定目標(biāo)·悟原理·尋路徑

王學(xué)先 楊興建 吳禹杰

摘? 要：中考對(duì)尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，不再是單一的對(duì)作圖技法操作進(jìn)行考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)有效融合，既體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，也考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思考解決問(wèn)題的能力. 尺規(guī)作圖在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的同時(shí)，能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 文章對(duì)2020年中考“尺規(guī)作圖”的幾類(lèi)試題進(jìn)行分析，從目標(biāo)、原理、路徑三個(gè)方面挖掘這類(lèi)試題的考查方式和命題特色，為初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖問(wèn)題的教學(xué)和命題提供參考.

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖;作圖原理;命題特色;作圖路徑

2020年中考“尺規(guī)作圖”部分的試題設(shè)計(jì)，在全面考查尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)上，著重考查了尺規(guī)作圖的目標(biāo)、原理和路徑，試題新意迭出且深意彰顯. 其中，尺規(guī)作圖目標(biāo)、原理、路徑分別考查基本作圖的幾何性質(zhì)、作圖依據(jù)和作圖方法. 文章對(duì)2020年中考尺規(guī)作圖試題進(jìn)行研究，為更好地把握尺規(guī)作圖的教學(xué)要求和命題思路提供一些探索.

一、尺規(guī)作圖及試題考查情況分析

1. 尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)問(wèn)題，指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并且只使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題. 觀察利用尺規(guī)作圖所得的幾何圖形，我們可以將一些結(jié)論由特殊引向一般，并歸納出一般性結(jié)論. 在中考試題中，尺規(guī)作圖一般被分為兩類(lèi)：一類(lèi)是基本作圖;另一類(lèi)是利用兩種或兩種以上的基本作圖進(jìn)行尺規(guī)作圖.

2. 課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)尺規(guī)作圖作出了以下要求.

（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作一個(gè)角的平分線;作一條線段的垂直平分線;過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.

（2）會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

（3）會(huì)利用基本作圖完成：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.

（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫(xiě)出作法.

3. 試題考查方式分析

綜觀2020年全國(guó)各地區(qū)中考試題，在尺規(guī)作圖這一部分內(nèi)容的考查中，著重體現(xiàn)了尺規(guī)作圖和幾何推理考查的雙向性. 具體包括以下三類(lèi)題型.

（1）作法應(yīng)用類(lèi)試題. 這類(lèi)試題在給出圖形基本作法的情況下，要求學(xué)生領(lǐng)悟作圖原理，結(jié)合相應(yīng)的圖形性質(zhì)進(jìn)行幾何推理、證明和計(jì)算. 該類(lèi)型試題既注重對(duì)學(xué)生的幾何推理能力的考查，又體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的考查.

（2）作法原理類(lèi)試題. 這類(lèi)試題是在給定作法和保留作圖痕跡的前提下，要求學(xué)生填寫(xiě)相應(yīng)的作圖依據(jù). 該類(lèi)型試題對(duì)學(xué)生是否深刻掌握其背后的作圖原理要求較高，充分發(fā)揮考試導(dǎo)向功能，引導(dǎo)教師在平時(shí)教學(xué)中重視對(duì)尺規(guī)作圖原理的教學(xué).

（3）作法操作類(lèi)試題. 這類(lèi)試題要求學(xué)生在有限的條件下領(lǐng)悟作圖原理，經(jīng)過(guò)合情推理獲得正確的作圖方法，并按要求完成作圖，且保留作圖痕跡. 該類(lèi)試題注重在學(xué)生正確掌握作圖原理的前提條件下，考查基本方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的落實(shí)情況.

二、考查目標(biāo)和命題特色分析

1. 五種基本作圖

（1）作一條線段等于已知線段.

例1 （湖南·邵陽(yáng)卷）如圖1，線段AB = 10 cm，用尺規(guī)作圖法按如下步驟作圖.

（1）過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，并在垂線上取BC =[12]AB;

（2）連接AC，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)E;

（3）以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，即點(diǎn)D為線段AB的黃金分割點(diǎn).

