思維在多解中提升 素養(yǎng)在探究中發(fā)展

蔡衛(wèi)兵

摘? 要：2019年中考浙江寧波卷第26題由多道層次清晰、梯度分明的小題構(gòu)成，側(cè)重考查學(xué)生異中求同、由形悟質(zhì)的能力. 在綜合復(fù)習(xí)中選用此題開展一題多解和多解歸一的深度學(xué)習(xí)，以問題啟發(fā)學(xué)生有效思考、互動式思辨對話和促進學(xué)生思維能力為基調(diào)，引導(dǎo)學(xué)生多角度切入，多方面挖掘試題內(nèi)涵，追求邏輯連貫，開拓解題思路，在多解與多思中完善思維結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：中考試題;教學(xué)運用;思維提升;素養(yǎng)發(fā)展

對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)注就是落實數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想. 在解題教學(xué)中，不僅要進一步深化所學(xué)知識，而且要對技巧的運用進行示范，把數(shù)學(xué)知識、解題技能和思想方法聯(lián)系起來，并最終轉(zhuǎn)化為能力. 解題教學(xué)的質(zhì)量直接影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，也對學(xué)生對基本思想的感悟和基本活動經(jīng)驗的積累有著重要影響，進而影響學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力. 因此，選取優(yōu)質(zhì)試題，把握其精髓，彰顯解題思路和解題方法的典型性及代表性，由知識轉(zhuǎn)化為能力上的示范性和啟發(fā)性，應(yīng)該成為初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的核心.

2019年中考浙江寧波卷第26題由多道層次清晰、梯度分明的小題構(gòu)成，側(cè)重考查學(xué)生異中求同、由形悟質(zhì)的能力，充分體現(xiàn)了“知識與能力并重，思想與方法交融”的命題特點. 此題巧妙地將等邊三角形放置于圓中，著重考查圓的基本性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，以及函數(shù)、方程、轉(zhuǎn)化、類比等思想，將重要的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)得淋漓盡致. 因此，筆者在綜合復(fù)習(xí)中選用此題開展一題多解和多解歸一的訓(xùn)練，盡可能誘導(dǎo)出學(xué)生的想法，落實“教思考”的過程，提煉數(shù)學(xué)模型，激活學(xué)生的運算能力，讓學(xué)生在實踐中反思、在反思中體驗、在體驗中感悟、在感悟中提升.

一、試題呈現(xiàn)

題目? 如圖1，⊙O經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內(nèi)），分別與AB，CB的延長線交于點D，E，連接DE，BF⊥EC交AE于點F.

二、解法探究

1. 重基礎(chǔ)，通概念，激活知識梳理

思維是核心，觀察是入門. 仔細觀察，全面深入分析問題，準確把握幾何圖形特征，可以充分發(fā)揮其潛在的育人功能，促進學(xué)生學(xué)會合乎邏輯地思考，促使學(xué)生自然生成解題思路.

對于第（1）小題，從主干條件中提取有用的信息. 例如，等邊三角形、圓等圖形的結(jié)構(gòu)特征. 從記憶儲存中提取相關(guān)的信息. 例如，等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等、三個內(nèi)角都等于60°、三線合一;圓的基本性質(zhì)：垂徑定理及其逆定理，圓心角定理及其逆定理，圓周角定理及其推論. 從尋找目標中提取常用的解題經(jīng)驗. 例如，證明線段相等的常用方法：全等三角形、等角對等邊、等弧對等弦、利用等式性質(zhì)進行線段和差、利用平行四邊形的性質(zhì). 將上述信息進行有效組合，使之成為一個合乎邏輯的和諧結(jié)構(gòu)，獲得第（1）小題的證明思路.

思路1：因為所要證明相等的兩條線段BD，BE都在△BDE中，所以想到證明∠DEB = ∠D，于是想到利用“同弧所對的圓周角相等”和等邊三角形的性質(zhì)證明∠DEB = ∠D.

思路2：因為要證明相等的線段BD，BE可以分別放到△ABE和△CBD中，所以想到尋找三角形全等的條件，即連接CD，利用“ASA”證明△ABE ≌ △CBD.

