線性代數(shù)中初等變換在矩陣?yán)碚撝械膽?yīng)用

龐峰

【摘要】矩陣是整個(gè)線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)，線性代數(shù)的很多概念和應(yīng)用都離不開矩陣，而初等變換是矩陣運(yùn)算中的最主要、最常見的一種運(yùn)算，也是解決矩陣問題的一個(gè)基本方法，它幾乎貫串線性代數(shù)的始終.鑒于矩陣初等變換的重要性，本文將對(duì)矩陣的初等變換應(yīng)用于不同方面做一個(gè)歸納與總結(jié)，便于理清各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)掌握矩陣?yán)碚撌钟袔椭?，同時(shí)，希望本論文的研究也會(huì)給相關(guān)的學(xué)者一些建議和思考.

【關(guān)鍵詞】 矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用;線性代數(shù);初等變換

【基金項(xiàng)目】課題名稱：“金課”標(biāo)準(zhǔn)下的《線性代數(shù)》線上、線下混合式教學(xué)研究，課題編號(hào)：YJ202012，課題來源：2020山西警察學(xué)院院級(jí)教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目重點(diǎn)課題

隨著時(shí)代的發(fā)展，矩陣由最初的一種工具逐漸演變?yōu)橐婚T數(shù)學(xué)分支——矩陣論，而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論及廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在了現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域之中.矩陣就是一個(gè)整齊排列的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)塊或者說集合，它本身沒有任何運(yùn)算的功能.正是初等變換賦予了矩陣變化的“魔力”，才把矩陣?yán)碚撝械慕^大部分內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來.由此可見，矩陣的初等變換在矩陣?yán)碚撝衅鹬e足輕重的作用，是其核心和精髓.通過初等變換將矩陣A轉(zhuǎn)化為更為簡單的矩陣B，然后利用矩陣B來對(duì)矩陣A進(jìn)行研究，這已被公認(rèn)為是一種方便、有效的途徑.

我們通常所說的矩陣的位置變換就是將矩陣中的兩行（或列）的位置進(jìn)行對(duì)換，記作：RiRj或CiCj;其次是數(shù)乘變換：就是將矩陣的某一行（或列）乘一個(gè)不等于零的數(shù)k，記作：kRi或 kCi;最后是消去變換：就是將矩陣中的某一行（或列）的適當(dāng)倍數(shù)加到另外的一行（列）上，記作：Ri+kRj 或Ci+kCj.以上三種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.關(guān)于初等變換的重要結(jié)論：任何一個(gè)矩陣，通過有限可數(shù)次的初等變換都可以化成階梯形，再進(jìn)一步化為行最簡形矩陣.這一結(jié)論保證了初等變換的可行性，同時(shí)也指明了變換的最終方向.

矩陣的初等變換有很多優(yōu)點(diǎn)，如，它只涉及加減乘除四則基本運(yùn)算，計(jì)算簡單;化簡過程有規(guī)律，算法很容易實(shí)現(xiàn);初等變換表面上是一種等價(jià)變化，實(shí)質(zhì)上卻是矩陣乘法的可逆恒等運(yùn)算，從而通過形式的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)恒等運(yùn)算的本質(zhì);初等變換的化簡過程靈活多樣，因人而異，但結(jié)果卻唯一，且保持矩陣的本質(zhì)屬性即矩陣的秩不變.總之，矩陣初等變換的實(shí)質(zhì)是將問題化繁為簡、化多為少、化大為小，并且保持事物的本質(zhì)屬性不變.我們要善于運(yùn)用矩陣的初等變換這一有力工具來幫助我們達(dá)到解決矩陣問題的目的，并掌握矩陣初等變換的廣泛應(yīng)用.

