基于現(xiàn)象教學(xué)的還原原則探究

顧衛(wèi)清

[摘? 要] 文章以橢圓的方程作為一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，由學(xué)生自主生成還原橢圓“三定義”并加以應(yīng)用，同時(shí)對(duì)還原原則進(jìn)行歸類，讓學(xué)生成為課堂的主人.

[關(guān)鍵詞] 現(xiàn)象教學(xué);還原原則;橢圓定義

如果將學(xué)過的知識(shí)，當(dāng)知識(shí)教，學(xué)生成了知識(shí)的接受者;當(dāng)能力教，學(xué)生成了解題的熟練工;當(dāng)現(xiàn)象教，學(xué)生成了能動(dòng)者、創(chuàng)造者.

華羅庚先生曾經(jīng)說過這樣類似的話：“退，足夠地退，退到最基本而不失去重要性的地方. ”下面筆者將橢圓的定義作為出發(fā)點(diǎn)，以橢圓的復(fù)習(xí)課為案例，來說明現(xiàn)象教學(xué)中的還原原則.

[?]教學(xué)設(shè)計(jì)片段

1. 橢圓“三定義”

師：請(qǐng)問：當(dāng)你看到+=1時(shí)，你有什么聯(lián)想？

生：是橢圓.

生：是橢圓方程.

生：是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程.

生：就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

……

師：同學(xué)們說得都有道理！那你能說說它是怎么來的嗎？

生：它是我們將橢圓置于坐標(biāo)系中，代數(shù)化產(chǎn)生的.

師：如何代數(shù)化，可否詳細(xì)解說一下？

生：建系、設(shè)點(diǎn)、找限制條件、代入、化簡(jiǎn)產(chǎn)生.

師：第一步建系有什么要求？隨意建系即可？

生：建系其實(shí)沒什么要求，只要建系設(shè)置得當(dāng)，就會(huì)使得我們得到的方程較為簡(jiǎn)便. 上述給的方程就是以橢圓的兩焦點(diǎn)所在的直線為x軸，兩焦點(diǎn)所在線段的中垂線為y軸，而最終產(chǎn)生的方程.

師：嗯，說得非常好！今天我們來瞧瞧其限制條件是從哪里來的.

生：根據(jù)橢圓的定義得到的. 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之和等于常數(shù)（大于

F

F）的點(diǎn)的軌跡. （展示橢圓的第一定義）

師：我們重溫一下當(dāng)初利用橢圓的第一定義產(chǎn)生橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程. （PPT展示如下過程）

PF+PF=2a，得+=2a.

將這個(gè)方程移項(xiàng)后兩邊進(jìn)行平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，即a2-cx=a.

兩邊再進(jìn)行平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

因?yàn)閍2-c2>0，所以可設(shè)a2-c2=b2（b>0），于是得到b2x2+a2y2=a2b2，即+=1（a>b>0）.

師：所以之前給的+=1就是同學(xué)們說的橢圓方程嗎？

生：當(dāng)a2>b2時(shí)，是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程;當(dāng)a2

師：在方程推導(dǎo)過程中，我們將a2-cx=a變形為=. 你能解釋這個(gè)方程的幾何意義嗎？

生：這個(gè)等式表明，橢圓上任意一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是離心率. 也就是我們橢圓第二定義的由來. （展示橢圓的第二定義）

師：我們繼續(xù)看+=1.

下面師生合作，做如下變形：

b2x2+a2y2=a2b2，

a2y2=a2b2-b2x2=b2（a2-x2）.

當(dāng)x≠±a時(shí)，=-，即·=-.

于是發(fā)現(xiàn)此橢圓上任意一點(diǎn)（除去左、右頂點(diǎn)）與左、右兩頂點(diǎn)所在直線的斜率乘積為定值-.

若做如下變形：

b2x2+a2y2=a2b2，

b2x2=a2b2-a2y2=a2（b2-y2），

當(dāng)y≠±b時(shí)，·=-.

于是又發(fā)現(xiàn)此橢圓上任意一點(diǎn)（除去上、下頂點(diǎn)）與上、下兩頂點(diǎn)所在直線的斜率乘積為定值-.

以上兩種類型中任何一種情形，都可以令我們反其道而行之，進(jìn)而生成是否會(huì)有平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率乘積為一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡的念頭，即產(chǎn)生橢圓的第三定義，接下來則是進(jìn)行理論的論證，學(xué)生可自行完成驗(yàn)證. （展示橢圓的第三定義）

上述這樣兩種情況下的定值都是 -，是巧合還是一種必然，如果學(xué)生深入發(fā)現(xiàn)，可以進(jìn)一步進(jìn)行推廣，于是生成了橢圓上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)所在直線的斜率的乘積是定值的念頭，進(jìn)而論證即可.

橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)頂點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之和等于常數(shù)（大于

F

F）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.

