高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例分析

李曉群 張艾楠

摘? 要：教學(xué)案例“獨(dú)立性檢驗(yàn)”是高中統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的統(tǒng)計(jì)模型，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容. 該案例由教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)反思兩部分組成. 教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞情境創(chuàng)設(shè)、經(jīng)歷體驗(yàn)、總結(jié)提升及布置項(xiàng)目四個(gè)方面展開，重點(diǎn)是問題驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的十個(gè)問題，引領(lǐng)學(xué)生層層深入，探索新知. 教學(xué)反思中提到本節(jié)課的亮點(diǎn)是讓學(xué)生系統(tǒng)地經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)學(xué)研究問題的全過程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異，提升了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì);教學(xué)反思;統(tǒng)計(jì)思想

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)首先要確定教學(xué)主題，對(duì)教材進(jìn)行恰當(dāng)重組，把設(shè)計(jì)情境、設(shè)計(jì)問題驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、確定學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)放在首位. 從用對(duì)教材、用好教材和用活教材三個(gè)維度，充分踐行“用教材教”的基本策略.

情境和問題構(gòu)成了教學(xué)過程的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng). 情境的素材有兩類：數(shù)學(xué)內(nèi)部素材和數(shù)學(xué)外部素材. 教師要善于根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)目標(biāo)來創(chuàng)設(shè)情境，情境要盡量貫穿教學(xué)的始終. 適當(dāng)?shù)那榫吃O(shè)計(jì)不僅能夠引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能指向所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從情境出發(fā)思考問題、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)思考. 問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題與情境緊密結(jié)合，問題可以引導(dǎo)學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)教師必須有強(qiáng)烈的問題意識(shí)，問題串的設(shè)計(jì)需要在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，逐步指向數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，通過解決問題達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

本節(jié)課內(nèi)容選自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（選擇性必修）》第三冊(cè)第八章第三節(jié)，授課形式是線上教學(xué)，筆者想通過本節(jié)課和學(xué)生一起體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的思路與方法，使學(xué)生真正明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是為了解題而是為了解決問題. 因?yàn)槭蔷€上教學(xué)，學(xué)生的小組合作探究比較艱難，所以課前各學(xué)習(xí)小組通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究和交流，通過提交小組作業(yè)的形式匯報(bào)研究成果. 下面是本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計(jì).

一、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：在之前的學(xué)習(xí)中，我們研究過兩個(gè)變量的相關(guān)性及它們之間的線性回歸方程，這里再給出幾個(gè)例子. 吸煙與患慢性氣管炎是否有關(guān)？禿頂與患心臟病是否有關(guān)？愛好運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)？上述例子中的各個(gè)變量與之前學(xué)習(xí)過的變量不太一樣，變量“吸煙”可以按吸煙與不吸煙分類，“性別”可以按男、女分類，變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量，我們叫分類變量. 分類變量不一定只能分兩類，如“職業(yè)”這個(gè)變量就有很多結(jié)果. 高中階段我們只研究具有兩個(gè)結(jié)果的分類變量. 觀察下面這個(gè)例子.

例? 為了迎接2020年的新高考，在高一下學(xué)期的時(shí)候，學(xué)校對(duì)全年級(jí)的761名學(xué)生選修物理、化學(xué)、生物、政治、歷史和地理的情況進(jìn)行了調(diào)查，這里給出全年級(jí)學(xué)生選修物理的情況.

整理數(shù)據(jù)，并回答下列問題.

問題1：你能否設(shè)計(jì)一個(gè)方法，使得上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果更加直觀？

問題2：你能否設(shè)計(jì)一個(gè)方案，來判斷高中生選修物理是否與性別有關(guān)？

問題3：以小組為單位，收集感興趣的分類變量的相關(guān)數(shù)據(jù)，并用設(shè)計(jì)的方案判斷你所研究的分類變量之間是否存在一定的關(guān)系.

預(yù)設(shè)回答：學(xué)生統(tǒng)計(jì)后給出表1和圖1.

師：像表1這樣列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為[2×2]列聯(lián)表. 像圖1這樣的頻率圖，稱為等高條形圖.