一、求逆矩陣

逆矩陣的求解是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)十分重要的內(nèi)容.對(duì)于一個(gè)方陣A，我們可以采用初等變換的方法來判斷這個(gè)矩陣是否可逆，而且在可逆的情況下還可以求出其逆矩陣A-1.也就是先將原矩陣與同階單位矩陣采用拼接的方式得到一個(gè)新矩陣，再對(duì)這個(gè)矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)化，遵循AB=BA=E（其中A為可逆矩陣，E為單位矩陣）的規(guī)則，以此來確定它的逆矩陣.如果在變換過程中，與A等價(jià)的矩陣無法變成E時(shí)，則A不可逆.具體形式如下：

（A|E）→…→初等行變換（E|A-1）或AE→…→初等列變換EA-1

求逆矩陣還可以采用伴隨矩陣的方法進(jìn)行求解.對(duì)于一個(gè)n階方陣A，用伴隨矩陣計(jì)算逆矩陣A-1，需要計(jì)算n2+1個(gè)行列式，計(jì)算量相當(dāng)大，而且這n2+1個(gè)行列式要計(jì)算出值也非易事.相比之下，利用初等變換來計(jì)算逆矩陣就顯得較為簡便、實(shí)用、快捷.

二、解矩陣方程

對(duì)于矩陣方程，比矩陣的乘法運(yùn)算更簡單、實(shí)用，而且計(jì)算方便的方法即是初等變換的方法.

（1）形如AX=B的矩陣方程，由于A-1（A，B）=（E，A-1B），因此采用初等行變換很容易得出它的解X=A-1B.具體過程為：AB→…→初等行變換EA-1B.

（2）形如XA=B的矩陣方程，同理可得ABA-1=EBA-1

，可以采用矩陣的初等列變換進(jìn)行求解，得出X=BA-1，具體過程為：

AE→…→初等列變換EBA-1.

（3）形如AXB=C的矩陣方程，可以參照（1）（2）兩種基本形式，得出其解為X=A-1CB-1，具體過程為：

（A|C）→…→初等行變換（E|A-1C），BA-1C→…→初等列變換EA-1CB-1.

另外，對(duì)于其他變異形式的矩陣方程，可以先通過恒等變形轉(zhuǎn)化為上述（1）或（2）的基本形式，再解之.

三、計(jì)算矩陣的秩

矩陣的秩是矩陣的一種固有本質(zhì)屬性，是討論矩陣問題、線性方程組的解的問題、向量組相關(guān)性、線性空間基等的重要依據(jù)，也是透過現(xiàn)象看本質(zhì)的重要載體.一般矩陣用定義求其秩，需要從最高階式子起一階一階地試驗(yàn)結(jié)果是否非零，顯然偶然性很大，而且計(jì)算也比較煩瑣.矩陣的秩有如下三個(gè)重要結(jié)論：（1）行階梯形矩陣的秩就是非零行的行數(shù);（2）矩陣的秩不隨矩陣的初等變換而發(fā)生變化;（3）任何一個(gè)矩陣的行秩等于列秩.據(jù)此，我們把矩陣進(jìn)行初等變換，化成階梯形矩陣后，非零行數(shù)目就是它的秩.這一方法大大方便了計(jì)算矩陣的秩，算法更為快捷和適用.

四、高斯消元法的應(yīng)用

線性方程組作為數(shù)學(xué)方程組的一種，一般由未知數(shù)（一次）、系數(shù)、常數(shù)等組成.方程組同解變換的求解過程，實(shí)質(zhì)上只是對(duì)未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行相應(yīng)變化的過程.所以，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，求解實(shí)際上就是由方程組的未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的增廣矩陣進(jìn)行初等變換的過程.它不僅能判斷方程組解的各種具體情況，還可以有效地求出線性方程組的解.如果方程組存在解，那么可將其轉(zhuǎn)化為行最簡形矩陣，求出方程組Ax=b的解，這就是線性代數(shù)中的高斯消元法.具體過程如下：增廣矩陣B=（Ab）初等行變換階梯形結(jié)合秩，判斷解的情況初等行變換最簡形求出解

這一方法求解過程的關(guān)鍵正是矩陣的初等變換.值得強(qiáng)調(diào)的是，使用高斯消元的過程，只能使用初等行變換，而不能使用初等列變換，否則，就不是方程組的同解變換了.高斯消元法是解線性方程組最普適的一種方法，不管方程組中未知量的個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)是多少，也不管方程組解的情況怎樣，對(duì)各種線性方程組都適用.而且，從計(jì)算量上說，該方法也要比Carmer法則優(yōu)越得多，大大降低了線性方程組解的判定與求解難度.

