最值,故需要基于不等式構造新函數,然后解析函數在定義域上的取值. 該問題中需要對參數進行分段討論,論證函數的最值是否符合題意.

    若g(x)≥2+ax,則g(x)-2-ax≥0,即ex+sinx+cosx-2-ax≥0,故可對不等式兩邊同乘e-x(e-x>0),整理可得e-x(sinx+cosx-ax-2)+1≥0,x∈R. 構造函數F(x)=e-x(sinx+cosx-ax-2)+1,x∈R,即探究F(x)≥0時a的取值即可. 求導函數F′(x)=e-x(-2sinx+ax+2-a),記φ(x)= -2sinx+ax+2-a,φ′(x)=-2cosx+a.

    ①當a>2,則φ′(x)>0,φ(x)單調遞增,因為φ(0)=2-a<0,φ(π)>0,所以存在x∈(0,π)使得φ(x)=0. 當x∈(0,x),φ(x)<0,即F′(x)<0,所以F(x)在(0,x)上單調遞減,F(xiàn)(x)

    ②當-20,φ′(0)=a-2<0,所以存在x∈(-π,0)使得φ′(x)=0. 當x∈(x,0),φ′(x)<0,故φ(x)在(x,0)上單調遞減,故有φ(x)>φ(0)=2-a>0,則當x∈(x,0)時,F(xiàn)′(x)>0,可知F(x)在(x,0)上單調遞增,所以x∈(x,0)時,F(xiàn)(x)

    ③當a≤-2,易知φ′(x)≤0,則φ(x)單調遞減,則當x<0時,φ(x)>φ(0)=2-a>0,可推知當x<0時,F(xiàn)′(x)>0,知F(x)在區(qū)間上單調遞增. 所以當x<0時,F(xiàn)(x)

    ④當a=2,可得φ′(x)=2-2cosx≥0,則φ(x)單調遞增. 因為φ(0)=0,所以x∈(-∞,0)時,φ(x)<0,即F′(x)<0,故F(x)在區(qū)間上單調遞減;x∈(0,+∞)時,φ(x)>0,即F′(x)>0,故F(x)在區(qū)間上單調遞增. 故可知F(x)≥F(0)=0滿足題意.

    綜上可知,若g(x)≥2+ax,可知a=2.

    評析:上述探究不等式參數問題時采用了函數最值法,解析過程有兩大細節(jié)需要關注:一是處理不等式時,對不等式的兩邊同除以ex,避免了ex對所構造函數的導函數正負值的干擾;二是解析過程充分把握特殊點的函數值,觀察到F(0)=0這一特殊情形.

    [?]教學反思

    函數與導數問題的綜合性極強,上述問題涉及了函數、導數、不等式等知識定理,以及構造、分類討論、化歸轉化等思想方法,重點考查了學生的知識綜合、邏輯推理能力. 深入探究不僅可以指導學生掌握函數與導數問題的解法策略,還可以拓展學生思維,提升學生素養(yǎng),下面深入反思,提出幾點建議.

    1. 盤點難點,牢實基礎

    導數的知識定理是函數與不等式、導數問題解析的核心,而在探究學習時需要針對性地盤點導數應用的關鍵知識點,深刻理解導數知識. 如利用導數的幾何意義求切線方程,理解導數與切線方程的關系;利用導函數判斷函數單調性,關注其中“必要不充分”的實際意義;利用導數解析函數某點處的極值點,把握存在極值點的條件. 解題教學中要立足教材內容,不能脫離課本來探究解題方法,要將教材的定理定義、概念公式作為學習的重點,學“精”求“細”,幫助學生牢實基礎,熟練地應用知識定理解析綜合性問題.

    2. 多解探究,方法總結

    往往函數與導數、不等式問題的解法不唯一,上述以一道函數與不等式問題為例,呈現(xiàn)了四種解題方法,涉及了分離參變量、函數最值法、切線不等式、極值定義等,從不同的視角進行問題解析,按照不同方法構建了相應的解題思路. 開展多解探究可幫助學生深刻理解問題,把握問題的本質,同時可有效拓展學生的思維. 而在實際教學中不僅需要立足考題開展多解探究,還應注重問題總結、方法訓練,引導學生關注問題特征,圍繞考題進行解法分析,關注核心概念、思路構建、技巧解析,讓學生回歸解法本身,從根本上掌握解題方法.

    3. 拓展思考,素養(yǎng)提升

    開展解法探究,應注重解后分析、拓展思考,即依托考題探究來拓展解法,激活學生的創(chuàng)新思維. 函數與導數、不等式問題常作為壓軸題出現(xiàn),在探究時要注重剖析數學的思維過程,講評中揭示思路的構建過程,挖掘其中的思路線索,讓學生的思維得到充分的歷練. 尤其是對于創(chuàng)新性極強的高考題,要引導學生分步探究,破除思維困局,給學生留足思考空間,讓學生思考新解法,探究新思路,通過不斷的解題探究讓學生“學”有所“思”,“思”有新“得”. 同時探究過程注重數學思想,方法技能的傳達,使學生的綜合素養(yǎng)同步提升.

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