復(fù)習(xí)課教學(xué)的三條主線：知識·思維·數(shù)史

【摘 要】數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的重要環(huán)節(jié)，由于應(yīng)試教育的沖擊，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)復(fù) 習(xí)課堂很大程度上抑制了學(xué)生的思維活動(dòng)、操作經(jīng)驗(yàn)和知識素養(yǎng)的提升和發(fā)展。面對現(xiàn)狀，教師應(yīng)抓住 知識、思維、數(shù)史的主線，還數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂一個(gè)活潑的氛圍。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)課；尺規(guī)作圖；知識串聯(lián)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）14-0044-03

【作者簡介】張建良，江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室（江蘇常熟，215500）教研員。

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中一類十分重要的課型，它既是對學(xué)過知識的再鞏固和再拓展，也是對學(xué)習(xí)思維的再梳理和再提升。但為了成績，應(yīng)試模式的復(fù)習(xí)課層出不窮。這限制了學(xué)生的思維活動(dòng)、操作經(jīng)驗(yàn)、知識素養(yǎng)的提升和發(fā)展。那么如何改善這樣的復(fù)習(xí)課堂呢？下面結(jié)合筆者所執(zhí)教的一節(jié)初二尺規(guī)作圖復(fù)習(xí)課來嘗試回答以上問題。

一、教學(xué)設(shè)想

初二學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過5種基本尺規(guī)作圖，為此在進(jìn)行尺規(guī)作圖的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)前主要思考了以下三條主線。

1.“知識”線。

尺規(guī)作圖的工具只限于直尺和圓規(guī)，其核心是通過圓規(guī)作等長的線段，達(dá)到制圖的效果。我們知道幾何圖形的最基本的元素是“點(diǎn)”，所以尺規(guī)作圖是通過“作點(diǎn)”來實(shí)現(xiàn)的。因此，在解答尺規(guī)作圖題時(shí)，就要分析“點(diǎn)”所滿足的條件，然后用作等長的線段來確定點(diǎn)。在完成作圖以后，還需找出正確作圖的理由，通過對作圖目標(biāo)任務(wù)的分析獲得正確的作圖方案。

2.“思維”線。

尺規(guī)作圖不僅是一種操作，更是對數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究的過程。在尺規(guī)作圖中，學(xué)生一般先通過分析、預(yù)測、判斷，再進(jìn)行畫圖操作。在探究過程中“為什么要作這樣一個(gè)點(diǎn)？”“為什么這樣作圖是正確的？”這兩個(gè)問題的思考伴隨著整個(gè)作圖的整個(gè)過程，從而完成學(xué)習(xí)自我監(jiān)控。學(xué)生思維的激發(fā)還在于有好的問題，一個(gè)需要思考的問題往往最能讓學(xué)生思維活躍起來，是一個(gè)有效的思維觸點(diǎn)。

3.“數(shù)史”線。

數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育是目前很多人關(guān)注的話題，數(shù)學(xué)文化中包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美以及人類認(rèn)識和發(fā)展數(shù)學(xué)的過程中體現(xiàn)出來的探索和進(jìn)取精神等。數(shù)學(xué)文化的價(jià)值主要在于數(shù)學(xué)對于人們觀念、精神及思維方式的養(yǎng)成所具有的影響。因此在教學(xué)中讓學(xué)生接觸數(shù)學(xué)文化，可以了解人類追求知識的步伐，感受數(shù)學(xué)家鍥而不舍的探索精神。其次，接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，也是提升課程目標(biāo)中情感態(tài)度價(jià)值觀的一個(gè)很好的教學(xué)支點(diǎn)。

在尺規(guī)作圖復(fù)習(xí)課中進(jìn)行三“線”合一的教學(xué)，即一條知識（作圖）線，一條思維線，一條數(shù)學(xué)史線，期許實(shí)現(xiàn)更有價(jià)值的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。

二、教學(xué)片段

片段1 播放微視頻

微視頻1：基本作圖——作已知角的角平分線；

微視頻2：基本作圖——作已知線段的垂直平分線。

通過以上兩個(gè)微視頻，回答（1）直尺和圓規(guī)的作用；（2）“交點(diǎn)”的情形種類；（3）“尺規(guī)作圖”的由來。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過播放基本作圖的微視頻，一是說出兩個(gè)尺規(guī)作圖對應(yīng)的名稱；二是說出直尺畫直線，圓規(guī)畫等長線段的道理；三是說作圖中符合條件的關(guān)鍵點(diǎn)；四是說尺規(guī)作圖中交點(diǎn)的情形，另外在課上介紹關(guān)于尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)小史。