例如，a，b取何值時(shí)，非齊次線性方程組

x1+x2+x3+x4=1，

x2-x3+2x4=1，

2x1+3x2+（a+2）x3+4x4=b+3，

3x1+5x2+x3+（a+8）x4=5，

（1）有唯一解？（2）無解？（3）有無窮多個(gè)解？有解時(shí)求出全部解.

解：用初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，

B=（A，b）=1111101-12123a+24b+3351a+85～R3-2R1R4-3R11111101-12101a2b+102-2a+52

～R3-R2R4-2R21111101-12100a+10b000a+10

由此可知：

（1）當(dāng)a≠-1時(shí)，R（A）=R（B）=未知量個(gè)數(shù)4，方程組有唯一解：

x1=-2ba+1，x2=a+b+1a+1，x3=ba+1，x4=0;

（2）當(dāng) a=-1，b≠0時(shí)，R（A）=2≠R（B）=3，方程組無解;

（3）當(dāng)a=-1，b=0時(shí)，R（A）=R（B）=2<4，方程組有無窮多個(gè)解.

（c1，c2為任意常數(shù)）.

五、求方陣的特征值與特征向量

工程技術(shù)中的一些問題如振動(dòng)問題、穩(wěn)定性問題，常?？蓺w結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問題.矩陣A的特征值λ0是它的特征方程的根，對(duì)應(yīng)λ0的全部特征向量p是齊次線性方程組的非零解，而對(duì)齊次線性方程組的非零解的討論其實(shí)就是使用初等變換進(jìn)行高斯消元的過程.

六、對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

對(duì)稱矩陣是指元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等的矩陣，由于其轉(zhuǎn)置矩陣和自身相等而被稱為對(duì)稱矩陣.對(duì)稱矩陣可以用一般的由特征向量組成的非奇異陣作對(duì)角化，只不過它有特殊的性質(zhì)（對(duì)稱），因此我們就可以考慮特殊的對(duì)角化，即正交相似對(duì)角化.我們需要利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，比較簡單且易理解，其具體的步驟是：（1）求A的特征值λ1，λ2，λ3，…，λn;（2）（A-λiE）X=0，求出A的特征向量;（3）將特征向量正交化;（4）將特征向量單位化得p1，p2，…，pn;（5）寫出正交矩陣P=（p1，p2，…，pn）.我們只有合理選擇方法，才能提高研究效率.

七、廣義初等變換的使用

為了簡便，我們需對(duì)大規(guī)模矩陣進(jìn)行分塊，使大矩陣的運(yùn)算化分成幾個(gè)小矩陣的運(yùn)算.同樣，對(duì)于分塊矩陣，也可以把矩陣的每一個(gè)子塊作為矩陣的一個(gè)基本元素，像普通矩陣一樣進(jìn)行位置變換、數(shù)乘變換和消去變換這三種基本變換，這被稱為分塊矩陣的廣義初等變換.由于廣義初等變換本身具有較好的性質(zhì)，也是矩陣運(yùn)算中極為重要的方法，可以有效地將疑難問題簡單化，因此其成為廣大學(xué)者日益關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一.

結(jié)束語：矩陣是連接方程組理論與幾何理論的紐帶，因此矩陣是解決線性代數(shù)中線性方程組、向量空間、線性變換等問題最常用的方法.而初等變換作為矩陣?yán)碚摰囊粭l主線，不僅能夠簡化矩陣為階梯形或最簡形，而且作為矩陣?yán)碚撝袠O其重要的一種運(yùn)算，它是上述幾類問題的基礎(chǔ)與核心.因此，初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用十分廣泛，只有真正掌握了這種方法，才能巧妙地運(yùn)用其解決線性代數(shù)中相對(duì)復(fù)雜的問題，以達(dá)到事半功倍的效果.

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