數(shù)學(xué)高考試題中的核心素養(yǎng)探析

許映春

[摘? 要] 在核心素養(yǎng)的背景下，高考試題注重考查學(xué)生的綜合能力，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的考查意圖，反映當(dāng)前新課標(biāo)的教學(xué)成果. 文章以一道高考試題為例，通過挖掘試題資源，以探索多解和變式提升的方式為學(xué)生搭建施展才華的平臺(tái)，讓學(xué)生在領(lǐng)略高考試題魅力的同時(shí)提升探究能力和思維水平，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，以落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);高考試題;培養(yǎng)

當(dāng)前，新課程背景下的高考改革進(jìn)入關(guān)鍵時(shí)期，隨著新一輪高考改革理念的落實(shí)，高考也更加注重基礎(chǔ)性和選拔性. 縱觀歷年的高考試題，不難看出命題人落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)于各個(gè)試題之中，強(qiáng)調(diào)對(duì)探究能力、思維能力的考查. 從而，教師應(yīng)及時(shí)理解高考試題變化的本質(zhì)，真正理解高考改革，真正理解試題，在教學(xué)中落實(shí)教書育人的目標(biāo).

鑒于此，近年來廣大一線教師都在積極探索培養(yǎng)核心素養(yǎng)的路徑，通過挖掘高考試題資源，以引申拓展和變式提升的方式為學(xué)生搭建施展才華的平臺(tái)，讓學(xué)生在領(lǐng)略高考試題魅力的同時(shí)提升他們的探究能力和思維水平，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，以落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[?]問題呈現(xiàn)

如圖1，已知△ABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，∠C=90°，若sin∠BAM=，則sin∠BAC=________.

[?]展現(xiàn)特色，領(lǐng)悟意圖

本題是一道填空題，難度中等偏上，需要學(xué)生在考試中既快又準(zhǔn)地完成解題. 不過不少學(xué)生在解決本題時(shí)易受諸多因素影響而耗時(shí)過多，導(dǎo)致無法完成整張?jiān)嚲?又或是因?yàn)檫\(yùn)算能力薄弱而出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響到最后考試的成績(jī).

事實(shí)上，就是這么看似不經(jīng)意的一道小題，其“韻味”卻是無限的. 本題所展現(xiàn)的特色：其設(shè)計(jì)聚焦核心知識(shí)，凸顯核心素養(yǎng)，主要考查學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算的能力，探索解決問題的思路. 在筆者看來，“運(yùn)算”能力不僅是學(xué)生的童子功，更是核心素養(yǎng)理念下需要培育的重要能力. 不少學(xué)生認(rèn)為運(yùn)算就是充分利用公式進(jìn)行計(jì)算，事實(shí)上并非如此，核心素養(yǎng)下的運(yùn)算能力就是思維與運(yùn)算的有效溝通，需要學(xué)生具備邏輯素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模和運(yùn)算能力，只有具有了這些能力，才能在高考中完美取勝.

[?]探究解法，寓教于思

盡管本題在考場(chǎng)答題需要做到快、準(zhǔn)，但在平時(shí)的練習(xí)中卻需要引導(dǎo)學(xué)生深入領(lǐng)略其風(fēng)景，從而領(lǐng)悟其韻味，真正意義上理解編者的意圖，以達(dá)到寓教于思的效果，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和思維能力.

本題涉及三角形計(jì)算的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，其韻味主要在于它的多解性. 萬變不離其宗，盡管這是一道一題多解的試題，但不管運(yùn)用哪一種解法都需運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合這一重要思想方法. 下面，筆者對(duì)本題進(jìn)行深入分析.

解法1：設(shè)BC=a，AB=c，AC=b. 在△ABM中，溝通正弦定理和誘導(dǎo)公式，可得==，從而a=，整理后可得（3a2-2c2）2=0，=，所以sin∠BAC==.

