關(guān)注變化 強(qiáng)化思想 探尋規(guī)律

[摘? 要] 中國高考正實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變，如何備戰(zhàn)新高考復(fù)習(xí)？文章結(jié)合2021年“八省聯(lián)考”試題，重點從“關(guān)注四大變化，提升學(xué)科素養(yǎng)”“強(qiáng)化思想方法，提升數(shù)學(xué)能力”“研讀高考真題，探尋命題規(guī)律”三個方面，闡述新高考視域下三角函數(shù)內(nèi)容的復(fù)習(xí)備考策略，旨在提高高三復(fù)習(xí)備考的針對性和時效性.

[關(guān)鍵詞] 關(guān)注變化;思想方法;真題規(guī)律

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)六大主干知識之一，是高考中的熱點問題，命題比較注重基礎(chǔ)且考查要求呈現(xiàn)穩(wěn)定性與連續(xù)性，盡管命題的背景上有所變化，但仍屬基礎(chǔ)、中檔題. 重點考查邏輯推理能力、運算求解能力，考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想.

從剛結(jié)束的新高考適應(yīng)性考試（八省聯(lián)考）試題分析可以看出，三角函數(shù)部分的考查仍然延續(xù)了近幾年的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上適當(dāng)創(chuàng)新，出現(xiàn)了多項選擇題（12題），三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題（12題、22題），而2020年新高考卷（山東卷）也出現(xiàn)了多項選擇題與結(jié)構(gòu)不良型試題. 這充分表明：新高考試題從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變比較明顯，試題已不再追求題目結(jié)構(gòu)的完整，追求目標(biāo)指向的開放性，增強(qiáng)了試題的綜合性與探究性，要求考生臨場思考發(fā)揮，目的在于更清晰、更準(zhǔn)確地考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1].

而新版的課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）及新教材在三角函數(shù)內(nèi)容部分也發(fā)生了一些變化，基于新高考、新課標(biāo)、新教材發(fā)生的變化，本文重點從關(guān)注變化、強(qiáng)化思想、探尋規(guī)律三個角度探析三角函數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)備考策略，旨在對高三復(fù)習(xí)備考提供些許幫助.

[?]關(guān)注四大變化，提升學(xué)科素養(yǎng)

中國高考正實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變，高考試題在考查基礎(chǔ)性與綜合性的同時，還應(yīng)關(guān)注探究性與創(chuàng)新性. 基礎(chǔ)性與綜合性是試題穩(wěn)定性的體現(xiàn)，而探究性與創(chuàng)新性則是變化的體現(xiàn)，也是考生順利完成考試的攔路虎. 因此，高三復(fù)習(xí)備考在聚焦核心知識、重要思想和方法的基礎(chǔ)上還要密切關(guān)注新課標(biāo)、新教材、新高考發(fā)生的變化，對變化進(jìn)行歸納、整理、反思、總結(jié)，然后進(jìn)行針對性、系統(tǒng)性的強(qiáng)化訓(xùn)練，從訓(xùn)練中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1. 關(guān)注三角函數(shù)本質(zhì)的考查

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具，在研究三角形邊角關(guān)系和圓等幾何圖形的性質(zhì)時發(fā)揮著重要的作用. 之前對三角函數(shù)的圖像或性質(zhì)的考查基本是通過輔助角公式將其轉(zhuǎn)化成單一函數(shù)的形式，用“五點法”或“整體法”進(jìn)行研究，或者用 “換元法”將其轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式來研究，套路較為明顯. 而本次“八省聯(lián)考”的12題、22題則有意而避之，之前的套路方法明顯不奏效，須借助導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用來解決，表面看似三角函數(shù)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，增強(qiáng)了試題的綜合性與創(chuàng)新性，實質(zhì)上是重視函數(shù)本質(zhì)內(nèi)容的考查，這與新教材把三角函數(shù)納入函數(shù)模塊主題是契合的.

例1：（2021年“八省聯(lián)考”12題）設(shè)函數(shù)f（x）=，則（? ）

A. f（x）=f（π+x）

B. f（x）的最大值為

C. f（x）在-

，0 單調(diào)遞增

D. f（x）在0，

單調(diào)遞減

例2：（2021年“八省聯(lián)考”22題）已知函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當(dāng)x>-時，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

評析：這兩題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合題，很好地起到了壓軸的作用. 主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，不等式證明等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，運算求解能力、邏輯推理能力.

筆者認(rèn)真研讀了近幾年的高考試題，發(fā)現(xiàn)2018年全國Ⅰ卷的16題也有異曲同工之處，也突出了對三角函數(shù)本質(zhì)的考查.

例3：已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是_____.

評析：三角函數(shù)求最值問題，一般思路是將所給的函數(shù)化為單一函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，然后采用“整體法”或“五點法”結(jié)合圖像加以求解，或者是換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題. 而本題這兩種思路都無法實施，這時如果回到三角函數(shù)的本質(zhì)，它是基本初等函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值則能順利解決問題.