【設(shè)計(jì)意圖】預(yù)習(xí)內(nèi)容是學(xué)生身邊的實(shí)例，能夠有效激發(fā)學(xué)生的求知欲望，為研究本節(jié)課的主要問題——高中生選修物理是否與性別有關(guān)做好鋪墊，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來自生活并服務(wù)生活，感受學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性. 引導(dǎo)學(xué)生分析等高條形圖的作用，以及優(yōu)、缺點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

預(yù)設(shè)回答：可以根據(jù)[2×2]列聯(lián)表計(jì)算比例，女生選修物理的頻率是[229395≈0.579 7]，男生選修物理的頻率是[252366≈0.688 5]，由此可見男生選修物理的頻率大，所以認(rèn)為高中生選修物理與性別有關(guān).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想：讀取數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)說話.

問題4：由以上兩種方法，我們初步得到了結(jié)論“高中生選修物理與性別有關(guān)”，我們得到的判斷是否可靠呢？

師：由于樣本的隨機(jī)性，有可能出現(xiàn)以下情況，即這366名男生中恰巧碰到了較多的學(xué)生喜歡物理學(xué)科，而這395名女生中又恰巧有很多喜歡物理以外的其他學(xué)科的學(xué)生. 這樣就會(huì)導(dǎo)致男生中選修物理的比例較高. 由此我們做出的推斷可能會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤. 因?yàn)槲覀兯芯康慕Y(jié)論是“高中生選修物理課程可能與性別有關(guān)”. 既然判斷可能會(huì)出錯(cuò)，那么我們做推斷是否還有意義呢？雖然推斷可能會(huì)出錯(cuò)，但是只要出錯(cuò)的可能性很小，我們依然認(rèn)為推斷是很可靠的. 這也是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究問題的特點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】描述判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可靠性是獨(dú)立性檢驗(yàn)的核心，設(shè)計(jì)問題4的目的是引出獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想. 同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)研究樣本是為了反映總體的特征，雖然樣本并不能代替總體，但是樣本卻可以估計(jì)總體.

問題5：本例中，我們得到的結(jié)論出錯(cuò)的可能性有多大呢？換句話說，我們能有多大的把握認(rèn)為“高中生選修物理與性別有關(guān)”？

為了找到一個(gè)可靠的判斷方法. 我們先把具體問題一般化，得到表2，其中[n=a+b+c+d]為樣本容量.

從正面分析，我們很難找到數(shù)據(jù)要滿足的條件;從反面考慮，如果無關(guān)，就可以認(rèn)為“選修物理課程”與“性別”是兩個(gè)獨(dú)立的事件. 下面我們就從獨(dú)立事件發(fā)生的概率進(jìn)行分析.

問題6：樣本容量的大小對(duì)[ad-bc]的大小有著很大的影響，有沒有更合理的方法呢？

由表3可以看出，每行每列之和都是0. 實(shí)際上是由于每行每列總的差異是0，才導(dǎo)致每行每列的差異互為相反數(shù). 因此，四個(gè)差異中只要計(jì)算出一個(gè)差異就可以知道其他三個(gè)差異.

【設(shè)計(jì)意圖】這里體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)量的設(shè)計(jì)有相通的特點(diǎn). 同時(shí)，理解[K2]公式結(jié)構(gòu)的合理性;讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到如果假設(shè)成立，則觀測(cè)值應(yīng)該很小;引出[K2]數(shù)據(jù)的大小應(yīng)該有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來衡量.

問題7：利用這個(gè)公式計(jì)算出的數(shù)我們稱為[K2]的觀測(cè)值，[K2]的觀測(cè)值的大小應(yīng)該如何衡量呢？

1900年英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜首先找出統(tǒng)計(jì)量[K2]，并且確定了統(tǒng)計(jì)量的近似概率密度曲線. 利用GeoGebra軟件展示自由度為1的[K2]的概率密度曲線，如圖2所示.

這個(gè)概率密度曲線和正態(tài)分布曲線類似，但是形狀不同. 也可以用某個(gè)區(qū)間上的面積來表示統(tǒng)計(jì)量落入該區(qū)間的概率. 用這種方式可以確定出臨界值如表4所示.