意圖：基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度直接決定著學(xué)生是否有能力將題干中的材料轉(zhuǎn)化為所需要的相關(guān)概念、公式等. 在本題中，命題者以圖形和公式作為題干信息，學(xué)生需要結(jié)合題干信息準(zhǔn)確選擇和運(yùn)用相關(guān)知識(shí). 所以，這一解法主要考查學(xué)生對(duì)相關(guān)公式、定理的靈活運(yùn)用能力.

解法2：因?yàn)閟in∠BAM=，所以cos∠BAM=.

如圖1，在△ABM中，利用正弦定理，可得=，所以===.

在Rt△ACM中，有=sin∠CAM=sin（∠BAC-∠BAM）. 根據(jù)題意，可知BM=CM，所以=sin（∠BAC-∠BAM），借助兩角差的正弦展開化簡(jiǎn)，可得2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1，所以=1，可得tan∠BAC=. 再結(jié)合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC為銳角，解得sin∠BAC=.

意圖：從這種解法來看，命題者著重考查的是學(xué)生對(duì)幾何量的求解能力，這需要教師在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中注重引導(dǎo)，著力提升其計(jì)算求解能力.

解法3：在Rt△MAC與Rt△BAC中，有tan∠MAC=，tan∠BAC=. 因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，所以BC=2MC，所以tan∠BAC=2tan∠MAC=tan（∠BAM+∠MAC）=. 又因?yàn)閟in∠BAM=，所以cos∠BAM=，tan∠BAM=，所以2tan2∠MAC-2tan∠MAC+1=0，所以tan∠MAC=，tan∠BAC=. 再結(jié)合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC為銳角，解得sin∠BAC=.

意圖：這一解法對(duì)學(xué)生考查的能力與解法2相同，不同點(diǎn)在于所涉知識(shí)點(diǎn)不同.

解法4：如圖2，設(shè)AM=3，作MD⊥AB，垂足為點(diǎn)D. 根據(jù)sin∠BAM=，可求得MD=1，AD=2. 設(shè)CM=MB=x，則有AC2=9-x2，BD=. 在Rt△ACB中，CA2+CB2=AB2，則有9-x2+4x2=（+2）2，所以（x2-3）2=0，x=，所以CB=2，AB=AD+BD=3，所以sin∠BAC===.

意圖：這一解法主要思路在于構(gòu)造直角三角形求解，需要學(xué)生在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上構(gòu)造直角三角形，進(jìn)一步解數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而得出正確結(jié)論. 在本題中，學(xué)生不僅需找尋到構(gòu)造直角三角形的正確思路，還需要通過運(yùn)算得出正確答案. 從這種角度來看，學(xué)生能力的培養(yǎng)十分重要.

解法5：如圖3，以點(diǎn)C為原點(diǎn)、CA為x軸、CB為y軸建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（x，0），B（0，2），M（0，1），則有=（-x，2），=（-x，1）. 根據(jù)向量的數(shù)量積，可得·=

cos∠BAM. 又因?yàn)閟in∠BAM=，可得cos∠BAM=，x2+2=··，進(jìn)一步解得x=.

在Rt△BAC中，AB2=CA2+CB2=6，所以AB=，所以sin∠BAC===.

意圖：建系并利用平面向量的數(shù)量積求解是創(chuàng)新解法，但由于缺乏對(duì)向量的正確認(rèn)識(shí)，學(xué)生很難將思維遷移到建立坐標(biāo)系這樣的解法上來，而一旦確定了建系這一思路，學(xué)生也就恍然大悟了.

高中數(shù)學(xué)問題的最大特色就是問題的解法多樣，基于對(duì)數(shù)學(xué)問題的不同理解方向選擇不同的解題策略，根據(jù)運(yùn)算對(duì)象的理解程度不同選擇不同的運(yùn)算方法，從而收獲多題訓(xùn)練的效果. 當(dāng)然，多解中運(yùn)用到的方法有的比較簡(jiǎn)潔，這樣可以快速而準(zhǔn)確地完成解題;也有的較為煩瑣，這樣運(yùn)算也易出錯(cuò)，出錯(cuò)率自然也就高. 長(zhǎng)期的一題多解訓(xùn)練，就是通過優(yōu)化探究思路，精準(zhǔn)選擇解法，有效提升學(xué)生的探究能力和運(yùn)算素養(yǎng)，提高解題能力，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[?]變式拓展，孕育創(chuàng)新

