從被動(dòng)到自主,讓“尺規(guī)作圖”走向“低耗高效”

王小林

［摘要］ 尺規(guī)作圖教學(xué)中的難度存在于學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用中. 本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)教材為例，試圖對(duì)“尺規(guī)作圖”教學(xué)方法進(jìn)行整理，給學(xué)生補(bǔ)充能激化思維、提升思維的內(nèi)容，以達(dá)到對(duì)基本作圖法靈活應(yīng)用的目的.

［關(guān)鍵詞］ 基本作圖；靈活運(yùn)用；提升能力

下面是前不久一次周末作業(yè)中出現(xiàn)的一道試題，對(duì)于（1）（2）題，大部分同學(xué)沒問題，對(duì)于（3），卻大相徑庭，幾乎無(wú)人問津.

試題?搖如圖1所示，已知∠AOB．

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?搖?搖?搖?搖……

（3）運(yùn)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在圖2中再設(shè)計(jì)一種方法，作出∠AOB的平分線（上述（1）的方法除外，不必說明理由，只需在圖中保留作圖痕跡）．

分析?搖很多學(xué)生對(duì)于第（3）小問無(wú)從下手，他們只知道用直尺和圓規(guī)可以作出角平分線，因?yàn)槔蠋熒险n時(shí)講了利用“SSS”可以作出角平分線；另一方面，老師覺得：哎！這些學(xué)生怎么就“一根筋”呢？利用等腰三角形的軸對(duì)稱性、角平分線的性質(zhì)、構(gòu)造全等三角形都可以作出角平分線啊！針對(duì)這對(duì)矛盾心理，筆者結(jié)合自己幾年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，談一下自己的認(rèn)識(shí)和體會(huì)，以求教于同行.

■ “尺規(guī)作圖”教學(xué)現(xiàn)狀

教材中的“尺規(guī)作圖”是教材正文的補(bǔ)充和延伸，是重要的課程資源. 通過作圖，一方面可以進(jìn)一步理解和鞏固教師講授的知識(shí)，把握基礎(chǔ)知識(shí)的穩(wěn)定信息；另一方面，更重要的是向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，使他們獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，變學(xué)生的學(xué)習(xí)過程為在教師引導(dǎo)下知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程. 但是，由于教材或教師的教學(xué)用書沒有對(duì)“尺規(guī)作圖”的使用作出說明，導(dǎo)致很多一線教師不能領(lǐng)會(huì)編者意圖，從而思想上沒能引起重視，往往被一些教師所忽視. 或僅限于課本中的幾道基本例題，使學(xué)生喪失了體驗(yàn)教材的機(jī)會(huì). 同時(shí)，在升學(xué)指揮棒的功利主義影響下，“尺規(guī)作圖”成為一種“擺設(shè)”，他們認(rèn)為只要布置學(xué)生按課本要求會(huì)畫圖就可以了，這些都與課改的要求相悖.

■ “尺規(guī)作圖”編入教材的原因

1. “尺規(guī)作圖”是初中生必須掌握的基本技能

尺規(guī)作圖內(nèi)容的編排是分散在各章書介紹的，這樣便于基礎(chǔ)知識(shí)和作圖方法的聯(lián)系，使學(xué)生既懂畫法，又明了它的理論根據(jù). “尺規(guī)作圖”精心設(shè)計(jì)呈現(xiàn)形式，改進(jìn)欄目設(shè)置、版面設(shè)計(jì)等方面，用學(xué)生喜聞樂見的形式呈現(xiàn)教材內(nèi)容，幫助學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)以致用、積極作圖的興趣，為學(xué)習(xí)幾何拓寬思路，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)幾何證明題中如何作輔助線也有所啟迪.

2. “尺規(guī)作圖”向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法提供了豐富的素材

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想的載體，數(shù)學(xué)思想通過知識(shí)來(lái)體現(xiàn). 但是，由于初中階段的學(xué)生領(lǐng)悟能力比較有限，即使他們知道了知識(shí)，卻不一定能領(lǐng)會(huì)其思想. 事實(shí)上，我們通過指導(dǎo)學(xué)生解決“尺規(guī)作圖”中出現(xiàn)的問題，將所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法及時(shí)加以運(yùn)用，更有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，潛移默化地培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力. 筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在教這部分內(nèi)容時(shí)雖增加了一些內(nèi)容，但并非增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，并收到了良好的效果.

■ “尺規(guī)作圖”教學(xué)策略

1. 加強(qiáng)背景與聯(lián)系，突出教材的指導(dǎo)

教材是以精選的現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)發(fā)展中的典型問題為背景的. 作為教師，我們應(yīng)在吃透教材的基礎(chǔ)上積極領(lǐng)悟隱含于教材的數(shù)學(xué)思想和方法. 我們通過對(duì)“討論”的引申、拓展，挖掘教材編寫者的“言外之意”，彈奏出教材文本的“弦外之音”，讓學(xué)生感受尺規(guī)作圖的引入是自然的；我們通過以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷尺規(guī)作圖的概括、抽象過程，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的研究方法；我們通過解決具有真實(shí)背景的問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的模型思想，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

例如，蘇科版八上教材在“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”前，安排了一個(gè)討論：如圖3所示，PC＝PD，QC＝QD，PQ，CD相交于點(diǎn)E. （1）根據(jù)以上條件，你能得出哪些結(jié)論呢？（2）PQ⊥CD嗎？請(qǐng)寫出說理過程.