則線段AD的長(zhǎng)度約為? ? ? .（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：[2]≈ 1.414，[3]≈ 1.732，[5]≈ 2.236.）

分析：此題考查了基本作圖中的“作一條線段等于已知線段”，涉及勾股定理、方程、近似數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題，以黃金分割點(diǎn)為背景，以直角三角形為載體進(jìn)行命制. 雖然出現(xiàn)了“過(guò)直線上一點(diǎn)作該直線的垂線”和“作一條線段等于已知線段”兩種基本作圖，但從已給的作圖痕跡來(lái)看，重點(diǎn)考查作圖后的計(jì)算. 此題關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系和交會(huì)，較好地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖內(nèi)容的掌握和運(yùn)用，提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化能力.

簡(jiǎn)解：由作圖過(guò)程，可知△ABC為直角三角形，且CE = BC =[12]AB = 5，AD = AE. 根據(jù)勾股定理，求出AC =[55]. 再求出AD = AE =[55-5][≈ 6.18]（cm）.

（2）作一個(gè)角等于已知角.

例2 （福建卷）如圖2，C為線段AB外一點(diǎn).

（1）求作四邊形ABCD，使得CD∥AB，且CD = 2AB.（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡.）

（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)P，AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：M，P，N三點(diǎn)在同一條直線上.

分析：此題考查了基本作圖中的“作一個(gè)角等于已知角”和“作一條線段等于已知線段”，涉及平行線和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生的推理能力、空間觀念、幾何直觀、化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題. 以作四邊形ABCD為背景，要求學(xué)生熟練掌握作圖方法. 解決此題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造相似三角形，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，問(wèn)題的解決應(yīng)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀，提高了學(xué)生的邏輯推理能力.

簡(jiǎn)解：（1）如圖3，四邊形ABCD即為所求.

（2）如圖4，先利用已知條件證明[△ABP∽][△CDP，] 得[ABCD=APCP]. 根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化得到[AMCN=APCP]. 連接[MP，NP，] 由[∠BAP=∠DCP，] 即可以證明[△APM∽][△CPN]. 所以[∠APM=∠CPN]. 由點(diǎn)[P]在[AC]上，得到[∠APM+∠CPM=180°]. 進(jìn)一步得到[∠CPN+∠CPM=][180°]，從而證明M，P，N三點(diǎn)在同一條直線上.

（3）作一條線段的垂直平分線.

例3 （廣東卷）如圖5，在菱形ABCD中，∠A = 30°，取大于[12]AB的長(zhǎng)為半徑，分別以點(diǎn)A，B為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過(guò)此兩點(diǎn)的直線交AD邊于點(diǎn)E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD. 則∠EBD的度數(shù)為 ? ? ? .

分析：此題考查基本作圖中的“作一條線段的垂直平分線”，屬于單一模型. 此題涉及菱形、垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，考查學(xué)生的邏輯推理、幾何直觀、讀取信息及利用信息解決問(wèn)題的能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題，將基本作圖問(wèn)題和菱形有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)別出心裁. 熟練掌握線段垂直平分線的作法、菱形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵.

簡(jiǎn)解：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得EA = EB. 由四邊形ABCD是菱形，得AB = AD. 因?yàn)椤螦 = 30°，所以∠ABE = 30°，∠ABD = 75°. 根據(jù)∠EBD = ∠ABD - ∠ABE，求出∠EBD = 45°.

（4）作一個(gè)角的平分線.

例4 （湖南·長(zhǎng)沙卷）人教版初中數(shù)學(xué)教科書(shū)八年級(jí)上冊(cè)第48頁(yè)告訴我們一種作已知角的平分線的方法.

已知：[∠AOB].

求作：[∠AOB]的平分線.

作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N;

（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于[12MN]的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在[∠AOB]的內(nèi)部相交于點(diǎn)C;

（3）畫(huà)射線OC，射線OC即為所求（如圖6）.

試根據(jù)提供的材料完成下面問(wèn)題.

（1）這種作已知角平分線的方法的依據(jù)是? ? ?.（填序號(hào)）

①[SSS]? ?②[SAS]? ?③[AAS]? ?④[ASA]

（2）試證明OC為[∠AOB]的平分線.

分析：此題考查了尺規(guī)作圖中的“作一個(gè)角的平分線”和全等三角形的判定定理. 此題源于教材，通過(guò)考查學(xué)生對(duì)基本作圖依據(jù)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法原理類(lèi)”試題，需要學(xué)生探索作圖依據(jù)，完成邏輯推理. 解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法及全等三角形的判定和性質(zhì).

