關(guān)于解析幾何證明問題的探究反思

李澤英

[摘? 要] 解析幾何中常見證明問題，從考查內(nèi)容來看，就是探究線段長、角度大小、幾何要素之間的位置關(guān)系，解析過程要圍繞證明問題探究成立條件，利用解析幾何的基本技巧、公式定理逐步突破. 文章圍繞一道解析幾何綜合題開展解題探究.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;斜率;點差法;數(shù)列;設(shè)而不求

解析幾何壓軸題中常出現(xiàn)證明問題，問題解析往往難度較大，會涉及線段長、角度大小及位置關(guān)系等. 解該類問題時需要注意利用直線與直線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過代數(shù)等量轉(zhuǎn)化、化簡變形來完成證明，下面進行解題探究.

[?]解題舉例

問題：已知直線l的斜率為k，與橢圓C：+=1相交于點A和B，設(shè)線段AB的中點為M（1，m）（m>0）.

（1）證明：k<-;

（2）設(shè)橢圓C的右焦點為點F，點P位于C上，且滿足關(guān)系++=0，試證明

，

，

成等差數(shù)列，并求出該數(shù)列的公差.

分析：（1）該問證明直線l斜率k的取值范圍，核心條件是直線l與橢圓C有兩個交點，并且點M是點A和B的中點. 證明時有如下兩種解法：

①韋達定理，聯(lián)立直線與橢圓的方程，采用韋達定理提取根與系數(shù)的關(guān)系，利用核心條件進行轉(zhuǎn)化;

②點差法，利用斜率公式，通過點坐標作差來構(gòu)建與斜率的關(guān)系，利用點M的限制條件求k的取值.

（2）該問設(shè)定點F，構(gòu)建了點P，給出了相應(yīng)的向量關(guān)系，求證向量模成等差數(shù)列，核心條件是向量關(guān)系條件，通常利用向量的坐標運算，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，然后結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系來證明. 基本過程是聯(lián)立方程，由韋達定理構(gòu)建根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合點坐標轉(zhuǎn)化向量模，結(jié)合直線與橢圓方程進而完成證明.

解答：（1）解法一：由題意可將直線l的方程設(shè)為y=k（x-1）+m，與橢圓C方程聯(lián)立，整理可得（3+4k2）x2+8k（m-k）x+4（m-k）2-12=0. 設(shè)點A（x，y），B（x，y），由韋達定理可得x+x=-. 又因點M（1，m）為線段AB的中點，故=1，即-=2，可解得k=-. 又因點M在橢圓內(nèi)，故+<1，可解得0

解法二：根據(jù)題意，設(shè)點A（x，y），B（x，y），代入橢圓方程，可得+=1，+=1，兩式相減，整理可得= -·. 由斜率的計算公式可知k=，又知=1，=m，所以可得k=-. 點M在橢圓內(nèi)，則有故+<1，可解得0

（2）點F為橢圓的右焦點，則點F（1，0），可設(shè)點P（x，y）. 由++=0可得（x-1，y）+（x-1，y）+（x-1，y）=（0，0），即x=3-（x+x）=1，y=-（y+y）=-2m<0. 點P（1，-2m）在橢圓C上，所以+=1，可解得m=，即點P

1，-

，k=-1. 聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得7x2-14x+=0，由韋達定理可得x+x=2，x·x=.

由兩點之間的距離公式可求得FP=，F(xiàn)A==2-x，同理可得FB=2-x，則FA+FB=4-=3=2FP，即

，

，

成等差數(shù)列，得證.

設(shè)數(shù)列的公差為d，則2d=

-

=

x

-x==，所以公差d=±.

[?]總結(jié)歸納

上述探究了解析幾何中證明問題的突破過程，所涉兩問分別是關(guān)于直線斜率、向量的模與數(shù)列的證明問題，其中涉及了直線與橢圓相交、點的位置等內(nèi)容. 此題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量運算、斜率概念、數(shù)列性質(zhì)等知識，同時考查數(shù)形結(jié)合與化歸轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力. 問題突破完成后有以下三點需要重點關(guān)注.

1. 韋達定理

韋達定理是一元二次方程中重要的理論，反映了方程中根與系數(shù)的關(guān)系，在解析幾何綜合題中有著廣泛的應(yīng)用，可用于推導方程的根或反向推導方程的系數(shù). 但其深層應(yīng)用體現(xiàn)在根與系數(shù)的關(guān)系中，常與設(shè)而不求思想相結(jié)合，進行解析幾何中的代數(shù)運算，如上述利用該定理求解斜率k的取值范圍.

2. 點差法

上述在證明斜率取值時，解法二應(yīng)用了點差法，利用點差法獲得了直線斜率與線段中點坐標的關(guān)系，該方法常用于解析幾何的中點弦問題，在給出弦中點的情形下，可通過兩點所在方程相互作差來構(gòu)建中點坐標和斜率.

3. 橢圓定義

本題目在求解焦半徑時直接利用了兩點之間的距離公式. 實際上還可以利用橢圓的第二定義，雖然高考弱化了橢圓的第二定義，但利用定義法求解相關(guān)線段時依然可帶來極大的便利. 在本題目中使用定義求FA和FB的過程如下.