橢圓的第二定義（統(tǒng)一定義）：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離與到一條定直線l（點(diǎn)F不在直線l上）距離的比等于一個(gè)常數(shù)e（0

橢圓的第三定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率乘積為一個(gè)常數(shù)（該常數(shù)記e2-1∈（-1，0））的點(diǎn)的軌跡. （未含兩定點(diǎn)）

設(shè)計(jì)意圖：通過給出現(xiàn)象+=1，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行解釋，用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，而學(xué)生本身對(duì)橢圓及方程已有一定的了解，“所見即所思”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它是橢圓的方程，進(jìn)而追溯橢圓方程的由來. 整個(gè)復(fù)習(xí)過程以學(xué)生為主體，充分地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，打開學(xué)生思維的空間，直面現(xiàn)象.

2. 例題精析

例1：已知橢圓+=1的右焦點(diǎn)為F，A（6，6）為定點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，求PA-PF的最小值. （橢圓的第一定義）

設(shè)計(jì)1：此題用代數(shù)的方法，設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)之間的距離公式來解題，顯然將問題復(fù)雜化了，很難解答此題. 而用幾何法，將PF的長度用第一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，設(shè)E是橢圓的左焦點(diǎn)，則PA-PF=PA-（2a-PE）=PA+PE-8，利用兩點(diǎn)之間線段最短的公理，可得到PA+PE≥AE==10，故PA-PE的最小值是2.

此分析雖能讓學(xué)生理解其解答過程，但對(duì)解答中將-PF轉(zhuǎn)化為PE，學(xué)生雖能接受，但屬于被告知，學(xué)生的思維未得到很好的發(fā)展.

設(shè)計(jì)2：把這個(gè)題目直接給學(xué)生，教師則一副“事不關(guān)己高高掛起”的樣子：事情擺在這兒，你說該怎么辦吧.

活動(dòng)：學(xué)生把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行考察，注意不同學(xué)生的觀察會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)，每個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的都是他心里所能認(rèn)識(shí)的. 說一句直白的話：你只能看見你想看見的東西. 也就是說，觀察都有目的性. 理性的人帶著目的去觀察，他能發(fā)現(xiàn)與目的相符或不相符的結(jié)論;懵懂的人觀察沒有目的性，所獲很少也很膚淺.

欲求最小值，猜想點(diǎn)P的位置應(yīng)該具有某種特殊性，然后通過考察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上的四個(gè)頂點(diǎn)并非是符合最小值的點(diǎn)P，故心理萌生出點(diǎn)P的位置不在其“特殊位置”的想法，可又與初始的想法背道而馳，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，一下子激發(fā)學(xué)生解決問題的好奇心，并迫使他們對(duì)除四個(gè)頂點(diǎn)位置以外的點(diǎn)進(jìn)行考察. 因?yàn)檫@些位置的一般性，要研究其大小，可度量進(jìn)行比對(duì). 通過度量，發(fā)現(xiàn)最小值時(shí)的位置，而在該位置又感覺其并非有特殊性，與思維中固有的特殊位置確認(rèn)違背，更讓人匪夷所思. 因?yàn)槎攘砍鰜淼慕Y(jié)果，能讓人更具有理性，此刻理性已經(jīng)戰(zhàn)勝感性，不得不認(rèn)可此位置的點(diǎn)P，但內(nèi)心深處總還是有些不甘心，故而將重心移至探究此位置點(diǎn)P的特殊性，直至發(fā)現(xiàn)延長AP后是過左焦點(diǎn)的，內(nèi)心才得以安定、釋然.

也可根據(jù)學(xué)生能力的情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行如下引導(dǎo)：

師：請(qǐng)你大膽猜一下，這個(gè)點(diǎn)P在什么位置？

生：……

（若能猜其位置則可直接讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，若學(xué)生不好猜或者很難猜，則進(jìn)行如下點(diǎn)撥）

師：如果借助刻度值量一量，或者借用圓規(guī)，看看是否能找到最小值時(shí)的位置.

學(xué)生活動(dòng)：找到點(diǎn)P的位置. （此處也可以通過幾何畫板進(jìn)行展示）

師：你對(duì)點(diǎn)P的這個(gè)位置有什么想法？

生：這個(gè)位置應(yīng)該具有某種特殊性，應(yīng)該不是在一個(gè)無特點(diǎn)的位置. （思考片刻）發(fā)現(xiàn)延長AP后是過左焦點(diǎn)的.

師：請(qǐng)同學(xué)自行對(duì)此猜想進(jìn)行論證.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行考察，借用刻度尺或圓規(guī)，甚至幾何畫板找到最小值時(shí)的點(diǎn)P的位置，然后尋其位置的特殊性，即延長AP經(jīng)過左焦點(diǎn)，后進(jìn)行邏輯論證. 整個(gè)過程都是以學(xué)生自主探究為主，其過程是：數(shù)學(xué)現(xiàn)象—觀察試驗(yàn)—猜測(cè)想象—邏輯論證.