在假設(shè)獨(dú)立的條件下，[PK2≥6.635=0.01]，表明在獨(dú)立的條件下得到的樣本統(tǒng)計(jì)量[K2]超過6.635的概率為1%，是一個(gè)小概率事件. 如果我們計(jì)算的[K2]大于6.635，說明假設(shè)成立的概率是1%，所以推斷相互獨(dú)立是不成立的. 即推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)系，但這個(gè)推斷會(huì)出錯(cuò)，出錯(cuò)的概率不會(huì)超過1%. 也就是說我們有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量是有關(guān)系的.

【設(shè)計(jì)意圖】引出臨界值表，讓學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)學(xué)家在研究獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)的完整過程和經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)確敘述統(tǒng)計(jì)學(xué)的結(jié)論，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

問題8：獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理與我們學(xué)習(xí)過的什么方法的原理類似？它們的區(qū)別是什么？

獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想來源于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)思想，它與證明方法中的反證法類似. 假設(shè)檢驗(yàn)和反正法都是假設(shè)結(jié)論不成立，然后由是否能夠推出“矛盾”來判斷結(jié)論是否成立，但兩者“矛盾”的含義不同. 反證法的矛盾指的是不符合邏輯的事件的發(fā)生;而獨(dú)立性檢驗(yàn)的矛盾是指不符合邏輯的小概率事件的發(fā)生，即在假設(shè)結(jié)論不成立的條件下，推出有利于結(jié)論成立的小概率事件.

【設(shè)計(jì)意圖】一方面，深化學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想方法的理解;另一方面，讓學(xué)生通過對(duì)新、舊知識(shí)的對(duì)比，建立新知識(shí)與已有相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，將新知合理納入原有的知識(shí)系統(tǒng).

問題9：你能否總結(jié)出利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的基本步驟？

（1）假設(shè)[H0]：兩個(gè)分類變量無關(guān)，確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”出錯(cuò)的上界[α]，查表確定臨界值[k0].

（2）由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到[K2]的觀測(cè)值[k]，若[k≥k0]，則假設(shè)不成立，即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，推斷錯(cuò)誤的概率不超過[α].

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對(duì)具體問題做出總結(jié)，將特殊推廣到一般，得到判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法. 理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想. 同時(shí)，讓學(xué)生梳理利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)研究問題的整個(gè)過程，為后面更好地解決實(shí)際問題做好鋪墊.

師：下面請(qǐng)同學(xué)們利用[K2]的公式，來計(jì)算例題中[K2]的觀測(cè)值，并推斷有多大的把握認(rèn)為“高中生選修物理與性別有關(guān)”.

問題10：你能談一談本節(jié)課中我們是如何探究“獨(dú)立性檢驗(yàn)”的嗎？

知識(shí)小結(jié)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟.

數(shù)學(xué)思想方法小結(jié)：類比推理;從一般到特殊，從特殊到一般;統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，即收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，由數(shù)據(jù)分析得出結(jié)論.

師：課前各小組都收集了感興趣的分類變量的相關(guān)數(shù)據(jù)，之前我們只是簡(jiǎn)單判斷了一下分類變量是否有關(guān). 學(xué)習(xí)本節(jié)課后，你能否利用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行判斷，看各自有多大的把握認(rèn)為它們有關(guān)系？

二、教學(xué)反思

在信息化社會(huì)中，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)獲得有價(jià)值的信息，并為決策提供支持. 統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，為人們制定決策提供重要的依據(jù)，為人們認(rèn)識(shí)客觀世界提供一種思維模式和解決問題的方法.

雖然本節(jié)課的理論研究比較復(fù)雜，教學(xué)時(shí)間較短（1 ～ 2課時(shí)），但是由于貼近生活實(shí)際，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位. 在近幾年的高考試題中，本節(jié)課內(nèi)容的出現(xiàn)頻率較高，且多以解答題的形式呈現(xiàn)，其重要性可想而知. 該內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)后所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，與事件的獨(dú)立性一節(jié)關(guān)系緊密，此外還涉及與反證法類似的思想.

