從幾何研究的基本方法出發(fā)

摘 要： 從生活情境出發(fā)引出“點和圓的位置關系”，能夠增加開課階段的一些趣味，體現數學源自生活。然而，從幾何研究的基本方法或套路出發(fā)，基于圖形位置關系與數量關系的對應，精心設計系列作圖問題，驅動“點和圓的位置關系”的新知生成，能夠關注數學內部的發(fā)展，使得教學更有“幾何味”。

關鍵詞：尺規(guī)作圖 問題驅動 點和圓的位置關系 教學設計

對于“點和圓的位置關系”，不少版本的初中數學教材都是從一個生活情境（比如射擊問題）出發(fā)，引出相應的性質與判定。這樣可以增加開課階段的一些趣味，體現數學源自生活。然而，我們也可以從幾何研究的基本方法或套路出發(fā)，基于圖形位置關系與數量關系的對應，精心設計系列作圖問題，驅動新知生成，串聯(lián)課堂教學。這樣可以關注數學內部的發(fā)展，使得教學更有“幾何味”。下面就給出這樣的教學流程，以供研討。

一、教學流程與思考

（一）“一點”出發(fā)，畫圖分析，引出課題

教師在“副板區(qū)”（黑板的右半部分）先畫出點A，并指出“經過一點的直線有無數條”；再畫出點B，連出直線AB，并指出“經過兩點的直線有且僅有一條”；接著畫出直線AB外一點C（如圖1），并指出“在七年級我們還研究過點與直線的位置關系”。然后，教師在“主板區(qū)”（黑板的左半部分）書寫留白式課題“……位置關系”。

（二）作圓活動，得到“點與圓的位置關系”

教師出示作圖活動1：

作圖1 過點A作圓，能作多少個圓？這些圓的分布有什么特點？

預設：學生畫圖發(fā)現，這樣的圓有無數個，在分布上沒有什么特點。教師在黑板上保留經點A的一個圓，引導學生觀察平面被該圓分成的三個部分，基于圓的定義，從集合的角度來描述點在圓外、圓上、圓內（如圖2）。然后，教師板書完善課題“點和圓的位置關系”，并生成新知“‘數形對應理解點和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離OP=d，則有點P在圓外d>r；點P在圓上d=r；點P在圓內d

教師出示例1：

例1

已知矩形ABCD的四個頂點在同一圓O上，若AB=4 cm，AD=3 cm，邊AB所在直線上有一點E。

（1）當OE=2 cm時，分析點E與⊙O的位置關系；

（2）當OE=2.5 cm時，分析點E與⊙O的位置關系；

（3）當OE=3 cm時，分析點E與⊙O的位置關系；

（4）設平面內有一點P，點P到圓心O的距離大于等于1.5 cm且小于等于2.5 cm時，畫出點P所在的區(qū)域。

預設：本題主要用于鞏固新知（點和圓的位置對應的數量關系），選擇矩形作為問題背景還有一個考慮：矩形的四個頂點恰在以對角線交點為圓心（對角線長為直徑）的圓上。學生不難發(fā)現，前三問分別對應著點在圓內、圓上、圓外，而最后一問則是兩個同心圓形成的圓環(huán)區(qū)域。

（三）作圓活動，研究“三點共圓”問題

教師出示作圖活動2：

作圖2 作一個圓，使該圓能同時經過點A、B。

預設：學生先分組作圖、交流，再全班展示、匯報，發(fā)現這樣的圓也有無數個（如圖3）。教師進一步要求學生說出這些圓的特點，即圓心分布的特點（在線段AB的垂直平分線上）。

教師出示作圖活動3：

作圖3 能否作出一個圓同時經過已知的三個點？

預設：部分學生受到前面的啟發(fā)，畫出兩條垂直平分線的交點，作為圓心，從而確定圓（如圖4）。教師給予肯定，并定義三角形的外接圓與外心等概念。然后，教師啟發(fā)學生繼續(xù)思考：經過平面內三個點一定能確定一個圓嗎？若學生沒有考慮到三個點在同一直線上的情形，教師可引導學生思考之。學生能直觀地看出，不可能作出同時經過同一直線上三個點的圓。這時，教師可讓學生繼續(xù)探究如何說理，從而引出反證法的介紹（結合圖5講解；“反證法”在課標中只作為“了解”內容，這里可以一帶而過）。

