信息技術(shù)助力探究知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系

馬媛

摘? 要：在信息化教育背景下，如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生在有效的時(shí)間內(nèi)更高效地吸收知識(shí)，是當(dāng)前一直在探索的問題.“一次函數(shù)與方程、不等式”一課是高效課堂教學(xué)模式的初探，力求在信息技術(shù)的輔助下，通過不同問題的設(shè)計(jì)和不同信息技術(shù)軟件的運(yùn)用，為學(xué)生搭建階梯，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中通過已有知識(shí)去探索未知的知識(shí)，同時(shí)鞏固所學(xué)的舊知，逐漸體會(huì)不同知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：高效課堂;信息技術(shù);數(shù)形結(jié)合

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課的內(nèi)容選自人教版《義務(wù)教育教科書 · 數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“19.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式”.

2. 內(nèi)容解析

該部分內(nèi)容屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，從函數(shù)的角度討論一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組三個(gè)已學(xué)對(duì)象. 它們不是新知識(shí)，但學(xué)生對(duì)其的認(rèn)識(shí)還有待進(jìn)一步深化. 本節(jié)課用函數(shù)的觀點(diǎn)對(duì)它們重新進(jìn)行分析，這種再認(rèn)識(shí)不是簡單的知識(shí)回顧，而是從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)揮函數(shù)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)作用，用一次函數(shù)的觀點(diǎn)把以前學(xué)習(xí)的方程和不等式內(nèi)容進(jìn)行整合.

教學(xué)重點(diǎn)：從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）通過微課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠用函數(shù)的觀點(diǎn)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面解釋一元一次方程與一元一次不等式.

（2）經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程、不等式解的過程，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，并能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想從“數(shù)”“形”兩個(gè)方面解釋二元一次方程與二元一次方程組.

（3）提升學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用.

（4）領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想對(duì)實(shí)際生活問題的啟示作用.

2. 目標(biāo)解析

目標(biāo)（1）解析：本節(jié)課先讓學(xué)生通過微課自學(xué)用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程與一元一次不等式，使學(xué)生初步了解從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面分析一元一次方程與一元一次不等式，為后面分析二元一次方程和二元一次方程組做好鋪墊.

目標(biāo)（2）解析：在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)逐漸了解了數(shù)形結(jié)合思想，接下來的二元一次方程與方程組則是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的鞏固和深化，使學(xué)生能領(lǐng)悟到通過圖象，利用函數(shù)思想從不同的角度看問題.

目標(biāo)（3）解析：在研究一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（組）的過程中，通過微課自學(xué)、例題延伸、變式訓(xùn)練、合作探究等環(huán)節(jié)，逐漸深化函數(shù)思想，提高學(xué)生的思維能力.

目標(biāo)（4）解析：用函數(shù)的觀點(diǎn)從不同的角度看問題，這種數(shù)學(xué)思想也可以延伸到生活中，從不同的角度去看生活中的實(shí)際問題，從而培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

三、教學(xué)支持條件分析

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，為了能直觀地突出教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，借助信息技術(shù)工具輔助教學(xué). 主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）教師提前錄制好微課，并將其轉(zhuǎn)換成二維碼，課前學(xué)生可以掃碼觀看微課進(jìn)行自學(xué).

（2）在課堂活動(dòng)中，學(xué)生借助圖形計(jì)算器軟件繪制函數(shù)圖象，進(jìn)而借助圖象直觀探究二元一次方程（組）與一次函數(shù)之間的關(guān)系.

（3）利用希沃白板的同屏、放大鏡、蒙層等功能輔助教學(xué).

四、教學(xué)過程

1. 復(fù)習(xí)舊知，為新知鋪路

問題1：列表法畫函數(shù)圖象的步驟是什么？

以函數(shù)[y=2x+1]為例，學(xué)生很輕松地回答步驟為列表、描點(diǎn)、連線. 教師強(qiáng)調(diào)首先要求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

【評(píng)析】問題1強(qiáng)調(diào)了“自變量的取值范圍”在解決函數(shù)問題中的重要性.

問題2：如何描點(diǎn)與連線？試用語言表達(dá)這個(gè)過程.

以函數(shù)[y=2x+1]為例，學(xué)生根據(jù)下表中給出的每一組[x]與[y]的值，也就是點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后用平滑的曲線將點(diǎn)連接起來，畫出如圖1所示的函數(shù)圖象.

教師補(bǔ)充：列表時(shí)，取的[x]與[y]的組數(shù)越多，描出的點(diǎn)就越多，這樣畫出的函數(shù)圖象就越精確. 函數(shù)圖象由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成，研究函數(shù)的圖象本質(zhì)就是研究函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo).