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分析?搖教材中討論內(nèi)容的設(shè)計(jì)，是為后面“用直尺和圓規(guī)經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)P作AB的垂線”作鋪墊. 但從問題中發(fā)現(xiàn)，線段的結(jié)論過渡到作圖的引入，這將是一個(gè)難點(diǎn). 所以，備課時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：我們把CD演變成一條直線（老師畫出直線l），和上圖一樣，直線l外有一點(diǎn)P，我們能經(jīng)過P點(diǎn)作出直線l的垂線嗎？同樣的方法，你能作出圖3中的點(diǎn)Q嗎？通過分步教學(xué)，問題迎刃而解. 通過這個(gè)教學(xué)片段，我覺得，我們可以根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，重新整理教材內(nèi)容，讓學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)得到最大的收獲.

2. 用問題引導(dǎo)思維，用活動(dòng)培養(yǎng)能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題是引發(fā)學(xué)生思維與探索活動(dòng)的向?qū)?，是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體. 通過問題，可以把知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，使知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；通過問題，能使學(xué)生主動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的本質(zhì). 作為教師，我們不僅應(yīng)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題的過程，感受知識(shí)的形成過程，更要關(guān)注“學(xué)生學(xué)完本節(jié)內(nèi)容后將獲得什么發(fā)展”，而不再是“學(xué)生要學(xué)什么內(nèi)容”，強(qiáng)調(diào)的不再是一個(gè)簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)性目標(biāo)，而是學(xué)生的發(fā)展性目標(biāo)和生命性目標(biāo)，這正是課改應(yīng)有的方向，利于課堂從“知識(shí)型課堂”向“智慧型課堂”轉(zhuǎn)變.

例如，學(xué)習(xí)全等三角形和等腰三角形的軸對(duì)稱性后，作為教師，可以適時(shí)進(jìn)行補(bǔ)償教學(xué)，大膽發(fā)問：“你能用刻度尺畫一個(gè)已知角的平分線嗎？”

分析?搖根據(jù)題意，作圖工具只有刻度尺，而刻度尺的功能可以度量長(zhǎng)度，所以我們可以通過構(gòu)造兩個(gè)全等三角形或者利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，使問題迎刃而解. 法一（如圖4所示），①利用刻度尺在∠AOB的兩邊分別取OC=OD；②連結(jié)CD，利用刻度尺畫出CD的中點(diǎn)P；③畫射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線. 法二，①利用刻度尺在∠AOB的兩邊分別取OC=OD；②過C，D兩點(diǎn)分別作OA，OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P；③作射線OP，OP就是所求的角平分線.

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3. 注重過程，制造機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生“講”數(shù)學(xué)

在“尺規(guī)作圖”教學(xué)中，我們不必拘泥于一個(gè)方向、一個(gè)框架而向四面八方延伸，可使學(xué)生的思維縱橫交錯(cuò)，構(gòu)成豐富多彩的、生動(dòng)的“意識(shí)之網(wǎng)”，而這張網(wǎng)可以迅速、靈活地“編”出多種多樣的意識(shí)產(chǎn)品，這是讓學(xué)生“講”數(shù)學(xué)的好時(shí)機(jī). 讓學(xué)生“講”，主要是講作圖思路，講思考分析的過程，反思和總結(jié)所用的知識(shí)點(diǎn)、解題策略、蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，如果能把別人講明白、講懂、講會(huì)，那么他對(duì)“尺規(guī)作圖”理解的深刻程度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出聽老師講解. 同時(shí)，讓學(xué)生“講”，有利于培養(yǎng)學(xué)生反思、交流和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，同時(shí)能調(diào)動(dòng)學(xué)生參與活動(dòng)的積極性，參與活動(dòng)的熱情.

例如，下面是使用不同的工具畫一個(gè)角（∠AOB）的平分線，你能說明這些畫圖的正確性嗎（圖略）？

（1）用刻度尺與三角板：①用刻度尺在OA，OB上分別截取OC＝OD；②分別過C，D畫EC⊥OA，ED⊥OB，EC與ED相交于點(diǎn)E；③畫射線OE，則OE就是角平分線.

（2）用刻度尺：①用刻度尺分別在OA，OB上截取OC＝OD；②連結(jié)CD，并用刻度尺畫出CD的中點(diǎn)E；③畫射線OE，則OE就是角平分線.

（3）用刻度尺：①用刻度尺分別在OA，OB上截取OC＝OD；②再用刻度尺在OA，OB上分別截取OM＝ON；③連結(jié)CN，DM交于點(diǎn)E；④畫射線OE，則OE就是角平分線.?搖

分析這是作一個(gè)角的角平分線常見的幾種方法，充分展現(xiàn)“條條道路通羅馬”. 通過引導(dǎo)學(xué)生嘗試說題，讓學(xué)生知道：為什么這樣做？為什么想到這樣做？為什么這樣表達(dá)而不那樣表達(dá)？好方法是怎么想到的？使學(xué)生在說中進(jìn)一步理清思路，優(yōu)化解題認(rèn)識(shí)鏈，養(yǎng)成反思的習(xí)慣，真正讓學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程，充分體現(xiàn)“我的課堂，我做主”的新課改教學(xué)理念.

“尺規(guī)作圖”是一種過程，“慢”是與生俱來(lái)的秉性. 唯有慢才能讓操作過程步步留痕；唯有慢，才能讓猜想驗(yàn)證踏踏實(shí)實(shí)；也只有慢才能讓學(xué)生真正積淀活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，生長(zhǎng)實(shí)實(shí)在在的生命感悟……

“尺規(guī)作圖”是一個(gè)過程，需要時(shí)間的支持和空間的承載. 我們只有讓學(xué)生站在知識(shí)形成的高度俯瞰知識(shí)的來(lái)龍去脈和知識(shí)間的關(guān)系，真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，才能達(dá)成課堂的實(shí)效.