簡(jiǎn)解：（1）①.

（2）根據(jù)作圖過(guò)程，可得OM = ON，OC = OC，CM = CN. 由“SSS”可以證得△MOC ≌ △NOC. 從而得到∠AOC = ∠BOC，即OC為[∠AOB]的平分線.

（5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.

① 過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線.

例5 （內(nèi)蒙古·赤峰卷）小琪同學(xué)和爸爸媽媽一起回老家給奶奶過(guò)生日，他們?yōu)槟棠虦?zhǔn)備了一個(gè)如圖7所示的正方形蛋糕，蛋糕的每條邊上均勻鑲嵌著4顆巧克力. 爸爸要求小琪只切兩刀把蛋糕平均分成4份，使每個(gè)人分得的蛋糕和巧克力數(shù)都相等.

（1）試在圖7中畫(huà)出一種分法.（無(wú)需尺規(guī)作圖）

（2）如圖8，小琪同學(xué)過(guò)正方形的中心切了一刀，試用尺規(guī)作圖幫她作出第2刀所在的直線.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡.）

[圖7][圖8]

分析：此題考查作圖的應(yīng)用與設(shè)計(jì)，涉及正方形的性質(zhì)和中心對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理和知識(shí)遷移能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法操作類(lèi)”試題. 以切蛋糕的實(shí)例為背景命題，貼近學(xué)生生活實(shí)際，能引發(fā)學(xué)生積極思考，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“既來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活”的特點(diǎn). 第（2）小題用到了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬于用不同的知識(shí)解決相同的問(wèn)題，凸顯了知識(shí)之間的聯(lián)系.

簡(jiǎn)解：（1）如圖9，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分，得直線a、b即為所求.

（2）如圖10，連接AC交直線EF于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作HG⊥EF，直線HG即為已知線段的垂直平分線，借助垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.

② 過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線.

例6 （內(nèi)蒙古·鄂爾多斯卷）在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D = 90°，AD = 8，BC = 6，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于[12]AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（ ? ）.

分析：此題考查了基本作圖中的“過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”，涉及勾股定理、線段垂直平分線和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題. 根據(jù)“線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，確定“EO垂直平分線段AC”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

簡(jiǎn)解：如圖12，連接FC. 根據(jù)基本作圖，可以得到OE⊥AC. 因?yàn)辄c(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)E垂直平分線段AC. 由線段垂直平分線的性質(zhì)，得AF = FC. 根據(jù)“ASA”證明△FOA ≌ △BOC，因此AF = BC = 6. 等量代換得到FC = AF = 6. 利用線段的和差關(guān)系求出FD = AD - AF = 2. 在Rt△FDC中，利用勾股定理求出CD =[42]. 故此題選擇選項(xiàng)A.

2. 兩種基本作圖模型綜合考查

（1）作一條線段等于已知線段和作一個(gè)角的平分線.

例7 （江蘇·泰州卷）如圖13，已知線段a，點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi).

（1）用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且與點(diǎn)A的距離等于a.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.）

（2）在（1）的條件下，若a =[25]，點(diǎn)A的坐標(biāo)為[A3，1]，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析：此題考查了基本作圖中的“作一條線段等于已知線段”和“作一個(gè)角的平分線”. 此題涉及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，以及邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題. 此題以平面直角坐標(biāo)系為載體，通過(guò)尺規(guī)作圖作第一象限的角平分線，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，借助方程思想解決問(wèn)題. 解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法及兩點(diǎn)之間的距離公式，明確如何正確作圖.

簡(jiǎn)解：（1）如圖14，先作第一象限的角平分線OM，再以點(diǎn)A為圓心、a為半徑畫(huà)弧，交OM于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求.

分析：此題考查了基本作圖中的“作一條線段的垂線”和“作一個(gè)角的平分線”，其中全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)是作圖的依據(jù)，考查學(xué)生的推理能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題. 以直角三角形為背景，要求學(xué)生熟練掌握作圖方法和技巧，能根據(jù)作圖步驟正確辨別所作圖形，并熟練應(yīng)用其性質(zhì)解決問(wèn)題.