【評(píng)析】利用希沃白板呈現(xiàn)表格和圖象. 同時(shí)，教師手動(dòng)演示描點(diǎn)的過程，通過對(duì)描點(diǎn)法的回顧，使得學(xué)生體會(huì)到函數(shù)的圖象實(shí)際上是由點(diǎn)構(gòu)成的，研究圖象的本質(zhì)就是研究點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，為學(xué)習(xí)后面的知識(shí)做鋪墊.

2. 微課自學(xué)，知識(shí)反饋

教師課前使用PPT，借助幾何畫板軟件的動(dòng)態(tài)演示效果，利用錄屏軟件完成微課制作，并將其轉(zhuǎn)換為二維碼，方便學(xué)生觀看. 微課內(nèi)容為從函數(shù)的角度討論了一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組，并以[y=2x+1]為例進(jìn)行說明.同時(shí)，微課中設(shè)置了例題和對(duì)照練習(xí)，給學(xué)生充分的時(shí)間學(xué)習(xí)新知，鞏固練習(xí)，并且有答案可以核對(duì)，及時(shí)了解知識(shí)掌握情況.

【評(píng)析】將知識(shí)點(diǎn)錄制成微課，通過微信公眾號(hào)發(fā)布給學(xué)生，讓學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，并且可以反復(fù)觀看. 通過微課的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步了解從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面分析一元一次方程與一元一次不等式，為后面分析二元一次方程和二元一次方程組做好鋪墊.

問題3：利用函數(shù)圖象求解[2x+6=2]和[2x+6>4.]

有了前面對(duì)微課內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)于問題3，學(xué)生可以從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面分別進(jìn)行分析.

對(duì)于一元一次方程[2x+6=2]，從數(shù)的角度看，是求函數(shù)[y=2x+6]，當(dāng)[y=2]時(shí)所對(duì)應(yīng)的[x]值;從形的角度看，是求函數(shù)[y=2x+6]圖象上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)的橫坐標(biāo).

對(duì)于一元一次不等式[2x+6>4]，從數(shù)的角度看，是求函數(shù)[y=2x+6]，當(dāng)[y>4]時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍;從形的角度看，是求函數(shù)[y=2x+6]圖象上縱坐標(biāo)大于4的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

教師補(bǔ)充：一元一次方程[2x+6=2]可以通過等式的性質(zhì)進(jìn)行變形. 例如，可以變形為[2x+4=0]，那么就可以利用函數(shù)[y=2x+4]進(jìn)行求解. 任意變形都會(huì)有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù). 不等式亦然.

【評(píng)析】利用微課復(fù)習(xí)已學(xué)內(nèi)容，鞏固所學(xué)知識(shí). 通過問題3的解決使學(xué)生體會(huì)從不同角度去分析問題，為后面用函數(shù)的觀點(diǎn)看二元一次方程做鋪墊.

3. 觀察類比，探索新知

問題4：試從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度分析二元一次方程[5x-y+17=0.]

學(xué)生利用圖形計(jì)算器軟件輸入[5x-y+17=0]后，發(fā)現(xiàn)此方程呈現(xiàn)的圖象是一條直線（如圖2），此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生將[5x-y+17=0]變形為[y=5x+17]，使學(xué)生能了解到二元一次方程可以變形為一次函數(shù). 它們本質(zhì)相同，只是存在的形態(tài)不同.

【評(píng)析】學(xué)生利用圖形計(jì)算器軟件畫出函數(shù)圖象，直觀看出二元一次方程所對(duì)應(yīng)的圖象是一條直線. 教師再引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面分析二元一次方程，將兩個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，為后面用函數(shù)的觀點(diǎn)看二元一次方程組做鋪墊.

問題5：解方程組[5x-y+17=0，5x-2y+2=0.]

教師引導(dǎo)學(xué)生用代入法解此方程組，先將方程組變形為[y=5x+17，y=5x2+1.] 通過代入法將此方程組化為一元一次方程[5x+17=5x2+1 ①.] 通過解一元一次方程中[x]的值，得到二元一次方程組的解.

【評(píng)析】二元一次方程組的解能為后面畫圖做鋪墊，讓學(xué)生直觀觀察出方程組的解與兩條直線交點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)二元一次方程組可以變形為一元一次方程，為后面將一元一次方程變?yōu)槎淮畏匠探M做鋪墊.

問題6：通過問題4，已經(jīng)分析出每一個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，其圖象也對(duì)應(yīng)著一條直線，那么問題5中的兩個(gè)二元一次方程也都有對(duì)應(yīng)的直線，試用圖形計(jì)算器軟件畫出圖象，并尋找規(guī)律.