如圖2所示，點F是橢圓C的右焦點，點A，B和P位于橢圓上，則FA=a-ex=2-x，同理可得FB=2-x，F(xiàn)P=2-x.

4. 常見幾何證明轉(zhuǎn)化策略

解析幾何中常見一些幾何證明問題，其中研究點、線位置關(guān)系是重點，對于如下三大常見問題，可參考如下轉(zhuǎn)化思路.

（1）證明三點共線，有兩種轉(zhuǎn)化思路：一是轉(zhuǎn)化為斜率問題，證明其中兩條線段的斜率相等;二是轉(zhuǎn)化為向量問題，證明三點所構(gòu)的兩條向量共線.

（2）證明兩線垂直，同樣轉(zhuǎn)化為斜率或向量問題，可證明兩條直線的斜率之積為-1，也可證明兩條直線所在的平面向量的數(shù)量積為0.

（3）證明兩共點線段相等，可直接利用弦長公式求證兩線段等長，也可證明公共點在線段的垂直平分線上，此時需要引入斜率，求直線的解析式.

[?]拓展探究

上述解析幾何問題中以橢圓為背景引入了等差數(shù)列，屬于創(chuàng)新型考題，實際上解析幾何與數(shù)列的融合極為常見，除了上述結(jié)合等差數(shù)列外，還可結(jié)合等比數(shù)列. 問題突破的基本策略是一致的，設(shè)而不求，化幾何為代數(shù)問題，下面舉例探究.

例題：已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0），點F和F分別為C的左、右焦點，雙曲線的離心率為3，與直線y=2的兩個交點之間的距離為.

（1）求雙曲線的方程;

（2）設(shè)直線l過點F，與雙曲線的左、右支交于點A和B，且滿足

AF

=

BF

，證明：

AF

，

AB

，

BF

為等比數(shù)列.

解析：（1）簡答，根據(jù)條件可求得雙曲線的方程為x2-=1.

（2）重點探究該問的解析思路，由雙曲線的方程可得點F（-3，0），F(xiàn)（3，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），k<2. 聯(lián)立直線與雙曲線方程，整理可得（k2-8）x2-6k2x+9k2+8=0. 設(shè)點A（x，y），B（x，y），則由韋達定理可得x+x=，x·x=，從而可得

AF

== -（3x+1），同理可得

BF

==3x+1. 由

AF

=

BF

，可得-（3x+1）=3x+1，即x+x=-，故=-，解得k2=，從而有x·x=-. 由于

AF

= =1-3x1，

BF2

==3x2-1，所以AB=

AF-

BF=2-3（x+x）=4，

AF

·

BF=3（x+x）-9xx-1=16，因而有

AF

·

BF=AB2，所以

AF

，

AB

，

BF

為等比數(shù)列，證畢.

評析：上述在求證等比數(shù)列時充分利用了設(shè)而不求思想，將數(shù)列中的線段問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算，同時充分利用了韋達定理、弦長公式，通過等量代換構(gòu)建了數(shù)量關(guān)系. 通常數(shù)列問題的證明需要借助對應(yīng)的中項式，如上述等比數(shù)列中的等比中項

AF

·

BF=AB2，以及原題中的等差數(shù)列的等差中項FA+FB=2FP.

[?]教學思考

解析幾何中證明問題的類型較為多樣，但從證明內(nèi)容來看主要就是研究其中的線段關(guān)系、角度大小以及幾何要素的位置關(guān)系，透徹理解問題，掌握轉(zhuǎn)化思路是解題探究的重點. 教學中要引導學生強化解析幾何基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上開展解法探究，充分提升學生的解題能力，下面深入反思.

1. 知識梳理，完善知識體系

解析幾何探究問題，基礎(chǔ)知識是解題的重要工具，也是解題思路構(gòu)建的出發(fā)點. 如上述證明數(shù)列問題中，由數(shù)列判定的等差或等比中項開展條件探究，基于弦長公式、韋達定理、中點坐標公式進行關(guān)系構(gòu)建. 證明問題要首先理清成立條件，把握基本方法公式，然后進行深入剖析. 在教學中，教師要引導學生進行知識梳理，圍繞問題核心構(gòu)建知識體系，同時適度拓展，構(gòu)建知識關(guān)聯(lián)，幫助學生完善知識體系.

2. 過程探究，培養(yǎng)學生思維

證明過程中，針對知識點所涉較多、過程復雜的綜合性問題，教師要幫助學生理清思路，梳理步驟. 這樣不僅可以確保解題正確，還可以培養(yǎng)學生解題的邏輯性. 因此教學解析幾何證明題時要采用過程探究的方式，即首先根據(jù)證明問題思考成立條件，然后逐一探索條件，進行題設(shè)條件關(guān)聯(lián)，逐步構(gòu)建解題步驟. 探究引導過程中要合理設(shè)問，讓學生全方位思考構(gòu)建方法，確保解題無缺漏，方法簡捷，由此培養(yǎng)學生思維的邏輯性、嚴謹性.