簡(jiǎn)解：根據(jù)題目條件容易證明△ADE ≌ △ADB，可判斷選項(xiàng)A，B正確. 再根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”，可以判斷∠EDC = ∠BAC. 故此題選擇選項(xiàng)D.

（3）作直角三角形的外接圓和作一個(gè)角的平分線.

例9 （青海卷）如圖17，在Rt△ABC中，∠C = 90°.

（1）尺規(guī)作圖：作Rt△ABC的外接圓⊙O;作∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡.）

（2）若AC = 6，BC = 8，求AD的長(zhǎng).

分析：此題考查了基本作圖中的“作一條線段的垂直平分線”和“作一個(gè)角的平分線”，借助線段垂直平分線的性質(zhì)準(zhǔn)確找到直角三角形外接圓的圓心是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 此題既考查了學(xué)生對(duì)基本作圖的掌握情況，又考查了學(xué)生尋找知識(shí)之間邏輯關(guān)系的能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法應(yīng)用類(lèi)”試題，涉及三角形的外接圓、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)及圓周角與圓心角的關(guān)系，考查學(xué)生的基本作圖技能和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

簡(jiǎn)解：（1）如圖18，作Rt△ABC斜邊AB的垂直平分線，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，即可作Rt△ABC的外接圓⊙O. 再作∠ACB的角平分線CD，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD即可.

分析：此題綜合考查了“作一條線段的垂直平分線”和“作一個(gè)角的平分線”. 作圖依據(jù)是角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法操作類(lèi)”試題，是三角形、圓、作角的平分線和線段的垂直平分線的綜合題型. 正確掌握角平分線和線段垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵.

簡(jiǎn)解：如圖21，作出∠A的平分線和線段BC的垂直平分線，找到它們的交點(diǎn)，即為圓心O，再以O(shè)B為半徑畫(huà)出⊙O即可.

3. 開(kāi)放性作圖題

例11 （陜西卷）如圖22，已知△ABC，AC > AB，∠C = 45°. 試用尺規(guī)作圖法，在邊AC上求作一點(diǎn)P，使∠PBC = 45°.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.）

分析：此題考查了基本作圖中“作一個(gè)角等于已知角”“過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線”“作一條線段的垂直平分線”“作三角形的外接圓”“作一條線段等于已知線段”. 此題強(qiáng)調(diào)作圖的方法和作圖原理，形式新穎，彰顯創(chuàng)新能力，要求學(xué)生進(jìn)行多方位、多角度、多層次地探究，基于判斷尋找解決問(wèn)題的路徑，對(duì)于開(kāi)闊學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力具有重要意義.

此題屬于尺規(guī)作圖“作法操作類(lèi)”試題，需要學(xué)生動(dòng)手操作完成，既能豐富學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)知識(shí)的探究欲. 根據(jù)尺規(guī)作圖法，在邊AC上求作一點(diǎn)P，使∠PBC = ∠C = 45°. 解決尺規(guī)作圖問(wèn)題的關(guān)鍵在于掌握基本作圖的方法、明確基本作圖的原理、理解基本作圖的依據(jù)，以及尋找基本作圖的路徑. 此題屬于解題方法多樣的開(kāi)放性試題，這樣的試題能避免學(xué)生死記解題方法，需要學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，尋求多樣性的解題方法.

作圖方法和依據(jù)如表1所示.

三、教學(xué)建議

1. 研讀尺規(guī)作圖文化，深挖幾何知識(shí)背景

尺規(guī)作圖作為幾何作圖最基本的形式，是演繹推理的一種體現(xiàn).《幾何原本》中也給出了多種尺規(guī)作圖的方法.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)尺規(guī)作圖的要求在《幾何原本》中都有所體現(xiàn). 不難發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖這種演繹推理的形式，為我們提供了作圖的依據(jù)和原理，這在幾何證明中是不可或缺的. 表2是《標(biāo)準(zhǔn)》中要求的五類(lèi)基本作圖，在《幾何原本》一書(shū)中找到了出處.