【教后反思】

通過觀看基本作圖的微視頻，學(xué)生沒能說出用圓規(guī)的本質(zhì)是獲取等長線段。對于交點(diǎn)的各種類型，課上沒有討論到。預(yù)設(shè)寫在紙上，變化卻在課上。

片段2 解決問題

問題一：求作一個(gè)角等于30°。

生1：首先作一條線段，然后作該線段的垂直平分線。接著在垂直平分線上，以垂足為圓心、線段一半長為半徑作弧與中垂線交于一點(diǎn)；再以該交點(diǎn)為圓心、同樣長為半徑作弧交于上方部分一點(diǎn)。連接這個(gè)交點(diǎn)和線段一端點(diǎn)，夾角就是30°（如圖1所示）。

師：圖中所作出的角是30°嗎？

生2：圖中所示角不等于30°，因?yàn)閳D中出現(xiàn)的是兩條直角邊之間有一半關(guān)系，而不是一條直角邊等于斜邊的一半。應(yīng)以線段的一個(gè)端點(diǎn)為圓心，以2a長為半徑作弧與垂直平分線交于一點(diǎn)，圖中∠ADC的度數(shù)等于30°（如圖2所示）。

師：還有其他作法展示嗎？

生3：同樣作一條線段，并作該線段的垂直平分線。以該線段的一個(gè)端點(diǎn)為圓心、以該線段的一半長為半徑作圓。再以線段垂直平分線的交點(diǎn)為圓心，作一樣大的圓；連接端點(diǎn)和兩圓交點(diǎn)，就得30°的角（如圖3所示）。

師：很好，這是一個(gè)創(chuàng)新之舉。下面講的是老師的作法，其實(shí)和第二個(gè)同學(xué)的思路不謀而合，都想到構(gòu)造等邊三角形去解決問題（如圖4、圖5、圖6所示）。

圖6展示的是直角的三等分，那么任意角可以進(jìn)行三等分嗎？對于這樣一個(gè)問題的回答我們就要再次翻開數(shù)學(xué)歷史一角。介紹尺規(guī)作圖中的三大不可作問題。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過求作一個(gè)角等于30°，想通過轉(zhuǎn)化到另一類特殊角60°或90°去完成，第一主要是熟練作圖技能；第二是展示“轉(zhuǎn)化”在解決問題中的重要性。

【教后反思】

在教學(xué)過程中，教師邊聽邊畫圖記錄，和其他學(xué)生一起去理解該學(xué)生的作圖想法，在這個(gè)教與學(xué)的過程中，出彩的不是教師而是學(xué)生。因此，有時(shí)不要以為班中沒有思維好的學(xué)生，而是因?yàn)槲覀儧]有給予好的問題。教學(xué)過程中學(xué)生并不會(huì)全部按照教師的預(yù)設(shè)展開思考，當(dāng)師生思維不同路時(shí)，出彩也就在不同的路上。

問題二：求作點(diǎn)P（，0）。

生：（1）連接（0，1）和（2，0）兩個(gè)點(diǎn)；（2）以點(diǎn)O為圓心、該線段長為半徑作弧交x軸的正半軸于點(diǎn)P，即為所求點(diǎn)P（，0）。

師：是無理數(shù)，無理數(shù)是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。用尺規(guī)作圖的方法可以“抓住”這一類無理數(shù)。同樣我們繼續(xù)思考下面的問題：若記點(diǎn)（0，1）為A，點(diǎn)（2，0）為B，則請你在兩坐標(biāo)軸上求作點(diǎn)Q，使△ABQ為等腰三角形。

生：以點(diǎn)A為圓心、AB長為半徑作圓，再以點(diǎn)B為圓心、AB長為半徑作圓，與x、y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q。

師：滿足條件的點(diǎn)還有嗎？

生：過兩圓的交點(diǎn)作一條直線l，與x、y軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)Q。

師：找到了幾個(gè)點(diǎn)Q？

生：x、y軸上各有四個(gè)點(diǎn)，一共可作出8個(gè)Q點(diǎn)（如圖7）。

師：能不能把這條直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式求出來……

【設(shè)計(jì)意圖】

一是利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)截等長線段構(gòu)點(diǎn)，積累直觀操作經(jīng)驗(yàn)；二是讓學(xué)生再次利用尺規(guī)作圖理解無理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；三是引申出已知點(diǎn)與一次函數(shù)圖像的關(guān)系，在復(fù)習(xí)中多一點(diǎn)知識之間的串聯(lián)。

【教后反思】

當(dāng)學(xué)生說出“過兩圓的交點(diǎn)作一條直線，與x、y軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)Q?！蔽倚睦镆魂圀@喜，沒想到學(xué)生給出了如此簡單直接的說法，究其原因，第一種可能是這名學(xué)生對于圖形中的對稱現(xiàn)象觀察非常到位；第二種可能是這名學(xué)生對垂直平分線的畫法理解透徹，可以說這就是我們要尋找的“幾何直觀”思維，預(yù)設(shè)雖好，但是生成更好。

