例談向量法在求解幾何習(xí)題中的應(yīng)用

朱乃勇

摘 要： 本文通過對一組例題的分析講解，主要探討了如何利用向量法來求解幾何習(xí)題的方法和途徑。

關(guān)鍵詞： 向量法;求解;幾何習(xí)題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是教學(xué)的目的之一。解題教學(xué)不僅是幫助學(xué)生理解、掌握和鞏固所學(xué)知識的手段，而且也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。

向量在幾何、代數(shù)和分析等眾多領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用，使用向量法解題，構(gòu)思巧妙，運算簡單。本文僅就向量在求解幾何習(xí)題中的應(yīng)用作一粗淺的探討，不當(dāng)之處，敬請方家批評指正。

一、利用向量法求解平面幾何習(xí)題

平面幾何中的許多習(xí)題，盡管我們用其他方法也可以解決，然而，若合理地選擇基本向量，再將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為用基本向量來表示，則運算過程會顯得更為簡捷明了，并且方法新穎。

例1：已知任意平行四邊形，試證：（1）它的兩條對角線的平方和等于各邊的平方和。（2）它的面積等于以兩條對角線為邊的平行四邊形面積的一半。（3）它的對角線互相平分。

通過以上例題的分析求解，我們不難發(fā)現(xiàn)向量法的主要思路是：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并構(gòu)造合理的向量;（2）充分利用向量的定義和基本性質(zhì);（3）熟練掌握向量的基本運算等。向量自身所具有的數(shù)與形的雙重性使得利用向量解題更能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，如果我們運用靈活，不但可以把比較復(fù)雜的幾何思維轉(zhuǎn)化為較為簡單的代數(shù)運算，達到避繁趨簡，化難為易的效果，而且也將有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及提高他們的解題能力。常常可以給他們帶來“柳暗花明又一村”的感覺，從而體驗到解題中的快樂。

注：為了讓同學(xué)們進一步熟悉并掌握這種解題方法，下面留有幾道習(xí)題，請同學(xué)們自己用向量法解答。

證明：三角形三條高交于一點。

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD中點，（1）求AE與D1F所成的角。（2）試證平面AED⊥平面A1FD1。

設(shè)點A和B為拋物線y2=4x上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。

參考文獻：

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