2. 關(guān)注向量的工具性作用

新課標(biāo)在正弦定理和余弦定理部分是這樣說明的：借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理[2]. 而舊版課標(biāo)是這樣說明的：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 從變化中可以看出，新課標(biāo)凸顯了向量在解三角形中的工具性作用. 在有些利用正余弦定理解三角形較為困難的題目中，尤其是已知條件較為分散且具備中點模型的三角形，若能借助向量來處理，往往能起到事半功倍的效果.

例4：在△ABC中，AB=3，設(shè)D是BC的中點，AD=2，cos∠BAC=，求△ABC的面積.

[A][B][C][D]

圖1

評析：本題是屬于條件分散的解三角形問題，無法直接利用正弦定理或余弦定理解決. 如何把分散的條件利用數(shù)學(xué)知識找到聯(lián)系就成了本題的關(guān)鍵，如果能充分利用D點是中點這個顯著特征，構(gòu)建向量模型2=+，通過兩邊平方建立邊角關(guān)系，就顯得巧妙而簡潔了，能起到意想不到的效果. 當(dāng)然本題還可以通過設(shè)參用方程的思想來解決，但是計算量相對比較大，也可以借助平面幾何知識通過補(bǔ)形變成平行四邊形，借助平行四邊形的性質(zhì)把條件集中在一個三角形中，從而順利地解決問題.

3. 關(guān)注平面幾何知識的滲透

新高考刪除選考內(nèi)容，意味著幾何證明選講部分內(nèi)容不再單獨出現(xiàn)，但是很多的幾何圖形性質(zhì)又能起到簡化運算的功能，體現(xiàn)多思少算的新高考理念，尤其是解析幾何等內(nèi)容體現(xiàn)得尤為明顯. 因此，在解三角形的教學(xué)中應(yīng)關(guān)注平面幾何知識的滲透，提升學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

例5：在銳角三角形ABC中，點D在線段AC上，AB=2，sin∠ABC=，BD=，AD=3CD，則cosC的值為________.

評析：本題與例4同是屬于條件分散的解三角形問題，不能直接利用正余弦定理解決，這是相同之處，不同的是D點不是中點了，故不能用中點模型之向量來構(gòu)建邊角關(guān)系，可以通過基向量的運算把用與表示出來，即4=3+，兩邊平方即可建立邊BC的方程，從而利用余弦定理求邊BC，最后再用余弦定理求cosC的值. 但是這種解法對向量的運算要求及向量在解三角形中的工具性作用意識提出了較高要求，對學(xué)生來說有一定難度. 此時若借助平面幾何知識，過點P作AB的平行線交BC于點E，再利用BE∥AB的分線段成比例和同位角相等兩個性質(zhì)，可以利用余弦定理計算BE的長度，從而計算BC，AC，最后再次利用余弦定理計算cosC的值. 縱觀本題的解決過程，作平行線來構(gòu)建邊角關(guān)系成為了解題的關(guān)鍵.

4. 關(guān)注結(jié)構(gòu)不良型試題的考查

新高考評價體系確立了高考中學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo)，也正在實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變. 突出考查的情境從學(xué)科知識化到真實情境化，試題條件從結(jié)構(gòu)良好到結(jié)構(gòu)不良，試題要素從單一到復(fù)合. 這在2020年的新高考卷中也體現(xiàn)得尤為明顯，特別是結(jié)構(gòu)不良型試題的出現(xiàn)，增強(qiáng)了探究性與開放性，對學(xué)生知識的整體性、系統(tǒng)性提出了更高的要求，在后期的復(fù)習(xí)備考中要引起足夠重視并強(qiáng)化訓(xùn)練.

例6：（2020年高考山東卷17題）在①ac=，②csinA=3，③c=b這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA=sinB，C=，_______？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

評析：本題是山東卷的一大亮點與特色，打破常規(guī)形式，目標(biāo)的指向開放，考查了考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與臨場應(yīng)變能力，很好地體現(xiàn)了新高考評價體系中素養(yǎng)導(dǎo)向的作用.

結(jié)構(gòu)不良型試題的目標(biāo)指向開放，探究韻味濃厚，應(yīng)該全方位、多角度地加大訓(xùn)練力度，本題是條件開放1個，可以變成條件開放2個甚至3個，采用組合形式選擇條件，提升選題的層次感，增加思維量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).

例7：在△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC.