學(xué)生利用圖形計(jì)算器軟件畫出如圖3所示的[y=5x+][17]與[y=5x2+1]的函數(shù)圖象，觀察發(fā)現(xiàn)二元一次方程組[y=5x+17，y=5x2+1] 的解恰好是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

【評(píng)析】通過軟件的操作可以讓學(xué)生直觀看出二元一次方程組的解即為兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

問題7：為什么二元一次方程組的解是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？

師生總結(jié)如下.

從數(shù)的角度分析：每個(gè)二元一次方程都有無數(shù)組解，對(duì)于問題5中的二元一次方程組，只有一組解能同時(shí)滿足這兩個(gè)二元一次方程. 從形的角度分析：每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一條直線，每條直線上都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，但兩條直線的公共點(diǎn)只有一個(gè)，所以方程組的解即為兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

【評(píng)析】從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度分析方程組的解與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，使結(jié)果上升到理論的層面，有助于學(xué)生理解此種現(xiàn)象，并為后面的問題鋪墊.

問題8：有的方程組無解，有的方程組有無數(shù)組解，那么所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別是怎樣的？

方程組無解時(shí)兩條直線平行，方程組有無數(shù)組解時(shí)兩條直線重合.

【評(píng)析】問題8是對(duì)問題7的補(bǔ)充，加深學(xué)生對(duì)二元一次方程組與對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)坐標(biāo)的理解.

問題9：如圖4，求關(guān)于[x]的方程[3x+b=ax-2]的解.

問題中給出的是一個(gè)一元一次方程，而圖象給出的卻是兩條直線. 前面已經(jīng)得到結(jié)論“每個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)著一條直線”，這個(gè)問題給出了兩條直線，則題目中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)二元一次方程，但此題中只出現(xiàn)了一元一次方程，這應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧問題5的解題過程，對(duì)[5x+17=][5x2+1]①式進(jìn)行分析，此一元一次方程就是由方程組[y=5x+17，y=5x2+1]轉(zhuǎn)化而來的. 要求學(xué)生對(duì)①式進(jìn)行翻譯，并引導(dǎo)學(xué)生回答[5x+17=5x2+1]可以看成方程[y=5x+][17]與方程[y=5x2+1]，求當(dāng)[y]值相同時(shí)所對(duì)應(yīng)的[x]的值.

此時(shí)，教師再次引導(dǎo)學(xué)生類比剛才的問題，回答問題9中的一元一次方程所代表的意義，即方程[3x+][b=ax-2]的解可以看成方程[y=3x+b]與方程[y=ax-2]的[y]值相同時(shí)所對(duì)應(yīng)的[x]的值，翻譯成圖形語言，即求兩條直線的縱坐標(biāo)相同時(shí)的橫坐標(biāo)，通過圖象可以找到答案.

【評(píng)析】此題給出的一元一次方程無法直接解出答案，必須由圖象作答，這就要求學(xué)生對(duì)之前所講述的問題要熟練掌握. 此題的出現(xiàn)既是對(duì)前面問題的鞏固與升華，又是給后面的問題做鋪墊.

4. 合作探究，加固新知

問題10：如圖5，求關(guān)于[x]的不等式[3x+b>ax-2]的解集. 試類比問題9的解題過程，小組討論完成此題.

學(xué)生回答如下：不等式[3x+b>ax-2]的解集可以看成對(duì)于方程[y1=3x+b]與[y2=ax-2]，當(dāng)[y1>y2]時(shí)所對(duì)應(yīng)的[x]的取值范圍. 翻譯成圖形語言，即當(dāng)直線[y1=3x+b]在直線[y2=ax-2]上方時(shí)，求所對(duì)應(yīng)的[x]的取值范圍.

【評(píng)析】問題10是對(duì)問題9的鞏固與升華，學(xué)生通過小組合作討論得到結(jié)論，提升運(yùn)用類比思想解決問題的能力.

問題11：如圖6，[y=-2x]與[y=kx+b]的圖象交于點(diǎn)A，求不等式[k+2x+b≥0]的解集.

師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生與前面的問題進(jìn)行對(duì)比、思考，組織學(xué)生討論. 學(xué)生回答后，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行強(qiáng)調(diào)與補(bǔ)充，即可以將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象求解.

【評(píng)析】通過再次給出關(guān)于不等式的問題，幫助學(xué)生鞏固前面已獲得的經(jīng)驗(yàn). 此題還是一道變式題，使學(xué)生能在解題的過程中建立化歸思想，同時(shí)希望學(xué)生實(shí)現(xiàn)由知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化.