思路3：根據(jù)題意，得AB = BC. 所以只需證明AD = CE即可. 故利用同圓中相等的圓周角所對的弧相等和等弧對等弦，得AD = CE. 然后利用等式性質(zhì)即可求證.

【評析】第（1）小題注重基礎(chǔ)、兼顧全體、扎根教材，切入點較多，是學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識、強化基本技能、理清基本方法的良好載體. 其中，觀察圖形、初步感知、提取信息，為思維的流暢進行樹立第一塊路標. 但是不同學(xué)生對同一數(shù)學(xué)問題可能存在不同的認識與理解，他們的直覺思維和數(shù)學(xué)建構(gòu)方式也不盡相同，學(xué)生之間的相互補充能彌補某些信息的缺口及差異，從而將已有的概念性知識、理解方法和策略方面的程序性知識聯(lián)系起來，最終形成關(guān)于問題的內(nèi)在表征模型.

2. 重過程，通思維，引領(lǐng)理性思考

對于第（2）小題，結(jié)合圖形分析已知條件，學(xué)生不難得出除了主干條件等邊三角形和圓形以外，還有等邊三角形的邊長及AF∶FE = 3∶2兩部分.

以此進行思辨：由同一條直線上的兩條線段之比，你能想到什么知識？如何在解題中加以運用？又能獲得哪些有用的結(jié)論？除了利用平行或相似轉(zhuǎn)化比例線段之外，問題中還有一些特殊的條件或目標暗示著解題方向嗎？由此想到“倍分關(guān)系尋相似，添線平行成習(xí)慣，構(gòu)造“A型”圖或“X型”圖實現(xiàn)線段代換”的解題經(jīng)驗，通過作平行線構(gòu)造相似三角形作為解題的思維起點，聯(lián)系已知的60°角構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理作為幾何計算的解題依據(jù). 由此讓學(xué)生意識到下一步的行動，以“問題啟發(fā)學(xué)生有效思考”為基調(diào)，以“觀察探索”和“互動探討”為基本學(xué)習(xí)途徑，獲得如下解法.

【評析】第（2）小題主要涉及相似模型和含特殊角的直角三角形的構(gòu)造，突出了“數(shù)”與“形”的有機聯(lián)系，彰顯了美和真的和諧統(tǒng)一. 結(jié)合圖形直觀想象、深入分析、廣泛聯(lián)系，學(xué)生自然能建立起已知和目標之間的邏輯結(jié)構(gòu)，輔助線的添加思路也會水到渠成. 引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方面挖掘信息，切入點的多樣化使得圖形的構(gòu)造不拘一格，充分體現(xiàn)了幾何題的無窮魅力并發(fā)揮了其潛在的育人功能，這樣不僅可以讓學(xué)生的思維更加靈活和開闊，還能達到培養(yǎng)求異思維的目的.

3. 重模型，通本質(zhì)，促進數(shù)學(xué)理解

對于第（3）小題第①問，根據(jù)第（2）小題和第（3）小題的條件對比分析，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，嘗試類比已有的輔助線添加思路，作平行線構(gòu)造“A型”或“X型”相似模型均可實現(xiàn)線段比值的轉(zhuǎn)化，自然建立起已知和目標之間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯結(jié)構(gòu).

順勢而思辨：順著這個思路又發(fā)現(xiàn)了什么？進一步將問題轉(zhuǎn)化為什么問題？第①問的目標是什么？結(jié)合圖形又想到了什么？由銳角三角函數(shù)的定義導(dǎo)航數(shù)學(xué)思考，關(guān)鍵是構(gòu)造包含∠DAE的直角三角形. 結(jié)合圖形想到了已知的特殊角∠ABF = 30°或∠ADE = 60°，由此發(fā)現(xiàn)只需過點E或點F作AD的垂線即可將特殊角與∠DAE放到直角三角形中. 由此以“模型導(dǎo)航”和“互動式思辨對話”為基調(diào)，以“概念解讀”和“感悟聯(lián)想”為基本學(xué)習(xí)途徑，獲得多種解法. 以下交流展示其中的兩種解法.