教師出示例2：

例2 已知邊長為23的等邊三角形ABC。

（1）尺規(guī)作圖作出△ABC的外接圓⊙O，并求出它的半徑；

（2）若點P到△ABC的外接圓的圓心O的距離大于等于1且小于等于2，分析點P所在的區(qū)域。

預設：第（1）問訓練等邊三角形的外接圓的尺規(guī)作圖，跟進求出半徑為2；第（2）問主要鞏固點到直線的位置關系，從“數”的角度分析“形”的關系。學生會畫出半徑分別為1、2的同心圓O（如圖6），其中小圓O恰為△ABC的內切圓（后面會學到）。

（四）梳理所學，形成結構化的板書

教師引導學生梳理本課所學的內容，完善并形成結構化的板書（包括課題、新知以及圖1～圖5等內容），幫助學生理解本課所學內容與后續(xù)待學內容之間的關系。

教師出示跟進練習：

練習

在平面直角坐標系xOy中，⊙M經過點A（2，0）、B（2，2）、C（0，2）。

（1）尺規(guī)作圖作出⊙M，并寫出圓心M的坐標；

（2）試判斷點D（3，1）與⊙M的位置關系，并說明理由；

（3）若點P（x，y），且x+y=2，試分析當x取何值時，點P在⊙M外、上、內？

意圖：前兩問主要訓練本課教學重點，第（3）問適度拓展與關聯(lián)一次函數圖像（直線）與圓的交點（恰在坐標軸上），并且為后續(xù)研究的直線和圓的位置關系提供知識生長點。

二、教學立意的進一步闡釋

（一）基于作圓活動，驅動課堂進程

如何構思一個好的問題情境或者高度相關的數學活動驅動整節(jié)課的教學進程，是不少教師教學設計時反復思考的。教材中，“點和圓的位置關系”“三點共圓”“反證法”等新知比較零散地出現，關聯(lián)度不強。于是，筆者構思了系列作圖活動。開課時，依次畫出一個點、兩個點（確定一條直線）、三個點（點在直線外），這三個圖形既復習了幾何研究的最初對象（從點到線），也復習了幾何的研究角度（圖形的形狀與位置），更重要的是，為后續(xù)的系列作圖活動提供了三個“生成性教學情境”（由之前的教學活動保留下來的背景，可以作為后續(xù)教學環(huán)節(jié)中一些新知探究的生長點）。具體來說，一個點的圖形為后面“經過一點作圓”的作圖探究提供了“生成性教學情境”；兩個點的圖形為后面“經過兩點作圓”的作圖探究提供了“生成性教學情境”；三個點的圖形為后面“三點共圓”的作圖探究以及三角形外接圓、反證法等新知的探究提供了“生成性教學情境”。

（二）圓的定義出發(fā)，歸納生成新知

通過對教材內容的分析，本課新知探究的生長點是“圓的定義”。圓的定義中有兩個關鍵元素：圓心、半徑。圓心半徑確定圓的位置，圓的半徑確定圓的大小。從圓的定義出發(fā)，可以把平面內的點分成三類：點在圓外、點在圓上、點在圓內。從圓的定義出發(fā)，分別經過一點、兩點、三點（不在同一直線上）作圓，并追問圓是如何作出來，畫出的圓是否唯一確定（圓心能否被確定，半徑能否被確定等）。在不同教學環(huán)節(jié)中，通過互動與對話，反復引導學生回到圓的定義來說理，也是一種數學研究或解題方法的滲透：回到概念去理解或思考。

（三）精心設計例題，突出內容效度

數學課堂教學離不開例題與習題，怎樣選編一些好的例題與習題也是需要我們在備課時認真思考的。本課中，一共安排了3道例題或習題。例1主要訓練點與圓的位置關系的性質與判定（數形對應），選用矩形作為問題背景是因為之前《圓的定義》一課中，學生已經證明過命題“矩形的四個頂點在同一個圓上”。例2關注的是等邊三角形的外接圓作法，并且遞進形成同心圓問題，訓練學生聚焦等邊三角形的外接圓與內切圓，以及基本圖形中邊角之間的關系。最后一道習題將正方形放置在平面直角坐標系中，其中的最后一問適度關聯(lián)直線與圓的交點問題，但是本質上還是運用點和圓的位置關系的性質與判定進行解答。

參考文獻：

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