獨(dú)立性檢驗(yàn)的研究背景是考察兩個(gè)分類變量之間是否具有相關(guān)性，因此教材中先給出了分類變量的概念，并給出了考察兩個(gè)分類變量之間是否相關(guān)的一種簡(jiǎn)單的研究思路，即借助等高條形圖. 等高條形圖雖然直觀但不夠精確. 隨后又引出了相對(duì)精確的研究方法——獨(dú)立性檢驗(yàn). 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想建立在假設(shè)檢驗(yàn)思想（小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生）的基礎(chǔ)之上，研究步驟如下：明確問題，確定出錯(cuò)概率的上界[α]及[K2]的臨界值[k0]，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，制作列聯(lián)表，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量[K2]的觀測(cè)值[k]，比較觀測(cè)值[k]與臨界值[k0]并給出結(jié)論.

教師先通過一個(gè)真實(shí)問題引發(fā)學(xué)生思考. 從2020年的高考改革選修學(xué)科入手，將全年級(jí)761名學(xué)生的選修情況與性別以Excel表格的形式推給學(xué)生，讓學(xué)生分組討論設(shè)計(jì)方案，初步判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān). 引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界. 然后，通過假設(shè)兩個(gè)分類變量相互獨(dú)立，將具體數(shù)據(jù)一般化，得出由[ad-bc]接近于0可以簡(jiǎn)單地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界. 接著，類比之前研究方差與殘差的過程，將表格中每個(gè)數(shù)據(jù)平方. 平方后發(fā)現(xiàn)男、女生與選修物理對(duì)總的差異貢獻(xiàn)一樣，類比條件概率將各自的預(yù)期頻率除掉并加和，可以得到總的差異平方和. 最后，乘以樣本容量[n]可以得到[K2]統(tǒng)計(jì)量的公式. 由GeoGebra軟件展示概率密度曲線，幫助學(xué)生理解[K2]的觀測(cè)值的含義. [K2]的觀測(cè)值是連續(xù)的，這里選擇了一些特殊的[K2]的臨界值，給出臨界值表，讓學(xué)生全面了解統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究獨(dú)立性檢驗(yàn)的完整經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地下統(tǒng)計(jì)學(xué)的結(jié)論，體會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

教師對(duì)[K2]公式進(jìn)行了推導(dǎo)，讓學(xué)生系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異，提升了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng). 教師鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)（如統(tǒng)計(jì)推斷可能出錯(cuò)，估計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性），體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性. 本節(jié)課并不是在傳授知識(shí)和介紹解題方法，而是引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷和體會(huì)了研究統(tǒng)計(jì)學(xué)常用的思維模式和方法，讓學(xué)生懷揣著一顆好奇心和對(duì)數(shù)學(xué)的敬畏之情去探索新知，并學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

當(dāng)然，本節(jié)課也有需要改進(jìn)之處. 在課堂設(shè)計(jì)方面，由于是線上授課，對(duì)于自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的權(quán)衡還值得商榷，要在設(shè)計(jì)過程中對(duì)兩者進(jìn)行合理分配，才能獲得更好的教學(xué)效果. 同時(shí)，一些問題的嚴(yán)謹(jǐn)性要加強(qiáng)，要更全面地預(yù)設(shè)學(xué)生的回答，用更恰當(dāng)?shù)膯栴}達(dá)成教學(xué)目標(biāo). 與此同時(shí)，對(duì)于一些課堂中的突發(fā)情況，要不慌張地調(diào)用自己的教育智慧去應(yīng)對(duì). 因?yàn)槊刻谜n中都會(huì)有無法預(yù)料的生成，教師要思考如何有效利用這些教學(xué)中的突發(fā)情況. 另外，本節(jié)課以理論推導(dǎo)作為主體，學(xué)生自主練習(xí)的時(shí)間較短，如果課堂時(shí)間允許，應(yīng)該讓學(xué)生真正動(dòng)手計(jì)算[K2]的觀測(cè)值，而不是因?yàn)閿?shù)據(jù)過大，利用計(jì)算器計(jì)算出最后的結(jié)果.

章建躍博士說過，在教學(xué)過程中，隨時(shí)隨地思考，隨時(shí)隨地發(fā)現(xiàn)，隨時(shí)隨地實(shí)踐，隨時(shí)隨地體驗(yàn)，隨時(shí)隨地領(lǐng)悟，隨時(shí)隨地反省，這是教研的真諦，也是教好書、做好人的真諦. 與大家共勉！

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.