【評析】第（3）小題第①問引領(lǐng)學(xué)生沿著從特殊到一般的思路，閱讀理解、猜想論證、推理計算，關(guān)注學(xué)習(xí)和探究過程，充分體現(xiàn)過程性學(xué)習(xí)理念，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，充分考查了學(xué)生的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)潛能，彰顯了對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查要求. 此問應(yīng)用前面構(gòu)造的“平行相似”模型實現(xiàn)線段比值的轉(zhuǎn)化，學(xué)以致用，讓遷移有效發(fā)生. 同時充分展現(xiàn)了基本圖形的引領(lǐng)作用，促進學(xué)生學(xué)會合乎邏輯地思考，促使學(xué)生自然生成解題思路.

4. 重訓(xùn)練，通算理，培養(yǎng)運算能力

對于第（3）小題第②問，深究題意，轉(zhuǎn)換形式. 例如，它們有什么關(guān)系？如何表示？還能如何表示？由題設(shè)中的條件能夠推出什么？還能推出什么？結(jié)論之間有什么關(guān)系？可以怎樣利用？它是否與某道解過的題目有聯(lián)系？能否利用這個聯(lián)系？這些解題的啟發(fā)性提示語能有效指導(dǎo)學(xué)生的思維操作. 因為前面已經(jīng)得到[y=34x+1，] 所以只需求出x的值即可確定y的值. 根據(jù)“△AEC的面積是△OFB面積的10倍”的條件，想到建立關(guān)于x的方程. 但是這兩個三角形既不相似也不具有同底或等高的關(guān)系，因此想到利用面積計算公式分別將它們表示出來，而此題沒有已知的邊長信息，所以此路也不通. 通過作平行線構(gòu)造“A型”或“X型”相似模型，由線段AF，EF的比值找出兩個等邊三角形邊長之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上只需用字母表示其中一條線段的長度，再用符號進行相關(guān)線段的數(shù)學(xué)表達、運算和推理，表示出相關(guān)線段的長度是解決問題的關(guān)鍵. 在上述作平行線的諸多方法中選擇“過點A作AG⊥BC”比較合適，因為這樣不僅能由AG∥BF實現(xiàn)線段比值的轉(zhuǎn)化，又能由AG為△ACE的邊CE上的高線與三角形的面積聯(lián)系起來，還能得到AG與BF的關(guān)系，由此進一步想到將BF作為△OBF的底邊進行面積計算，過點O作CE的弦心距OM，即可知BM的長等于BF邊上的高長. 由此以“有效提升運算能力”和“促進學(xué)生思維能力”為基調(diào)，以“動手操作”和“自主運算”為基本學(xué)習(xí)途徑，獲得如下解法.

【評析】第（3）小題第②問對學(xué)生個體發(fā)展的差異進行了有效“甄別”，需要學(xué)生具備一定的幾何直觀和幾何推理能力、發(fā)現(xiàn)與探究能力、合情推理能力和數(shù)學(xué)運算能力等. 在探究過程中，問題環(huán)環(huán)相扣，需要學(xué)生逐步完善圖形，逐漸創(chuàng)新思路，凸顯符號意識，發(fā)展代數(shù)推理能力. 反饋解題過程不僅能改進解題的思路和方法，而且能提煉出對解題有指導(dǎo)作用的信息，進一步升華為學(xué)生搜索、捕獲、分析、加工和運用信息能力的總和.

5. 重小結(jié)，通思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

通過對上述題目的探究，發(fā)現(xiàn)這些解法的突破口是什么？是如何找到思路的？應(yīng)用了哪些知識點和方法？還有沒有其他方法可以找到該突破口？輔助線的添加有什么共同特點？添加輔助線后有什么好處？你積累了哪些解題經(jīng)驗？獲得了哪些思想方法？你能否利用前面的解題經(jīng)驗類似地對問題進行改變？某種方法對已知數(shù)據(jù)或已知關(guān)系的依賴是本質(zhì)的還是非本質(zhì)的？