數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系往往是隱性的，常常隱匿于一些典型試題之中. 教學(xué)中，教師若對(duì)一些典型例題、習(xí)題和一些高質(zhì)量的高考試題進(jìn)行拓展、改裝和引申，也就是通過“借題發(fā)揮”則可以最大可能地覆蓋知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的遷移和融會(huì)貫通，在這個(gè)過程中還可以彰顯出較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí). 基于此，筆者對(duì)本題進(jìn)行如下變形.

變式1：已知△ABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，C=，若tan∠CAM=2tan∠BAM，試求tan∠CAM.

變式2：已知△ABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，若tan∠CAM=2tan∠BAM=，證明：C=.

意圖：就這樣，通過對(duì)一個(gè)問題的變式達(dá)到了解決多種問題的效能，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，掌握雙基，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)都有著很好的推進(jìn)作用.

[?]核心素養(yǎng)下的教學(xué)思考

1. 加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

正確計(jì)算對(duì)學(xué)生最終成績(jī)的影響極大，這一點(diǎn)是毋庸置疑的. 高考中，不少學(xué)生的失分點(diǎn)在于運(yùn)算能力薄弱，易出現(xiàn)失誤，易影響解題速度. 本題的解答中，大部分學(xué)生都是因?yàn)檫\(yùn)算能力薄弱而造成的失分，因此，培養(yǎng)運(yùn)算能力刻不容緩. 同時(shí)，深入剖析不難看出，想要在高考的重壓下完成較大的計(jì)算任務(wù)并獲得正確答案，必須具有良好的運(yùn)算習(xí)慣和較高的運(yùn)算能力. 有鑒于此，教師需在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中一以貫之地加以培養(yǎng)，以提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

2. 加強(qiáng)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

近年來，高考命題著重強(qiáng)調(diào)能力立意，從而對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力提出了更高的要求. 在教學(xué)中，教師可以探究為基礎(chǔ)，將創(chuàng)新藏于問題之中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析、思考、探究和反思，探索得出解決問題的方法，從中提升創(chuàng)新能力. 對(duì)于這道高考試題而言，從命題角度來說，其命制過程凝聚了命題者的創(chuàng)新智慧，充分體現(xiàn)了“圖”中思道、“式”中求法的韻味，強(qiáng)化了運(yùn)算能力和創(chuàng)新能力，是一道很好的創(chuàng)新試題. 從學(xué)生課堂中的解答來看也是一種創(chuàng)新，不僅考查了學(xué)生運(yùn)算、推理、邏輯思維等學(xué)習(xí)能力，還考查了學(xué)生求異的創(chuàng)新能力，同時(shí)運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合是求解的關(guān)鍵.

3. 強(qiáng)化高考試題的應(yīng)用性

高考試題蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)資源，具有較高的典型性、創(chuàng)新性和拓展性，都是值得探究性學(xué)習(xí)的典型問題. 從而，無論是高三一輪和二輪復(fù)習(xí)，還是高一或高二年級(jí)的教學(xué)中，都可以積極開發(fā)和利用好高考題，引導(dǎo)學(xué)生展開認(rèn)知活動(dòng)，使其成為提升探究能力、解題能力和創(chuàng)新思維能力的源頭活水. 例如，教師以本題為素材，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力和運(yùn)算能力，以實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育.

總之，我們不能總是從意識(shí)層面去強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力、探究能力和創(chuàng)新能力的重要性，而應(yīng)該把握數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)，從本質(zhì)中探尋培養(yǎng)路徑. 對(duì)于高考試題，一線教師應(yīng)予以極大的關(guān)注，充分理解命題的意圖，充分挖掘其內(nèi)在潛能進(jìn)行解法的探究，加強(qiáng)變式拓展，讓學(xué)生通過解題感受試題的靈動(dòng)與跳躍，以孕育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).