向量組理論的教學(xué)中反例的應(yīng)用

摘 要：線性代數(shù)是一門理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象的課程。它具有概念及定理多，與實(shí)際生活聯(lián)系少的特點(diǎn)，正確理解和掌握概念及定理，正確證明命題結(jié)論，具有一定的難度，反例既是對(duì)命題十分簡(jiǎn)明的否定，又是對(duì)命題極有說(shuō)服力的肯定，它往往能起到正面的例子難以起到的作用，對(duì)解決這些問(wèn)題很有幫助。本文主要探討了線性代數(shù)中向量組理論教學(xué)中反例的作用，以便更好地理解掌握相關(guān)命題。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；反例；向量組

線性代數(shù)是一門理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象的課程。它具有概念及定理多，與實(shí)際生活聯(lián)系少的特點(diǎn)，所以在線性代數(shù)的教學(xué)中，如何更好的理解和掌握相關(guān)概念及定理，正確的證明命題結(jié)論，具有一定的難度。由于正面問(wèn)題或結(jié)論產(chǎn)生的理論價(jià)值和功能效應(yīng)是有目共睹的，所以，大家都給予了應(yīng)有的重視。然而，人們往往忽略了反例的理論價(jià)值和功能效應(yīng)，這是線性代數(shù)教學(xué)及理論研究的一個(gè)缺陷。反例既是對(duì)命題十分簡(jiǎn)明的否定，又是對(duì)命題極有說(shuō)服力的肯定，它往往能起到正面的例子難以起到的作用，對(duì)解決這些問(wèn)題很有幫助。

本文主要針對(duì)線性代數(shù)中的向量組理論的部分命題給出了具體的反例，以促進(jìn)對(duì)這些知識(shí)的理解，從而更好地掌握相關(guān)的理論知識(shí)。

一、關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的反例

在線性代數(shù)中有很多新概念，并且一個(gè)概念中簡(jiǎn)單的幾個(gè)字往往意義深刻，內(nèi)涵豐富，所以想要真正掌握，就必須將它擴(kuò)展開(kāi)理解，多方思維，找出概念的實(shí)質(zhì)。

定義1設(shè)都為n維向量，如果數(shù)域P上存在一組不全為零的數(shù)，使得，則稱線性相關(guān)。否則，就稱線性無(wú)關(guān)。

例5：若可由線性表示，則線性相關(guān)。

對(duì)于例5的結(jié)論不難判斷其正確，那么其逆命題是否正確呢？其逆命題為：若向量組線性相關(guān)，則可由線性表示。

易知，此逆命題不真。例如，易知線性相關(guān)，但是顯然不能由線性表示。

向量組線性相關(guān)的充要條件是其中某一個(gè)向量可由其余向量線性表示。為此可引出下面這樣一個(gè)命題。

例6：如果向量組中某一向量不能被其余向量線性表示，則線性無(wú)關(guān)。

此結(jié)論不對(duì)。例如，，即有不能被其余向量線性表示，但是卻線性相關(guān)（因?yàn)橛辛阆蛄浚?/p>

此反例揭示出定義中“某一向量可由其余向量線性表示的“某”字含義。并非是全部向量均可由其余向量線性表示。

二、關(guān)于向量組的秩的反例

定義2向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩，記作，或簡(jiǎn)記為。

例7：等價(jià)向量組的秩是相等的。

該結(jié)論是正確的，但是反過(guò)來(lái)，如果向量組與向量組的秩相等，那么這兩個(gè)向量組是否一定等價(jià)？

顯然向量組的秩是2，向量組的秩也是2，但與不等價(jià)。

此反例一陣見(jiàn)血地指出例7的逆命題不正確，而無(wú)需再用長(zhǎng)篇大論的文字去證明。

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（作者單位：安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院）