[《標(biāo)準(zhǔn)》要求 《幾何原本》出處 《幾何原本》表述 作一條線段等于已知線段 第Ⅰ卷命題2 ? ? 由一個(gè)已知點(diǎn)（作為端點(diǎn)）作一線段等于已知線段 作一個(gè)角等于已知角 第Ⅰ卷命題23 ? ? 由已知直線和它上面一點(diǎn)，作一個(gè)直線角等于已知直線角 作一個(gè)角的平分線 第Ⅰ卷命題9 ? ? 二等分一個(gè)已知直線角 作一條線段的垂直平分線 第Ⅰ卷命題10 ? ? 二等分已知有限直線 過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線 第Ⅰ卷命題11 ? ? 由已知直線上一已知點(diǎn)作一直線和已知角成為直角 第Ⅰ卷命題12 ? ? 由已知無(wú)限直線外一已知點(diǎn)作該直線的垂線 ][? ? 表2]

數(shù)學(xué)教育家G.波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授》一書(shū)中曾提到，在中學(xué)課程里傳統(tǒng)的作圖法幾乎全部是雙軌跡模型的直接應(yīng)用. 基于此，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)文化的研究，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)幾何語(yǔ)言的本質(zhì)和作圖原理，形成如圖23所示的解題結(jié)構(gòu).

2. 深究尺規(guī)作圖原理，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升

在平時(shí)的幾何教學(xué)中，教師要注重合情推理與演繹推理的相互配合，數(shù)學(xué)思想的相互滲透，科學(xué)合理的將理論與操作相結(jié)合，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 尺規(guī)作圖教學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力的重要內(nèi)容之一，教學(xué)中應(yīng)抓住知識(shí)的本質(zhì)，注重知識(shí)的生成過(guò)程，強(qiáng)化知識(shí)的應(yīng)用，在應(yīng)用正向思維的同時(shí)，也要強(qiáng)調(diào)逆向思維，并規(guī)范學(xué)生作圖語(yǔ)言的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)作圖原理，準(zhǔn)確提取作圖依據(jù)，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化的遷移、內(nèi)化和應(yīng)用，做到一題多解，并且將多解歸一.

3. 規(guī)范幾何語(yǔ)言表達(dá)，理清尺規(guī)作圖路徑

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的顯性體現(xiàn)，它往往會(huì)通過(guò)符號(hào)、字母、文字傳達(dá)一些重要的信息. 在教學(xué)時(shí)，教師不但要引導(dǎo)學(xué)生熟悉尺規(guī)作圖規(guī)范，而且要重視學(xué)生在尺規(guī)作圖知識(shí)內(nèi)化過(guò)程中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，要求學(xué)生會(huì)描述尺規(guī)作圖相應(yīng)的作圖步驟.

四、命題建議

中考試卷中的尺規(guī)作圖試題能很好地發(fā)揮尺規(guī)作圖的教育價(jià)值，指導(dǎo)日常教學(xué)的方向，即抓住尺規(guī)作圖的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的建構(gòu). 尺規(guī)作圖試題的命制常常要利用圖形創(chuàng)設(shè)一種情境，即在某種情境條件下，強(qiáng)調(diào)觀察、操作、推理，由學(xué)生自己動(dòng)手解決問(wèn)題. 要求學(xué)生能規(guī)范作出符合要求的圖形，并明晰其中的原理，是一種具有挑戰(zhàn)的創(chuàng)造性活動(dòng)，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造性. 尺規(guī)作圖問(wèn)題能夠考查學(xué)生思維的開(kāi)放性和創(chuàng)新性，題型呈現(xiàn)上可以是選擇題、填空題或解答題，考查方式包括尺規(guī)作圖與作法操作、尺規(guī)作圖與幾何計(jì)算、尺規(guī)作圖與證明猜想、尺規(guī)作圖與方案設(shè)計(jì)、尺規(guī)作圖與圖案設(shè)計(jì)、尺規(guī)作圖與實(shí)際應(yīng)用等.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]歐幾里得. 幾何原本[M]. 蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯. 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[3]波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授[M]. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學(xué)出版社，2006.

[4]陳鋒，鐘鳴. 一道中考尺規(guī)作圖題的解法分析及教學(xué)啟示[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（9）：44-46.

[5]肖世兵. 近三年中考“尺規(guī)作圖”命題分析、感悟及實(shí)踐[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（6）：60-62.