學(xué)生展開暢談、形成共識. 中考壓軸題是為考查學(xué)生綜合運用知識的能力而設(shè)計的，其特點是涉及的知識點多、覆蓋面廣、層層設(shè)問、逐步遞進、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活，關(guān)注數(shù)學(xué)核心知識（方程、函數(shù)、全等三角形、相似三角形、圓的基本性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等）的積累，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法（轉(zhuǎn)化思想、類比思想、模型思想、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等）的內(nèi)化，從基本圖形出發(fā)嘗試添加輔助線來解答初中幾何試題，能自然而然地找到解題的切入口，順利地把條件與結(jié)論串聯(lián)起來，得到暢通的思路，使解法簡潔、流暢. 可以說基本圖形是輔助線添加的源頭，它驅(qū)動著思維，催生著自然流暢、邏輯連貫的解題思路. 要尋找解題的多種策略和方法的核心本質(zhì)，即要努力分析出題目的“源”，進而探究題目的“流”. 例如，將第（2）小題改為“求⊙O的半徑”;在第（3）小題中，設(shè)tan[∠DAE=x， AFEF=y，] 求y與x之間的函數(shù)表達式;題干中去掉“圓心O在△ABC內(nèi)”的條件，或改為“⊙O經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內(nèi)），分別與邊AB，CB交于點D，E”.

數(shù)學(xué)感悟就是要把數(shù)學(xué)知識內(nèi)化為學(xué)生個人的知識，把數(shù)學(xué)方式內(nèi)化為學(xué)生自身的行為方式，把數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為學(xué)生個體的觀念品質(zhì). 這個過程也是引導(dǎo)學(xué)生體悟問題解決的一般性程序，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的問題解決習(xí)慣. 利用主圖進行“和而不同”的遷移變化，由此及彼、由正向反、由表及里、由點到面，多種思維方法的訓(xùn)練，不僅有利于學(xué)生緩解、克服不良定勢和思維障礙，還能培養(yǎng)學(xué)生從多層次、多角度提出更多問題，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的關(guān)鍵措施.

三、解后思考

1. 立足一題多解，完善思維結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須提高解題能力. 做題不在于多而在于精，抓住典型問題，注意引導(dǎo)學(xué)生從不同角度切入試題展開聯(lián)想、進行思考，沿不同的路徑求得最終結(jié)果，努力挖掘問題中豐富的內(nèi)涵，尋求問題的多種解法，學(xué)會舉一反三，力求在多思和多解中領(lǐng)悟解題的真諦，變定向思維為多向思維，這樣既能拓寬學(xué)生的解題思路，又可以幫助學(xué)生維持一種思維的靈動狀態(tài)，能完善和豐富知識結(jié)構(gòu). 例如，線段相等的證明方法、線段倍分關(guān)系的轉(zhuǎn)化方法、線段長度的計算方法、特殊角的利用，是熟練運用知識進行解題能力的積累，是交會型知識綜合運用能力的積累，是思想方法滲透經(jīng)驗的積累，是解決相似問題經(jīng)驗的積累. 教師要引領(lǐng)學(xué)生更理性地思考數(shù)學(xué)問題，形成良好的思維習(xí)慣，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.

2. 開展深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)

實施數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，就是立足于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，促進學(xué)生理解并構(gòu)建數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗，形成學(xué)習(xí)的基本能力，逐步形成和發(fā)展核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)活動. 在知識的交會處，以基礎(chǔ)知識和基本結(jié)論為載體，關(guān)注學(xué)科本質(zhì)，注重通性、通法，淡化特殊技巧，基于知識之間的相互轉(zhuǎn)化，問題逐步深入，遵循了由特殊到一般的思想，追求邏輯連貫，其解法始終有一條主線（相似基本模型助突破）貫穿其中，這就是問題積淀的“質(zhì)”，在解法中融入典型的數(shù)學(xué)思想，即運用模型和轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想. 從題目“源”的分析到題目“流”的探究，呈現(xiàn)過程符合學(xué)生心理的認知規(guī)律，是合乎邏輯的思維方法. 學(xué)生始終主動地參與深層次的思維活動，以及數(shù)學(xué)地、合乎邏輯地、有條理地思考問題與解決問題的習(xí)慣與能力，從本質(zhì)上講，是會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界（數(shù)學(xué)抽象、直觀想象）、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界（邏輯推理、數(shù)學(xué)運算）、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界（數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析），是超越具體教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)教學(xué)目標. 其中，“四基”是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.

參考文獻：

[1]黃祥勇. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的深度教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報，2018，57（7）：29-32，63.