三、教學(xué)啟示

日本東京大學(xué)大學(xué)院教育學(xué)研究科教授、教育學(xué)博士佐藤學(xué)在《教師的挑戰(zhàn)——寧靜的課堂革命》一書中提到：“在教學(xué)中教師的中心工作在于傾聽、串聯(lián)、反芻。可以說，串聯(lián)是教學(xué)的核心?！?/p>

1.傾聽與態(tài)度。

在教學(xué)的過程中，如果不去認(rèn)真傾聽問題一中的兩名學(xué)生的作圖敘述，不去聽從學(xué)生的指令動(dòng)手畫草圖，那肯定捕獲不到教學(xué)的有效生成，或許生成會(huì)變?yōu)樯怀?，學(xué)生的創(chuàng)新思維也就不會(huì)被大家所見。因此作為授課教師需要準(zhǔn)備好的問題，也需要準(zhǔn)備傾聽學(xué)生回答的態(tài)度。隨時(shí)隨地捕捉到學(xué)生在課內(nèi)課外的聲音，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生心靈之美、思維之美，并給予學(xué)生更多的鼓勵(lì)和贊美，是教師的一份深深的教學(xué)情懷。若當(dāng)聆聽到學(xué)生給出的答案不夠正確時(shí)，我們可以聽一下培養(yǎng)學(xué)習(xí)型組織倡導(dǎo)者彼得·圣吉說的話：嬰兒學(xué)走路，是在跌倒、爬起、再跌倒、再爬起的過程中學(xué)會(huì)的。學(xué)生思維能力的發(fā)展就像嬰兒學(xué)走路一樣，要經(jīng)過一個(gè)想錯(cuò)、再想、再錯(cuò)、再想的過程。學(xué)生的每一個(gè)錯(cuò)誤都意味著成長，教師要有“祝賀失敗”的修養(yǎng)。

2.串聯(lián)與豐富。

知識之間可以串聯(lián)，思維方法之間可以串聯(lián)，學(xué)科之間可以串聯(lián)，課內(nèi)與課外也可以串聯(lián)，特別是在移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)下校內(nèi)和校外的學(xué)習(xí)更是可以串聯(lián)。通過串聯(lián)使得復(fù)習(xí)課不僅僅再現(xiàn)幾個(gè)知識點(diǎn)，再練幾道習(xí)題，而是能在復(fù)習(xí)的過程中呈現(xiàn)出更為豐富的學(xué)習(xí)資源。例如本節(jié)課中由三等分直角引出尺規(guī)作圖中的三大不可作問題，即任意角三等分、立方倍積、化圓為方，從中讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)中也有不能解決的問題，但即使“不能”也需要給出證明，感知“幾何作圖”可以轉(zhuǎn)化為“代數(shù)運(yùn)算”解決。課堂上通過將數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)教學(xué)串聯(lián)起來，為學(xué)生展示數(shù)學(xué)的另一面。同時(shí)串聯(lián)將原先分散學(xué)到的知識點(diǎn)、解決問題的方法連點(diǎn)成片實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效能提升，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更厚實(shí)、更豐富。因此串聯(lián)應(yīng)成為教師自覺的教學(xué)追求。

3.預(yù)設(shè)與生成。

教學(xué)中需要預(yù)設(shè)，預(yù)設(shè)是對將要學(xué)習(xí)的問題、面對授課學(xué)生的知識能力、水平作提前研究和準(zhǔn)備，但預(yù)設(shè)并不是教學(xué)的全部，生成伴隨其左右。例如圖3的圖形該學(xué)生設(shè)計(jì)的作圖有相當(dāng)大的思維量，完全是一種個(gè)人思維的成功，在這個(gè)環(huán)節(jié)里不要討論，不要提示，只需學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，教師做的就是等待“生成”，生成出的新思維一定超出教師的預(yù)設(shè)。因此數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中要以數(shù)學(xué)問題為主，以激發(fā)學(xué)生思維為核心，多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題單和思考空間，讓學(xué)生在變換的環(huán)境中加以應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的提升，在這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)中預(yù)設(shè)精彩，生成出彩。

總之，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，尤其是非畢業(yè)班的復(fù)習(xí)課應(yīng)少一點(diǎn)應(yīng)試的功利，多一點(diǎn)思維的空間，增一點(diǎn)數(shù)學(xué)文化的營養(yǎng)。只有這樣復(fù)習(xí)課的品質(zhì)才能有所提升。

【參考文獻(xiàn)】

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