5. 動(dòng)手操作，方法總結(jié)

每名學(xué)生手中都有教師提前準(zhǔn)備的一組解析式，每組解析式可以組成一個(gè)漢字，將函數(shù)解析式輸入到圖形計(jì)算器軟件中，便能得到解此類問題的秘籍——以不變應(yīng)萬變，如圖7所示.

【評(píng)析】學(xué)生通過動(dòng)手操作得到“以不變應(yīng)萬變”六個(gè)字，用不變的數(shù)形結(jié)合思想去解決此類萬變的題目，讓學(xué)生感知利用函數(shù)圖象可以造出多變的字，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

6. 文化素養(yǎng)的提升

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到可以從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度去分析函數(shù)問題，了解到換一個(gè)角度分析問題可能會(huì)使問題的解決更加簡便，數(shù)學(xué)思想在生活中同樣適用.

【評(píng)析】使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的解題思想能夠應(yīng)用于生活中，數(shù)學(xué)中多變的圖形能夠變幻出不同的人生哲理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)在生活中的美.

五、教學(xué)反思

1. 關(guān)于微課的處理

本節(jié)課的內(nèi)容是以微課中給出的知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過微課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面解釋一元一次方程與不等式，在這個(gè)過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，將一次函數(shù)、一元一次方程和不等式這三部分內(nèi)容聯(lián)系在一起，感受知識(shí)的橫向與縱向聯(lián)系. 課前的微課學(xué)習(xí)為本節(jié)課做好了充足的前期準(zhǔn)備，從而使得學(xué)生在課堂上能夠順利將思維拓展到從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面表示二元一次方程（組），以及用數(shù)形結(jié)合思想去解含參數(shù)的不等式.

利用微課自學(xué)最大的優(yōu)勢體現(xiàn)在學(xué)生能夠根據(jù)自己的實(shí)際情況調(diào)整學(xué)習(xí)進(jìn)度，按照自己的步伐進(jìn)行學(xué)習(xí). 本節(jié)課有一個(gè)遺憾就是課前沒有對(duì)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況進(jìn)行有效的反饋，只是課堂上提問了個(gè)別學(xué)生. 課前在布置微課作業(yè)后，可以利用信息技術(shù)軟件布置關(guān)于相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的題目，反饋學(xué)生自學(xué)的情況，使教師對(duì)學(xué)生的掌握程度做到“心中有數(shù)”，在設(shè)置教學(xué)目標(biāo)時(shí)也會(huì)更有針對(duì)性. 自學(xué)微課在一定程度上可以提高課堂教學(xué)效率. 在高效課堂初探中，利用微課教學(xué)是較好的方式，但教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)微課的反饋也要落實(shí)到位.

2. 教學(xué)效果反思

本節(jié)課的知識(shí)含量較大. 但教師以將方程與不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題為主線，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度去分析問題，整體設(shè)計(jì)以提問和變式的方式呈現(xiàn)，層層遞進(jìn). 本節(jié)課的問題設(shè)置有梯度，前一問都是在為后一問做鋪墊，解決問題的同時(shí)也對(duì)前面知識(shí)的掌握程度進(jìn)行反饋.

3. 信息技術(shù)助力課堂教學(xué)

本節(jié)課中，通過充分利用信息技術(shù)軟件，將圖形直觀地展現(xiàn)出來，使學(xué)生能直觀地探究知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

首先，利用希沃白板對(duì)描點(diǎn)法進(jìn)行回顧，動(dòng)態(tài)演示將點(diǎn)連線的過程. 學(xué)生觀看此過程可以更直觀地理解函數(shù)的圖象是由點(diǎn)組成的，這也是解釋后面問題的基礎(chǔ).

其次，在錄制微課的過程中，利用幾何畫板軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示. 學(xué)生通過觀看微課可以直觀感受直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的變化而變化，從而自然地利用函數(shù)圖象解釋方程與不等式的問題.

最后，利用圖形計(jì)算器軟件畫出二元一次方程、方程組所對(duì)應(yīng)的圖象，使學(xué)生將二元一次方程（組）與一次函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系，利用描點(diǎn)法的本質(zhì)來解釋，不斷探索問題的本質(zhì).

信息技術(shù)的利用是為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)而存在的. 單純使用信息技術(shù)的課堂會(huì)變得華而不實(shí)，信息技術(shù)的應(yīng)用也失去了它原有的價(jià)值和意義. 在信息化教育的背景下，課堂的主線不能變，要讓信息技術(shù)的使用變成畫龍點(diǎn)睛，而不是華而不實(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉金英，李慶.“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（1 / 2）：26-29.