回到問題本身，能更好地產(chǎn)生自我思維過程，所謂的解題方法是實(shí)際需要的，思想也是可以在思考過程中自然產(chǎn)生的，體驗(yàn)與觀念也就形成了習(xí)慣，形成了本能.

[?]教學(xué)反思

在教學(xué)中，還原原則實(shí)際上是尋找知識(shí)上的先行組織者、活動(dòng)上的最近發(fā)展區(qū). 知識(shí)的生長與素養(yǎng)的提高均基于個(gè)人原有的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)就必須建立在原有的基礎(chǔ)之上——這就是還原原則的本質(zhì). 結(jié)合課例，將還原原則歸納為以下三類.

（1）演繹式. 如果還原到上位的數(shù)學(xué)知識(shí)，則新知識(shí)的生成是演繹式的，需要個(gè)人較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來保證生成的流暢性. 如對(duì)橢圓的三定義的復(fù)習(xí)，這是學(xué)生在之前已對(duì)橢圓有了全面學(xué)習(xí)，有了一定基礎(chǔ)，而今給出的現(xiàn)象，不同的學(xué)生著眼的角度不一定相同，從而演繹成不同的概念.

（2）歸納式. 如果能還原到最基本的生活經(jīng)驗(yàn)或下位的數(shù)學(xué)知識(shí)，則新知識(shí)的生成是歸納式的，更符合于人的自然本能. 如例題的處理，就是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行觀察試驗(yàn)，從而猜測(cè)想象，歸納最值時(shí)的位置，從而再進(jìn)行邏輯論證.

（3）聯(lián)結(jié)式. 如果還原到并列知識(shí)上，則新知識(shí)的生成是聯(lián)結(jié)式的，需要個(gè)人的類比與想象能力.

三者必居其一，具體用哪一種，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的實(shí)際情況而定. 如例題的類比想象，我們可以聯(lián)想到解析幾何中遇到如圖2所示的情況：A（2，2）和點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上何處時(shí)，PA+PF取得最小值？此題主要就是運(yùn)用對(duì)稱性將PF轉(zhuǎn)化為左側(cè)對(duì)應(yīng)線段，從而將PA+PF的最值的題目轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)點(diǎn).

[?]結(jié)束語

解題過程中我們把每一步結(jié)果都當(dāng)作一個(gè)現(xiàn)象，對(duì)它進(jìn)行分析. 解題者始終占據(jù)主體地位去進(jìn)行探究，而不是想著“我有哪些知識(shí)”或者“我是否曾經(jīng)解過類似的題目”——這兩句來自波利亞的“怎樣解題表”. 我們的說法看似與大師有所抵觸，實(shí)際上并不是. 因?yàn)樵谧觥胺治觥钡臅r(shí)候，我們自然要用到已有的認(rèn)知體系，調(diào)動(dòng)以往所熟悉的解題經(jīng)驗(yàn)，因此知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)仍然是我們行動(dòng)的力量之源，但那屬于術(shù)語操作層面，是形而向下的.

當(dāng)作“現(xiàn)象”和當(dāng)作“知識(shí)”究竟有沒有區(qū)別？當(dāng)我們面對(duì)數(shù)學(xué)題時(shí)，幾乎沒有區(qū)別. 因?yàn)閯e人給我們的都是“可解”的題目，或都在我們知識(shí)所覆蓋的范圍之內(nèi). 而當(dāng)我們面對(duì)世界時(shí)，情形就不一樣了. 那時(shí)問題是否“可解”都不知道;需要哪些條件、可能會(huì)有哪些結(jié)論，都不明確. 如果沒有一個(gè)客觀冷靜的立場(chǎng)，沒有穩(wěn)定的自信心，就會(huì)茫然不知所措.

因此在數(shù)學(xué)課上把題目當(dāng)作“知識(shí)”還是當(dāng)作“現(xiàn)象”，可以說沒有區(qū)別;在課堂之外面對(duì)未知的世界時(shí)，區(qū)別就非常明顯了. 書呆子和能人，平庸的學(xué)者和天才的科學(xué)家，也許就是解題時(shí)的觀念使人慢慢形成的.

當(dāng)我們將“知識(shí)”當(dāng)“現(xiàn)象”教，學(xué)生將數(shù)學(xué)題也看成是一個(gè)數(shù)學(xué)“現(xiàn)象”時(shí)，學(xué)生成了能動(dòng)的創(chuàng)造者，能積極主動(dòng)地面對(duì)問題、思考問題、解決問題，數(shù)學(xué)課堂就成了富有生機(jī)的課堂，學(xué)生也就成了課堂的主人.