（1）求角B的大小;

（2）現(xiàn)給出三個條件：①a=2c;②AC邊上的中線BD長為;③角B的平分線交邊AC于M，且BM=1. 從中選出兩個可以確定△ABC的條件，寫出您的選擇，并以此為依據(jù)求出△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

[?]強(qiáng)化思想方法，提升數(shù)學(xué)能力

美國教育心理學(xué)家布魯納指出：掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”. 數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和方法本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具. 數(shù)學(xué)思想和方法是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化成能力的橋梁，是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓. 因此，要加強(qiáng)核心知識的理解，最關(guān)鍵的還是要在思想和方法上給予滲透，將核心知識在思想和方法的指引下合理地運用到位，只有具備思想的教學(xué)，才是有深度的、有靈魂的教學(xué).

例8：（“八省聯(lián)考”18題）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1.

（1）若AB=，求BC.

（2）若AB=2BC，求cos∠BDC.

評析：本題屬基礎(chǔ)題，考查了平行四邊形的簡單性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)運算及邏輯推理數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本題求解的關(guān)鍵是利用線線平行的性質(zhì)得到兩內(nèi)錯角∠ABD=∠BDC，通過內(nèi)錯角相等，借助余弦定理來建立BC邊的方程，最后用余弦定理求出cos∠BDC的值. 是方程思想的典型應(yīng)用.

這是非常典型的利用方程思想來解決問題的范例，通過“引入變量—尋找關(guān)系—構(gòu)建方程—求解方程”四個步驟來解決問題. 只要是條件較為分散的解三角形問題，大多數(shù)需要充分挖掘隱含條件，通過引入邊參或者角參，借助方程思想才能順利地解決問題.

無獨有偶，本題的設(shè)置背景與考查思想和方法與2015年課標(biāo)卷的理科17題如出一轍，只是把內(nèi)錯角換成內(nèi)外角，邊長的2倍關(guān)系通過角平分定理的性質(zhì)給出了而已，其實質(zhì)仍然是利用方程思想解決問題.

例9：（2015年新課標(biāo)Ⅱ卷理17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（1）求;

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長.

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為能力的重要載體，也是檢測考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要體現(xiàn). 在三角函數(shù)模塊的復(fù)習(xí)中，尤其要重視函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

因此，在復(fù)習(xí)備考中，要特別重視數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，不能只講題型，不講思想和方法，不然的話，學(xué)生就只會套題型，不會自己獨立思考，當(dāng)然也就沒有能力上的提高. 每道精選的例題都要有數(shù)學(xué)思想和方法的滲透，都要有數(shù)學(xué)思想和方法指導(dǎo)下的分析，還要有數(shù)學(xué)思想和方法上的總結(jié)，讓學(xué)生在體驗中學(xué)會思考，在思考中提升能力.

[?]研讀高考真題，探尋命題規(guī)律

教育部考試中心劉芃曾經(jīng)這樣說過：“與其大量做題，不如抽時間認(rèn)真研究往年的真題，往年的試題是精雕細(xì)琢的產(chǎn)物，它反映了對考試內(nèi)容的深思熟慮，對設(shè)問和答案的精準(zhǔn)把捏，對學(xué)生水平的客觀判斷. 研究這些試題，就如同和試題的命制者對話. ”的確如此，尤其是近年以來，全國卷試卷結(jié)構(gòu)和試題難易度逐漸趨于平穩(wěn)，因此上一年的高考真題也透露著下一年高考的重點方向，通過歷年高考真題的橫向與縱向?qū)Ρ?、分析、思考、總結(jié)后，能探尋出一定的規(guī)律，對指導(dǎo)課堂教學(xué)有很大的幫助.

例10：（2014年課標(biāo)卷理16題）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為_____.

例11：（2016年全國I卷17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C;

（2）若△ABC的面積為，求△ABC的周長.

例12：（2017年全國I卷17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為.

（1）求sinB·sinC的值;

（2）若6cosB·cosC=1，a=3，求△ABC的周長.

筆者通過收集、對比、研究發(fā)現(xiàn)：雖然以上的三道題目的呈現(xiàn)方式不同，但題根都是余弦定理. 考查知識點相同，解決問題的方法相同;不同的是例12、例13是用方程思想解決余弦定理中的定值問題，而例11則是用不等式思想對余弦定理進(jìn)行變形，解決最值、范圍問題. 因此，在余弦定理的教學(xué)中，不僅要深挖公式的正用、逆用、變用功能，更要挖掘等式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想——方程思想，還要樹立方程到不等式的變化意識來建構(gòu)基本不等式模型，從而順利地解決一些有關(guān)周長、面積的最值或范圍問題.

高考真題是命題者依綱靠本、科學(xué)而精心設(shè)計的典型題目，它聚集了專家、優(yōu)秀老師們的集體智慧，它不僅在一定程度上濃縮了課本上重要的基礎(chǔ)知識與基本技能，而且還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，能夠折射出高考的基本走向和考查的深度與廣度. 為了避免題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生真正跳出題海，只有教師跳入題海，潛心研讀高考?xì)v年真題，方能領(lǐng)悟高考命題規(guī)律.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 教育部考試中心. 中國高考評價體系說明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.